材料力学第二章(上)讲解

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1、1 轴向拉伸与压缩的概念 受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合 变形特征：轴向伸长或缩短 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。 屋架结构简图 桁架的示意图 受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆 （未考虑端部连接情况） 2 内力、截面法、轴力及轴力图 1、内力的概念 固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性 质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力) 附加内力附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力 内力与变形有关 内力

2、特点：1、有限性 2、分布性 3、成对性 根据可变形固体的连续性假设， 内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布 内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为 分布内力系的合成)。 2、轴力及其求法截面法 轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆 的轴线重合,用符号 表示 内力的正负号规则 同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。 拉力为正 压力为负 解释 横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合( 垂直于横截面并通过其形心)轴力。无论取横截面mm 的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为

3、正；反之，当轴力指向 截面产生缩短变形为负。 轴力背离截面FN=+F . 截面法轴力及轴力图 FN=F （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； （3）根据分离体的平衡求出内力值。 步骤： 用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于 物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力 系替代。 轴力指向截面FN=-F 轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。 F (c) F (f) 一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴 力。 例题例题 2.12.1 20KN 20KN40KN 1 1 2 2 20KN 20KN 20KN 20KN

4、40KN 1 1 求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力 FF 2F 2F 1 12 2 例题例题 2.22.2 F 2F 2 2 F 课堂练习： 10KN 10KN 6KN 6KN 3 3 2 21 1 FF 21 12 3 3 3、轴力图 F A B 1 1 3F 2 2 C 2F 4KN 9KN3KN 2KN 4KN 5KN 2KN F 2F 轴力与截面位置关系的图线称为轴力图. F 2F F 2F 2F 例题例题 2.32.3 图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积 A=370370mm2，砖砌体的容重 =18KN/m3。柱顶受有轴向压力 F=50KN，试做此砖柱的轴力图。 y 350 F

5、 nn 例题例题 2.42.4 F FNy 50 58.6 kN 书中例题2-1 试作此杆的轴力图 。 等直杆的受力示意图 (a) 为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面11左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力) 解： 第二章 轴向拉伸和压缩 为方便取截面33右边为 分离体，假设轴力为拉力 。 FN2=50 kN(拉力) FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力) 第二章 轴向拉伸和压缩 轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上

6、的轴力为 55 kN？ 第二章 轴向拉伸和压缩 A=10mm2 A=100mm2 10KN10KN 100KN100KN 哪个杆先破坏? 3 应力.拉(压)杆内的应力 应力的概念 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度. F1 Fn F3 F2 应力就是单位面 积上的内力? ( (工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度 的定义不仅准确而且重要，因为的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏破坏”或或“ 失效失效”往往往往 从内力集度最大处开始从内力集度最大处开始。 ) ) 应力的概念解释 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布

7、 内力的平均集度即平均应力， ，其方向和大小一般 而言，随所取A的大小而不同。 该截面上M点处分布内力的集度为 ，其 方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。 总应力 p 法向分量正应力s 某一截面上法向分 布内力在某一点处 的集度 切向分量切应力t 某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度 应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。 F1 F2 A DF FQy FQz FN 垂直于截面垂直于截面 的应力称为的应力称为 “ “ 正应力正应力” 与截面相切的与截面相切的 应力称为应力称为“ “ 切应力切应力” 应力的国际

8、单位为N/m2 （帕斯卡） 1N/m2=1Pa 1MPa=106Pa1N/mm2 1GPa=109Pa 拉(压)杆横截面上的应力 (1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时 可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力FN ；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力 FN。 为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平

9、行，仍垂直于轴线。 3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截 面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。 第二章 轴向拉伸和压缩 拉(压)杆横截面上的应力 几何变形 平面假设 静力关系 原为平面的横截面在 杆变形后仍为平面 正应力 FN轴力 A横截面面积 的符号与FN轴力符号相同 注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假 设不成立，故原则上不宜用上式计算其横

10、截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。 讨论题 试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的 正 应力.已知横截面面积A=2103mm2 20KN 20KN40KN40KN 3 32 21 1 例题例题2.52.5 20kN 40kN 图示支架，AB杆为圆截面杆， d=30mm， BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm ， P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的 正应力。 例题例题 2.

11、62.6 FNAB FNBCC d A B F a 教材例题2-2 试求此 正方形砖柱由于荷载引起 的横截面上的最大工作应 力。已知F = 50 kN。 段柱横截面上的正应力 所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力） 解：段柱横截面上的正应力 (压应力) (压应力) 第二章 轴向拉伸和压缩 试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已 知F=30KN，A=400mm2 F DB C A aa a 例题例题 2.72.7 FNAB 计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应 力值。 已知CD杆为28的圆钢，BC杆为22的 圆钢。 20kN 18kN D E C 30 O B

12、A 4m4m1m 例例 题题 2.82.8 FNBC 以AB杆为研究对像 以CDE为研究对像 FNCD 实验： 设一悬挂在墙上的弹簧秤，施加初拉 力将其钩在不变形的凸缘上。 若在弹簧的下端施加砝码，当所加砝 码小于初拉力时，弹簧秤的读数将保 持不变；当所加砝码大于初拉力时， 则下端的钩子与凸缘脱开，弹簧秤的 读数将等于所加砝码的重量。 实际上，在所加砝码小于初拉力时， 钩子与凸缘间的作用力将随所加砝码 的重量而变化。凸缘对钩子的反作用 力与砝码重量之和，即等于弹簧秤所 受的初拉力。 在一刚性板的孔中装置一螺栓,旋紧螺栓使其产生预 拉力F0,然后,在下面的螺母上施加外力F.假设螺栓始终处 于弹性

13、范围,且不考虑加力用的槽钢的变形.试分析加力 过程中螺栓内力的变化. 书中例题书中例题 2-32-3 长为b、内径d=200mm、壁厚=5mm的薄壁圆环 ，承受p=2MPa的内压力作用，如图a所示。试 求圆环径向截面上的拉应力。 b b 直杆轴向拉伸或压缩时 斜截面上的应力 现在分析斜截面上的 应力 利用截面法，沿任一 斜截面 k-k 将杆件分为两 部分，研究左段部分的平 衡，斜截面上有合力 Fa = F a 斜截面法向与 横截面法向的夹角，以逆 时针为正，顺时针为负。 Fa 由于杆内任意两平 行斜截面间的所有纵向 纤维伸长相同，根据材 料的均匀性可知，斜截 面上的内力分布是均匀 的，从而，斜

14、截面上沿 轴向的应力为 其中，Aa 斜截面的面积 Fa 斜截面上的轴向合力 注意到 有 其中， 为杆件横截面上的正应力。 因研究强度问题的 需要，将斜截面上的应 力分解为垂直于截面方 向的应力sa和平行于截 面的应力ta 。 q sa 斜截面上的正应力 q ta 斜截面上的切应力 正应力sa的符号 规定与前述相同 。 切应力ta的符号 规定如下：若取 保留部分内任一 点为矩心，切应 力对该点的矩为 顺时针转动时， 切应力取正号； 反之，切应力取 负号。 当a=0时，sa的绝对值达到最 大； 当a= 时，ta的绝对值 达到最大。 讨论题 FXF F 斜截面上的正应力；斜截面上的切应力 FFF 拉(压)杆斜截面上的应力 讨论： 轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。 轴向拉压杆件的最大切应力发生在与 杆轴线成450截面上。 在平行于杆轴线的截面上、均为零。 F 切应力互等定理 正应力和切应力的正负规定 ： 思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应 力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离 体的斜截面k-k上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在 什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面 上？ k k 圣维南原理