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1、第六章相似性原理和因次分析第六章相似性原理和因次分析流体力学实验，是发展流体力学理论，验证流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重要手段。流体力学实验，是发展流体力学理论，验证流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重要手段。流体力学问题流体力学问题1、理论分析由于流体问题和边界的复杂性只能解决其中一部分问题、理论分析由于流体问题和边界的复杂性只能解决其中一部分问题2、实验多为模型实验、实验多为模型实验第一节量纲分析第一节量纲分析6-1-1量纲和单位量纲：表征物理量性质和类别的标志。如长度、时间、质量、速度、加速度等等。、质量、速度、加速度等等。单位：为衡
2、量物理量大小而人为规定的此类物理量的标准量。如。如mskgmsms2等等。等等。基本量纲：不能用其它物理量表达的量纲称为基本量纲。长度L，时间T，质量M为基本力学量纲。导出量纲：由两个或两个以上基本量纲通过乘除关系导出的量纲称为导出量纲。如速度，流量知识延伸：知识延伸：“米米”的由来的由来量纲用dim(dimension)来表示dimabcLTM=dimvLT1=量纲的分类：1、几何量：b=0c=02、运动量：a=0或a0b0c=03、动力量：a=0或a0b=0或b0c0量纲一的量（无量纲数）：dimLTM000=此时的称为量纲一的量（无量纲量，或纯数）量纲一可以参与超越函数计算。数值与所选用
3、的单位无关，可以反映物理过程的本质。dimReLTLLTMLT111000211=所以雷诺数是量纲一的量（无量纲数），水力坡度J也是无量纲数。6-1-2量纲和谐原理量纲和谐原理量纲和谐原理量纲和谐原理：一个正确的物理方程，各项的量纲是一致的。：一个正确的物理方程，各项的量纲是一致的。wpvpvzzhgggg221122121222+=+=+利用量纲和谐原理，推求若干物理量之间关系的分析方法称为利用量纲和谐原理，推求若干物理量之间关系的分析方法称为量纲分析量纲分析。量纲分析方法有。量纲分析方法有瑞利法瑞利法和和定理定理。6-1-3瑞利法瑞利法如果对某一物理现象经过大量的观察、实验、分析，找出影响
4、该物理现象的主要因素为如果对某一物理现象经过大量的观察、实验、分析，找出影响该物理现象的主要因素为y，x1、x2、xn，它们之间待定的函数关系为，它们之间待定的函数关系为y=f(x1、x2、xn)对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间的数学表示式。由于各因素的量纲只能由基本量纲的积和商导出，而不能相加减，因此上式可以写成指数乘积的形式为式中：对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间的数学表示式。由于各因素的量纲只能由基本量纲的积和商导出，而不能相加减，因此上式可以写成指数乘积的形式为式中：k为量纲一的量，为量纲一的量，l、2、n为待定指数。接下来的任务是确定这些指数。为待定指数。接下来的任务是确定这
5、些指数。1n12ny=f(xxx)2例例6-1实验揭示，流动有两种状态：层流和湍流（详见实验揭示，流动有两种状态：层流和湍流（详见7-1），流态相互转变时的流速称临界流速。实验指出，恒定有压管流的下临界流速），流态相互转变时的流速称临界流速。实验指出，恒定有压管流的下临界流速vcr，与管径，与管径d，流体密度，流体动力粘度有关。试用量纲分析法求出它们的函数关系。，流体密度，流体动力粘度有关。试用量纲分析法求出它们的函数关系。例例6-2根据观察和根据观察和猜测猜测单摆的周期单摆的周期可能可能T与有关。试用量纲分析法求出单摆周期公式。与有关。试用量纲分析法求出单摆周期公式。LmgmLg(解在板书）
6、解在板书）例例6-3根据推测水泵的功率根据推测水泵的功率N与与有关。试用量纲分析法求出功率的公式。有关。试用量纲分析法求出功率的公式。=gHQ(解在板书）解在板书）6-1-4定理定理设有设有n个变量的物理方程式（物理过程）个变量的物理方程式（物理过程）f(x1、x2、xn)=0其中可选出其中可选出m个变量在量纲上是互相独立的，其余（个变量在量纲上是互相独立的，其余（n-m）个变量是非独立的，那么此物理方程，必然可以表示为（）个变量是非独立的，那么此物理方程，必然可以表示为（n一一m）个量纲一的量的物理方程式，即）个量纲一的量的物理方程式，即F(1、2、n)=0式中，式中，1、2、n为（为（n一
7、一m）个量纲一的量，因为这些量纲一的量是用）个量纲一的量，因为这些量纲一的量是用来表示的，所以称此定理为来表示的，所以称此定理为定理，又称为布金汉定理。定理，又称为布金汉定理。例例6-4实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压强损失实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压强损失p与管长与管长L、直径、直径d、管壁粗糙度、运动粘度、密度、流速、管壁粗糙度、运动粘度、密度、流速v等因素有关。试用定理求出计算压强损失等因素有关。试用定理求出计算压强损失p的公式及沿程损失的公式及沿程损失hf的公式。的公式。(解在板书）解在板书）第二节第二节流动相似的概念流动相似的概念621几何相似几何相似是指流动空间
