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1、 数学之友 2 0 1 5 年第 8 期 坚持问 题驱动式教学 提升高中生数学学习 力 三角函数诱导公式 教学案例的思考 张莉萍 ( 南京 市宁海中学 ， 2 1 0 0 0 0 ) 高中数学教学改革提出数学教学应该“ 淡化形 式， 注重实质” ， 强调数学的应用性、 情景性及探究 性学习， 倡导在数学问题驱动下呈现数学 在具体教 学 中如何有效实施 问题驱动式教学 问题如何设 置 才能更好的揭示知识的本质、 提升学生的数 学学 习 力， 这些问题仍需要进一步研究 本文就教学案例做 分析 、 讨论 案例 ： 三角函数的诱导公式 背景： 学生已理解任意角的概念， 掌握任意角的 正弦、 余弦、 正
2、切的定义； 通过初中直角三角形的学 习 ， 学生已经有 了锐角三角 函数值的解决方法 主题： 借助三角函数定义， 角终边位置关系， 推 导出正余弦的诱导公式， 能正确运用诱导公式将任 意角的三角函数化 为锐角 的三角 函数 ， 并解决有关 的三角函数求值问题， 能通过公式的运用， 掌握从未 知到已知 ， 从复杂到简单 的转化过程 ， 提高分析和解 决问题 的能力 片段 ： 师： 在前面的学习中， 我们定义了任意角的三角 函数 请大家计算 3 9 0 。 的正弦值 生 ： s i n c t =上 ， C O S O = ， t a n a - 7 - _ ，其中 ， Y是 l l 角 终边上任
3、意一点 P的坐标 ， r 是 O P长度 角 的三角函数值与 P点在终边上的位置无关， 仅与角 的大小有关 师： 角的三角函数值与 P点的位置无关， 说 明 只要角的终边相同， 角的同一三角函数值就相等 用 数学的语言如何表述这句话? 生： ，JB 角的终边相同， 所以正弦、 余弦、 正切值 都相同， 即s i n a= s i ， c o s = c o ， ta n t = t a 师 ： 对 ， 但这样 的关 系式无 法反 映 ， 角 的关 系， 怎么改? 生： ， 角的终边相同， 所以JB= 2 1 叮 + ， 所 以 可以写 成 ： s i n( 2 k ,t r +a)=s l n
4、 t x ， C O S , ( 2 k , r r + )= C O S O L ， t a n ( 2 1 r + O ) = t a n a ( 诱导公式 1 ) 师 ： 很好 ， 这样的一组公式就能够表 现“ 终边相 J 司的角 ， J 司一三角 函数值相等” 的意思 那 好 ， 前 面 的3 9 0 。 正弦值问题是否可以解决了? 生 ： 可 以， s i n 3 9 0 。=s i n( 3 6 0 。+3 0 。 )=s i n 3 0 。 3 0 。 是锐角， 其三角函数值已知， 解决问题 师： 有了这组公式， 有什么作用? 生： 能够将不在( 0 ， 2 ,r r ) 范围内
5、的角转化到( 0 ， 2 1 T ) 范围内求解 师 ： 有 了这组公 式 ， 是否解决所有角求值问题? 如 ： 一 詈 的 正 弦 值 是 多 少 ? ( 给学生时间， 让大家独立思考) 生 1 ： 可 以 用 一 0 = 一 2 盯 + ， s in ( 一 詈 ) = s in 生： 可 以 用 一 = 一 2 盯 + ， s in f 一 詈 l = s in D 1 0 ， ( 一 2 订 + ) = s in ，后 面 就 做 不 下 去 生 2 ： 可 以 借 助 一 詈 与 詈 的 关 系 ， 角 的 终 边 关 于 轴对称 师 ： 一 詈 虽 然 与 的 终 边 相 同 ，
6、但 不 是 锐 角， 其 三角函 数 值不 熟悉 说明 我 们对一 詈角 转换的 方向不对 ， 这个时间我们考虑 一 与哪个 锐角有联 系 一 詈 是 角 的 终 边 顺 时 针 旋 转 詈 ， 与 詈 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ，所 以 考 虑 一 詈 与 詈 的 关 系 在 詈 角 的 终 边 上 任 取 一 点 a( x ， y ) ， 记 O A=r ， 由三角 函 数 定 义 知 ： sin 詈： 手 ， c 。 s ： ，ta n 詈： Y - A 点 关于 了， 点 大丁 Y _ 弋 P ，( ， ，) l 轴 的 对 称 点 B 在 一 詈 角 的 终 边 上 ， 易
