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1、非线性振动系统及混沌的基本概念 概述：混沌的发现 1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德 华洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计 算机速度约每秒做6次乘法。 经简化后的洛仑兹气象模型为 蝴蝶效应 非线性系统的运动现象 1 为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输 入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果， 然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机 却偏离了上次的结果。 他第二次输入时去掉了小数点后面三位： 混沌的初值敏感性 2 蝴蝶效应 洛仑兹吸引子（奇怪吸引子） 3 非线性振动系统及混沌的基本概念 一、任意摆角情况下单摆的运动 线性系统（数学定义）： 若 则
2、 满足 是线性的；为非线性，则 自由单摆的运动方程： 线性近似： 当 很小， (sin ) 若 按级数展开，取第一项而得. 4 若 为任意值， 故自由单摆为非线性振动系统： 令，以及 ， 则上式变为 而 (sin ) 5 方程解的非唯一性 1. 设初始条件为 0= ，0= 0， 运动分析： 在最高点 = ， = 0， 系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况： a. 停留在该顶点，尔后径直下落； b. 调头沿原路返回； c. 越过该顶点继续向前运动。 则其解为 6 ，则解为类似地，当令0=0， 最高点( = )，非稳平衡，运动非唯一性。 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆）
3、： 一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。 结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。 7 二、确定性系统中的内在随机性 在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性性 质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在随机 性。 例如，上述非线性单摆的运动。 支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确 定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。 然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现 了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的 结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。 8 三、混沌的基本概念 1. 混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出 来的内在随机行为。是
4、一个决定论的系统中所存在的 运动的不可预测性。 2. 相图 描述系统运动的各状态参量之间的关系图。 例：自由单摆（简谐振动） 简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原 ，所以相轨线 为一闭合曲线。 9 3. 自治系统与非自治系统 不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含 时间 t 的动力学方程称为非自治系统。 由线性单摆 方程可得 不显含 t ，在二维相 空间中为自治系统。 由受阻力 和周期策动 力作用的非 线性单摆方 程可得 （角谐振动） 显含 t ，在二维相空间中为非自治系统。 10 自治系统的相空间与相轨线 引入新变量 = t ，可将方程化为三维相空间中的 自治系统： 一个自
5、治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即 通过每一相点的轨线是唯一的。 而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二 维 相平面上相轨线有相交情况。 11 4. 彭加勒截面图 若沿方向截取一系列截面，则根据该自治系统的 性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次 性的穿过每一个截面。 因，若以2 为周长，将相空间弯成 一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面 称为彭加勒截面。 12 相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为 彭加勒截面图。 通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。 13 讨论： 单周期振动，每隔2运动状态复原， 即相
6、轨线每次都从同一点穿过彭加勒截 面，在彭加勒截面图上只有一个不动 点； 运动无周期性，则彭加勒截面图上有无穷多个点。 倍周期的运动，彭加勒截面图上有两 个不动点； 。 14 四、单摆与混沌 单摆方程 按泰勒级数 适当代换，得到非线性振动方程（杜芬方程） 取前两项近似， 运动的演变 讨论 1. 线性近似下的单摆运动 15 三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相 应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。 令 =0，退化为线性方程 阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终 停止于中点-不动点吸引子- 。 受迫振动：经过暂 态之后趋于一稳定的 闭合圈-周期吸引子 或极限