8、流动空间几何相似几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。对应角相等，对应线段成比例。pm=pplmmdldl=金喇叭与银喇叭金喇叭与银喇叭333pplmmVlVl=222pplmmAlAl=l称为长度比例常数，或称长度比尺。称为长度比例常数，或称长度比尺。只有几何相似，才有相应的点，相应的断面等“相应”的概念。所以几何相似是相似的前提前提，是先决条件先决条件。622运动相似两相似的流动之间流线几何相似流线几何相似，即对应点的速度方向相同速度方向相同、大小成比例大小成比例。pppvmmmuuvuuv1212=v称为速度比例常数，或速度比尺。称为速度比例常数，
9、或速度比尺。，vlt=由于tlv得出时间比例常数：加速度比例常数：lvtva2=alv=运动相似是相似研究的目的，有了运动相似关系就可以进行换算：pnmmuvuv=ppmmvuuv=623动力相似流动的动力相似，要求同名力作用，同名力作用，相应的同名力成比例同名力成比例。这里所提的同名力，指的是同一物理性质的力。例如重力、粘性力、压力、惯性力、弹性力。所谓同名力作用，是指原型流动中，如果作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力，则模型流动中也同样的作用着粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。相应的同名力成比例，是指原型流动和模型流动的同名力成比例。式中，G、S、P、I、E、T分别表示重力、粘性力
10、、压力、惯性力、弹性力、表面张力。动力相似是运动相似的保证。624初始条件和边界条件的相似对于非恒定流动，要求初始条件的相似，但对于恒定流动，不必要求。边界条件的相似十分重要，例如壁面粗糙度决定了管道的阻力规律。雷诺数相等的管道，边界条件的相似十分重要，例如壁面粗糙度决定了管道的阻力规律。雷诺数相等的管道，d相同就是边界条件相似，沿程阻力系数相同。相同就是边界条件相似，沿程阻力系数相同。第三节相似准则第三节相似准则暂不考虑弹性力及表面张力的作用，看如何满足动力相似，作用在流体微团上的力：ppspGpIppmsmGmImFFFFFFFF=惯性力的大小决定运动加速度的大小，将其与另外三力建立等式有
11、：GpIpGmImspIpGpGmIpImspsmIpImpppmsmImppIpIIpmmpImFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF=惯性力为惯性力为22Qvvl=3gVgl=2pApl=重力为压力为重力为压力为2duvAldyl=粘性力为粘性力为vFrgl=弗劳德数弗劳德数631重力相似准则重力相似准则pmFrFr=称重力相似准则称重力相似准则GpIpGmImIpImGpGmFFFFFFFF=22Qvvl=3gVgl=Revl=雷诺数雷诺数ReRepm=632粘滞力相似准则粘滞力相似准则称为粘滞力相似准则称为粘滞力相似准则22Qvvl=2duvAldyl=spIpsmImIpI
12、mspsmFFFFFFFF=2vpEu=pmEuEu=称为欧拉数。称为欧拉数。633压力相似准则压力相似准则称为压力相似准则称为压力相似准则弹性力弹性力M和表面张力和表面张力We相似准则略去相似准则略去ppIppmImpppmIpImFFFFFFFF=22Qvvl=2pApl=上述Eu，Fr，Re，M统称为相似准数。所用的，v，l，p，g等统称为定性参数定性参数，或称为特征参数特征参数，例如L称为定性长度定性长度，可以是管道直径，也可以是平板绕流的板长等；v称为定性流速定性流速，可以是管道断面平均流速，也可以是点流速具体问题具体分析，选得好质量高，选得差就不能反映物理过程的本质。由定性物理量组
13、成的相似准数，相互间存在着函数关系。在考虑不可压缩流体流动的动力相似时，决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力和惯性力并非都是独立的，三个决定第四个三个决定第四个第四节准数方程第四节准数方程FGmFsmFpmFmFGpFspFppFpFImFIp在大多数流动问题中，通常欧拉数Eu是被动的准则数。我们将对流动起决定作用的准则数称为决定性相似准数决定性相似准数，或称为定型相似准数定型相似准数；被动的准则数称为被决定的相似准数被决定的相似准数，或非定型相似准数非定型相似准数。准则数之间的函数关系称为准则方程准则方程。Eu=f(Fr，Re)即为准则方程。多数情况只要Fr，Re相等Eu数也就相等了。第
14、五节模型试验第五节模型试验动力相似要求同名作用力成比例，即所有的相似准数相等，但考虑准数之间的决定与被决定关系一般不可压缩流体只要Fr，Re相等即能实现动力相似，进而运动相似。pmppmmvvglgl=pmpmvvll22=完全相似可以实现吗完全相似可以实现吗很困难很困难!怎没办？怎没办？vl=32plm=在几何相似的前提下，所有的相似准数都相同的相似称为完全相似完全相似ppmmpmlvlv=粘性系数比值粘性系数比值分析对流动起决定性作用的力，及相应的准则数，相应的准则数相等。这种只满足主要相似准数相等的相似称为局部局部(或部分或部分)相似相似。粘滞力起主导作用时：GB粘滞力起主导作用重力作用为主压力起主导作用时：
