东南大学自动控制原理 第2章综述

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1、第2章第1页 EXIT * 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 第2章第2页 EXIT * 2.1 2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 2.2 2.2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化 2.3 2.3 传递函数传递函数 2.4 2.4 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换 2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数 2.6 2.6 信号流图信号流图 2.7 2.7 脉冲响应函数脉冲响应函数 第2章第3页 EXIT * 数学模型 1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各 个变量之间关系的

2、数学表达式就称为控制系统的数学 模型。 2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只 是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不 够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分 析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模 型。它是分析和设计系统的依据。 第2章第4页 EXIT * 另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用 一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具 体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的 关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统 ，因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一 个数

3、学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进 行仿真研究）。 第2章第5页 EXIT * 3.表示形式 （经典控制理论中最常用的） a.微分方程；b.传递函数； c.频率特性 三种数学模型之间的关系 线性系统 微分方程传递函数频率特性 拉氏 变换 傅氏 变换 同一个系统，可以选用不同的数学模型， 如研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。 第2章第6页 EXIT * 4.建立方法 a.分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的 结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从 而建立数学模型适用于简单的系统。 b.工程实验法 工程实验法是利用系统的输入-

4、输出信号来建立数学模 型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模 方法。 黑盒 输入 输出 第2章第7页 EXIT * 但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型 。 本章只讨论解析法建立系统的数学模型 第2章第8页 EXIT * 2.1 2.1

5、 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 第2章第9页 EXIT * 2.1 控制系统微分方程的建立 一般步骤 （1）分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入 量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引进一些中间 变量。 （2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工 作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分 方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿 定律和热力学定律等等。 （3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量） 关系的微分方程，即元件的数学模型。 注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在

6、方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。 第2章第10页 EXIT * 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和 转动（相应的位移称为角位移）两种。 例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成 的机械平移系统如图所示。m为物 体质量，k为弹簧系数，f 为粘性 阻尼系数，外力F(t)为输入量，位 移x(t)为输出量。列写系统的运动 方程。 x m Fk 2.1.1 机械系统 第2章第11页 EXIT * 解 在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速 度、加速度分别为x、dx/dt、

7、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位 移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关 系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为 x m Fk k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。 第2章第12页 EXIT * 2.1.2 电气系统 w 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放 大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、 电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网 络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。 例 由电阻R、电感L 和电

8、容C组成无源网 络。ui输入，uo输出 ，求微分方程。 L C ui(t) uo(t) i(t) + + R 第2章第13页 EXIT * 解 设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到 式中i ( t )是中间变量。i ( t )和u o( t )的关系为 消去中间变量i (t )，可得 L C ui(t) uo(t) i(t) + + R 第2章第14页 EXIT * 比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同的物理系 统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同 数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如上述RLC串联 网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相

9、似系统，故可 用电子线路来模拟机械平移系统。在相似系统中，占据相应 位置的物理量称为相似量。 第2章第15页 EXIT * 2.2 2.2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化 第2章第16页 EXIT * 非线线性微分方程的求解很困难难。 忽略弱非线线性环节环节 （如果元件的非线线性因素较较 弱或者不在系统线统线 性工作范围围以内，则则它们对们对 系 统统的影响很小，就可以忽略）。 在一定条件下，可以近似地转转化为线为线 性微分方 程，可以使系统统的动态动态 特性的分析大为简为简 化。实实 践证证明，这样这样 做能够圆满够圆满 地解决许许多工程问题问题 ， 有很大的实际实际

10、意义义。 第2章第17页 EXIT * 2.2.1 小偏差线线性化的概念 （小偏差法，切线线法，增量线线性化法） 偏微法基于一种假设设，就是在控制系统统的整个调节过调节过 程中，各个元件的输输入量和输输出量只是在平衡点附近作微 小变变化。这这一假设设是符合许许多控制系统实际统实际 工作情况的， 因为对闭环为对闭环 控制系统统而言，一有偏差就产产生控制作用，来 减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。 因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工 作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数 在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函 数。 第2章第18页 EXIT *

11、2.2.2 举例 一个自变量 y=f(r) r元件的输入信号，y元件的输出信号 0r0r0+r y0 y0+y y A B 略去高次项， 设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0) B点：当r变化 r， y=y0+ y 函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即 第2章第19页 EXIT * 两个自变量 y=f(r1， r2) 静态工作点： y0=f(r10， r20) 在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即 函数变化与自变量变化成线性比例关系。 第2章第20页 EXIT * 2.2.3 系统线性化的条件及步骤 1.

12、条件 系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作 点; 在运行过程中偏离且满足小偏差条件; 在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函 数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。 第2章第21页 EXIT * 2.建立步骤 按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分 方程。 确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作 状态。 对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若 符合就进行线性化处理。 将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量 直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。 联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系 统总输入和总输出增量的线性化方程

13、。 第2章第22页 EXIT * 2.2.4 关于线性化的几点说明 线性化方程中的参数与选择的工作点有关，因此，在进 行线性化时，应首先确定系统的静态工作点。 实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围 内变化。 若非线性特性是不连续的不能采用上述方法。 线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。 第2章第23页 EXIT * 2.3 2.3 传递函数传递函数 第2章第24页 EXIT * 2.3.1 2.3.1 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统 的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制 系统品质好坏的评价可以

14、通过对系统结构参数的分析来达到， 而不需要直接对系统输出响应进行分析。 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或 元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种 数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的 影响。 第2章第25页 EXIT * 1. 定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函 数，记为G(s)，即： 意义： 第2章第26页 EXIT * 传递函数的求法 线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件） 第2章第27页 EXIT * 当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为 例2.3 求图

15、示RC电路的传递函数，其中ui(t)是输 入电压， uo(t)是输出电压 解 由基尔霍夫电压定律可得 第2章第28页 EXIT * 2. 关于传递函数的几点补充说明 （1）传递函数只适用于线性定常系统。 （2）传递函数表达式中各项系数的值完全取决于 系统的结构和参数，并且与微分方程中各导数项的 系数相对应。 （3）实际系统传递函数中分母多项式的阶数n总 是大于或等于分子多项式的阶数m ，即nm。通常 将分母多项式的阶数为n的系统称为n阶系统。 （4）传递函数只能表示单输入、单输出的关系。 第2章第29页 EXIT * 上式中 Kg零极点形式传递函数的根轨迹增益 ； -zi 分子多项式M(s)=

16、0的根，称为零点； -pj 分母多项式N(s)的根，称为极点。 wN(s)=0是控制系统的特征方程式。zi、pj可为实数、虚 数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复 数。 （5）零极点表示法 第2章第30页 EXIT * （6）时间常数表示法 上式中 i分子各因子的时间常数 ； Tj分母各因子的时间常数 ； K 时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。 第2章第31页 EXIT * 一般形式 第2章第32页 EXIT * 2.3.2 用复阻抗法求电网络的传递函数 元件名称电电路形式元件微分方程阻抗传递传递 函数 电电阻R 电电容C 电电感L 求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求 取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗 传递函数。 第2章第33页 EXIT * 解： 令 例2.5 求图示电路的传递函数 则 第2章第34页 EXIT * 一个系统可看成由一些环节组成的，可能