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1、 7.4 平面曲线的弧长 1 小结 思考题 作业 弧长的概念 直角坐标情形 参数方程情形 7.4 平面曲线的弧长 第7章 定积分的应用 极坐标情形 7.4 平面曲线的弧长 2 设A、B是曲线 在 弧上插入分点 依次用弦将 记每条弦 的长度为 折线长度的极限如果当分点无限增加, 弧长(长度). 弧上的两个端点, 光滑曲线弧是可求长. 则称此极限为曲线弧 AB的 相邻两点联结起来, 得到一条内接折线. 一、平面曲线弧长的概念 7.4 平面曲线的弧长 3 弧长元素弧长 小切线段的长为:弧段的长, 设曲线弧为y = f (x) 其中f (x)在 a, b上有一阶连续导数. 取积分变量为x, 任取小区间
2、 在a, b上 二、直角坐标情形 现在计算这曲线弧的长度. (弧微分) 以对应小切线段的长代替小 7.4 平面曲线的弧长 4 解 所求弧长为 例 悬链线方程 计算介于 之间一段弧长度. 7.4 平面曲线的弧长 5 解 例 计算曲线 的弧长 7.4 平面曲线的弧长 6 曲线弧为 弧长 其中在a, b上具有连续导数. 三、参数方程情形 现在计算这曲线弧的长度. 取参数t为积分变量, 其变化区间为 对应于上任一小区间的小弧段的 长度的近似值, 即弧长元素为 7.4 平面曲线的弧长 7 解 星形线的参数方程为 对称性 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长 例 求星形线 的全长. 7.4 平面曲线的弧长
3、 8 证 设正弦线的弧长等于s1 设椭圆的周长为s2 证明正弦线例 的弧长 等于椭圆的周长. 对称性 7.4 平面曲线的弧长 9 曲线弧为 弧长 具有连续导数. 四、极坐标情形 现在计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系： 弧长元素为 为参数的 参数方程 7.4 平面曲线的弧长 10 解 求极坐标系下曲线例的长. 7.4 平面曲线的弧长 11 解 求阿基米德螺线例 7.4 平面曲线的弧长 12 平面曲线弧长的概念 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 求弧长的公式 四、小结 7.4 平面曲线的弧长 13 思考题 解答 仅仅有曲线连续还不够, 不一定. 必须保证曲线光滑才可求长. 闭区间a, b上的连续曲线 y = f (x)是否 一定可求长? 7.4 平面曲线的弧长 14 作业 习题7.4 (265页)