7、 知 ( ， 一 ) ， O B = O A = r ， 则 s in ( 一 詈 ) = = 一 手 = 一 s in 詈 ， c 。 s 47 数学之友 2 0 1 5年第 8期 ( 一 詈 ) = = c 。 s 詈 ， ta n ( 一 詈 ) = = 詈 一 ta n 詈 我 们 发 现 ， 一 詈 与 詈 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 其 正 弦值、 正切值相反， 余弦值相同 这个结论能否推广到 一 般， 终边关于 轴对称的角其三角函数值之间是否 都具有这样的特殊关系? 给学生时间， 让学生 自己证明 特别的， 角 一O 与角 O t 的终边关于 轴对称， 故有 s in
8、 (一 )=一 s i n a， C O S (一O d )= C 0 5 0 ， t a n (一 )=一t a n ( 诱导公 式 2 ) 师 ： 这组公式 的本质反 映的是终边 具有特殊 关系 的两角， 其三角函数值之间 的关系 ， 是角终边 的对称性 在其三角 函数值上的体现 ， 是形 的特征用数来阐明， 数 _、 ： ( ) 、 一 4 的关系用形来表现 有了这组公式 ， 我们可 以将负角 转化为正角的求值问题。 师 ： 两角终边的对称有关于 轴对称 ， 还有什么 对称? 生 ： 关于 Y 轴对称 ， 关于原点对称 师 ： 好 ， 那我们先来研究一下终边关于 Y轴对称 的两角 ， 其
9、三角函数值之间的关 系 ( 给学生 5分 钟 时 间思 考并 尝试 推 导证 明) 下略 反思： 问题驱动式教学的起点和关键是问题 的设计， 德国数学家康托曾说过： “ 数学领域中， 提 出问题的艺术 比解答 问题的艺术更为重要 ” 但设 计好的问题并不容易， 如何提出学生感兴趣的、 有 意义的且富有挑战性的问题是比较困难的事情 根据数学内容的特点以及教学 目的的不同， 问题 的设计原则也应有所区别 问题 的设计应遵循形 象化抽象的数学 ， 从直觉出发 ， 以旧带新的原则 问题驱动式教学需要教师将 自己的角色从数学知 识的传授者转变成课程设计者、 问题提出者、 学习 引导者、 过程促进者及成果
10、评价者等 在这种教学 过程中， 教师需要扮演一个更加活跃的角色 ， 需要 营造合适的氛围， 也要提出开放式的问题 老师既 要 紧扣教学 目标 ， 又要引起学生 的学 习兴趣 ， 调动 学生的积极性， 并且能够鼓励学生从多角度、 多层 面分析考虑 问题提出的好坏直接关系到课的效 果， 提出的问题要能激发更多的讨论 和更深层次 的研究 48 案例中第一组诱导公式的得出， 老师提出了 5 个问题： 用数学的语言如何表述这句话?关系式无 法反映 ， 角的关系， 怎么改?3 9 0 。 正弦值问题是 否可以解决 了?这组公式 ， 有什么作用?有 了这组 公式， 能否解决所有角求值问题?这 5个问题言简
11、意赅， 设置有序， 逐层递进 但学生不明白老师为什 么提出这些问题， 解决问题的作用与意义， 换句话 说 ， 就是提出的问题缺乏连续性 ， 缺乏启发性， 缺乏 深度与广度 学生在老师的引导下被动学习， 按照老师指定 的路线学习 整个学习过程 ， 学生对学习的目标缺乏 前瞻性 ， 不明白自己经历 的每一步的原 因是什么， 缺 乏学习 的自主性、 独立性 ， 对学生数学力的培养效果 不佳 虽然老师是在不 断的提 出问题 ， 引导学生 思 考， 分析， 但距离真正意义上的问题驱动式教学还有 距离 经过讨论 ， 修 正 了问题 ： 已知 3 0 。 ， 4 5 。 ， 6 0 。 角 的三角 函数 值
12、 ， 还 能求 出哪 些 角 的三 角 函数 值? 如果约定 s in 5 3 。 0 8 ， 还能求出哪些角的三角函 数值?以诱导公式的作用为设置问题 的出发点， 学生在解决这些问题的过程中， 体会了正余弦的 诱导公式的作用 ， 对公式的呈现形式有了深刻的 认识， 完成了形来表现数， 数说明形的数形结合的 过程 能正 确运用诱 导公式 将任 意角 的三角 函数 化为锐角的三角函数 ， 并解决有关的三角函数求 值 问题 ， 能通过 公式 的运 用 ， 掌握 从未 知到 已知 ， 从复杂到简单的转化过程， 提高分析和解决问题 的能力 只有坚持正确 的教学指导思想 ， 从整体考虑 ， 从 实际教学需要出发， 融会贯通地理解和运用多种教 学模式 ， 才能符合教学的复杂性和动态性要求 ， 实现 教学效果的优化 参考文献 ： 1 滕吉红， 等 问题驱动式教学模式在高等 数学 教学 中 的探 索 J 高 等 教育 研究 学 报， 2 01 2， 3 5 2 王嘉毅 课程与教学设计 M 北京： 高 等教育出版社， 2 0 0 6 3 刘志慧 高中教师有效教学行为的特点 及启示 J 教育理论与实践， 2 0 1 3 4 汪萍 关于课堂讲授的一个观念 J 数 学教育学报， 2 0 1 2
