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1、抛物线的标准方程知识要点：1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2. 标准方程 坐标系：使坐标轴经过点F且垂直于直线l于K，并使原点与线段KF的中点重合。 设|KF|=p（p0），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：3. 几何性质：以抛物线y2=2px（p0）为例。 （1）范围。x0，|y|随x增大而增大，但无渐近线。 （2）对称性。关于x轴对称。（对称轴与准线垂直） （3）顶点。对称轴与抛物线的交点。 （4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1（注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征
2、草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。 4. 几个重要的解析结果： （1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y1y2=p2（p0）（3）焦半径公式： （4）焦点弦长公式：|AB|=x1+x2+p（x1、x2分别为A、B的横坐标），由此可知，通径长为焦点长的最小值：例题：例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：例3 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段
3、AB的中点M在直线y=x上?例4 过抛物线y2=2px(p0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.例5 直线l1和l2相交于M，l1l2，点Nl1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，AM=，AN=3，且BN=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.例6 已知抛物线y2=2px(p0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，AB2p.()求a的取值范围.()若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求RtNAB面积的最大值.习题练习：A级一、选择题1.抛物线y=-x2的准线方程是( )A.
4、x=B.x=C.y=2D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )A.0 B.1 C.2 D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4 B.8 C.16 D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=
5、x对称的曲线方程是 .7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是 .8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦的两端，则y1y2= .三、解答题9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.10.已知A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级一、选择题1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是( )A.x0- B.x0+C.x0-mD.x0+m2.过抛物线的焦点F
6、的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在抛物线的准线上的射影是A1、B1，则A1FB1等于( )A.45 B.60 C.90 D.1203.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则AB等于( )A.4B.6C.8D.104.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是( )A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x25.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则PF+PA的最小值是( )A.2B.C.3D.二、填空题6.若(4，m)是抛物线y2=2p
7、x上的一点，F是抛物线的焦点，且PF=5,则抛物线的方程是 .7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是 .8.若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则m的值是 .三、解答题9.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p0)与椭圆在第一象限的交点为Q，若F1QF2=60，(1)求F1QF2的面积；(2)求此抛物线的方程.10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.AAA级一、选择题1.抛物线y=
8、2ax2(a0)的焦点坐标是( )A.( ,0)B.(0, )C.( ,0)D.(0, )2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为( )A. B.1C.2D.43.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( )A.(，)B.(1，1)C.(，)D.(2，4)4.已知抛物线y2=2px(p0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则OFM的面积(O为原点)为( )A.1B. C.2D.25.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则PQ的最小值等于( )A. -1B.-1C.2D.(-2)二、填空题
9、6.已知抛物线y2=4ax(a0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则m=,n=.7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离PF= ；8.定点A(3，2)是抛物线y2=2px(p0)内部的一点，F是抛物线的焦点，点Q在抛物线上移动，已知AQ+QF的最小值为4，则P= .三、解答题9.设抛物线y2=2px(p0)的弦PQ交x轴于点R，过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，求证：OR是OM和ON的等比中项.10.设抛物线C：y2=2px(p0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴)，F为焦点，且AF+BF=8，又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6，0).(1)求抛物线C的方程；(2)求AQB的面积最大值.第 5 页 共 5 页