7、环。 简谐振动的相轨线：闭合圈-周期环-。 16 方程代表复杂的非线性振动系统。 2. 非线性近似下的单摆运动 混沌 为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。 数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产 生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进入 混沌的演化过程。 从周期运动到倍周期分岔 当 f = 0.8，系统的运动仍是 一个简单的周期运动。 17 当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出 现了倍周期分岔。 说明：图中看上去的每一条曲 线实际上是完全重合的两条曲 线，它们的初始值略有差异： a. x0=1，0=0； b. x0=1.001，0=0.001. 结论： 初始
8、条件的微小差别对周期性运动不产生影响， 或者说周期运动对初值不敏感。 混沌运动 继续增大 f，当 =1.3，随机性运动取代了周期性运动 ，表明系统已进入混沌状态。 18 注意：图(a)中的两条运动曲线的初值分别为x0=1， 0= 0和 x0=1.00001，0=0.00001。误差仅在小数点 后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓“差之 毫厘，失之千里”。 处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感， 称这一特性为混沌的初值敏感性。 相图(b)反映出混 沌运动的随机性。 即相轨道(运动状态 )完全不可预测。 运动的随机性 -蝴蝶效应- 19 混沌的内在规律性-混沌吸引子 图(a)中两条曲线的运
9、动完全各异，但它们的彭加勒 截面图(c)和(d)却又是完全相同的。把混沌的相轨 线在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子。 混沌吸引子是非 线性耗散系统混沌 的特征，表明耗散 系统演化的归宿。 代表混沌行为的 全局特征。 混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。 20 结论 然而混沌的全局特征混沌吸引子却具有不依 赖于初值的、确定的规则。 貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确定 的规律-混沌运动的内在规律性。 这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。 初值悬殊的 三个吸引子 混沌行为具有 极为敏感的初值 依赖性； 21 如继续增大 f ，当 f =1.53，则出现一个三倍周期的 运动-周
10、期三窗口。 当 f =1.75时，系统又再次进入混沌状态。 周期窗口 在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区中 的周期窗口。 22 五、混沌的演化，内部结构和普适性 利用最简单的非线性方程作进一步分析： -抛物线方程 ，得抛物线形迭代方程 令 在整个区间取值迭代便 得出由周期运动到倍周 期分岔，再进入混沌状 态的整个演化过程。 1. 混沌的演化（通向混沌的道路） 23 倍周期分岔序列：12482n . 当n，则解的数目，意味着系统已进入混 沌状态。将混沌开始时对应的 记为 ( =1.40115518909205 )。 2. 混沌区的结构 a. 窗口 在混沌区中重又出现 的周期性运动。 窗口
11、中包含着与整体 完全相似的结构。 周期三窗口 通向混沌的其它道路 准周期道路：平衡态周期准周期混沌. 阵发混沌道路 24 1 框内部分放大得下页图 25 框内再放大得下页图 2 26 3 27 1 2 3 混沌内部的自相似结构 28 看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结 构。 任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与 整体完全相似的规律。 在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构 称为自相似性。 从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是 整数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。 b. 自相似结构 混沌带的合并 -从逆着混沌演化的方向，可找到混沌 带合并的规律： 29 c.
12、普适性 若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参 数记为n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之 比趋于同一个常数： 注意：常数 并不只限于单摆公式，而是对所有同 一类的变换，所得的 值都精确地相同。 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各 个系统的其他具体细节无关。 反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性. 是混沌内在规律性的另一个侧面反映。 费根鲍姆常数 30 在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各 对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分 岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常 数 ，称为标度因子或普适常数: 标度因子 例如，图中 注意：当不满足 ，则比值只是近似的。
13、 31 讨论 相同的常数 和 出现在不同的非线性系统之中， 充分显示出非线性系统中存在的某种共性，说明通 往混沌的道路是有确定的规律可循的。 混沌现象是确定性系统中的内在随机行为，是非 线性系统的一种固有属性。 经典力学的观点并不能理解内在随机性。 按照牛顿决定论的观念，一个没有外来随机因素 影响的确定性系统，其运动的规律也必然是确定的 。就是说，只要初始条件给定，则系统在以后任一 时刻的运动状态都是完全可以预见的，决不可能出 现任何“越轨”的随机行为。 32 从整个自然界来讲，线性系统与非线性系统之比 正如有理数与无理数之比，我们实际上是生活在一 个非线性的世界之中。 混沌现象无处不有。混沌规律不仅支配着整个自 然界的各个领域，而且也支配着人类的各种社会活 动。 混沌的发现是对经典的决定论的冲击，或者说 混沌理论是对经典力学理论的补充和发展。 混沌在现代科技以及经济、社会领域中都有若干重 要应用。 33
