化归方法与立体几何教学

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1、发, 提供较丰富的基本事实、背景材料,从中分 析、抽象、概括出数学概念、思想方法;提供基 本的应用实例, 让学生去经历再发现、再创造的 过程, 从中获得良好的数学训练, 使他们真正理 解、掌握和运用这些概念、思想、方法,不断增 强他们的数学能力. 3. 突出数学思想和方法, 注重培养数学思维 能力. 在这套高中教材中蕴涵和渗透了公理化、 结构化的思想、集合对应的思想; 学习了映射、 等价、序关系以及各种变换; 使用了观察、归纳、 类比、一般化、抽象化等数学化方法和定义、分 类、演绎证明等逻辑组织化方法; 并引进了数形 结合、待定系数法、参数法、递归、逼近等数学 思想方法. 这些思想方法在全套教

2、材中的反复使 用、不断出现, 大大有利于学生的理解、掌握和 应用, 从而保证了思维能力的培养和提高. 4. 重视现代数学语言的引进和使用. 教材中 引入集合的、逻辑的语言、符号, 并在全套教材 中普遍使用, 力求经常、正确地使用. 提高运用 数学语言、符号、图表的表达能力,充分使用现 代数学语言, 达到培养数学交流能力的目的. 5. 提倡充分使用计算器和计算机等现代化教 学手段, 促进学生积极参与教学活动, 在学习中 解决一些实际问题. 凡是有大量数值计算的地方, 如解三角形、插值计算、数据处理、经验公式、 定积分计算、实习作业等, 都可以充分使用计算 器或计算机. 6. 充分尊重学生的主体和

3、教师的主导地位. 教材内容和教学要求都有较大弹性, 除对必学的 基础知识体系进行章末小结、总结整理、并精心 设计 A、B 两组复习题外, 还选配了一些专供选 学、自学的阅读材料; 重要概念、术语还加注了 英文词汇; 安排了一些 / 思考题0、/ 研究题0;鼓 励师生能从实际出发, 积极主动地进行教与学, 独立地去思考、探讨和研究问题,以便发展学生 的思维创造能力. 在国家教委提出的 / 统一要求, 教材多样化0 的指导下, 本套教材以九年义务教育初中数学教 学大纲为起点, 以国家教委新颁布的高中数学教 学大纲为依据, 面向条件较好的高级中学的优秀 学生, 选取基础数学的精要内容,增加必要的现

4、代数学和逻辑学的语言、思想和方法, 充分使用 精确化的数学语言和现代化手段,同时注重与相 关学科的衔接配合,培养学生的五大能力. 经过 教学实验, 不断总结、修订、创新, 力求在科学 实验中锤炼出一套有特色的高水平教材; 在不断 的改革研究中, 积累经验, 从而形成一套相应的 教学方法和教学指导书; 在教学改革实验的实践 中, 培养造就一批有创造精神、勇于探索、具有 时代使命感的优秀教师. 为繁荣我国较高层次的 基础教育而贡献一份力量. 化归方法与立体几何教学 傅佑珊 古永喜 ( 北京教育学院西城分院) (北京九十二中) 数学中的化归方法, 是指把待解决或未解决 的数学问题, 通过某种转化过程

5、, 归结到一类已 经解决或者比较容易解决的问题, 最终求得问题 的解答的一种手段和方法. 通过转化的手段把待解决的问题化归为已经 解决或比较容易解决的问题,只是在原则上教给 我们一种解决数学问题的基本思考方法,至于对 每一个具体问题如何去实现这种转化过程, 仍然 面临着如何寻找正确的化归的途径和选择恰当的 转化手段等技巧问题. 立体几何是平面几何的推广和发展. 因此解 决立体几何问题的基本思考方法是: 寻找正确的 手段和方法, 将它化归为平面几何去解决. 本文 将从立体图形转化为平面图形、综合图形基本化、 复杂图形的分解与组合、类比联想等方面去论述 化归方法在立体几何教学中的运用. 1 立体图

6、形转化为平面图形 立体几何中的三个公理,特别是公理 3 及其 三个推论, 是立体图形转化为平面的理论依据; 课本中的两个注意, 又提醒我们在立体图形平面 91998 年 第 2 期 数学通报 化过程中可能出现的错误, 在教学过程一开始就 要特别重视; 对于等角定理的证明, 要明确告诉 学生, 目前除了四个公理外,别无其它的公理和 定理, 所以只能化归为平面几何问题去解决.这 样为学生在后面运用化归方法把立体图形平面化 奠定了良好的基础. 立体图形平面化是立体几何中主要的化归方 法, 它主要表现在以下四方面. 111 空间角的平面化 空间角是指异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角的总称

7、. 这三个概念的定义, 为我们把空间角化归为平面角提供理论依据和具 体的方法. 因此, 在一个问题中, 如果条件或结 论出现空间角的概念,首先要以概念为指导作出 有关的空间角, 然后逐步化归为平面角去解决. 例 1 底 面 是 等 腰 梯形 的 四 棱 锥 S - ABCD, AD = BC, AB = 2CD = 2SD , N DAB = 60b, SD L 底面 ABCD . 求: 图 1 (1) 侧面 SAB 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2) 侧棱 SB 与底面 ABCD 所成的角; (3) 异面直线 SB 和 AD 所成的角. 略解: 如图 1. (1) 作SE L AB

8、交AB于E, 连结DE.则 NDES 即为所求二面角的平面角. 设 SD =CD =a, AB =2a, _ DE = a 2 # tg60 b = 3 2 a . tgN DES = DS DE = 2 3 , _NDES =arctg 2 3 . (2) 连结 SB, DB , 则 N SBD 即为所求的直 线与平面所成的角. BD =DE2+ BE2=3a,_ tgN SBD = SD BD = 3 2 , _ N SBD = 30b . (3) 作 BF +AD 交DC 延长线于F . 连结 SF , 则 NSBF 即为异面直线所成的角 SF2=SD2+DF2=5a2, SB 2 =S

9、D2+ DB 2 = 4a2, BF =AD = 2AE =a , _BF 2 =a2.SF 2 =SB 2 +BF 2, _ NSBF =90b . 112 空间距离的平面化 立体几何中的距离问题, 根据它们的定义都 可以化归为两点间的距离问题, 这就是空间距离 平面化的理论依据. 例如求异面直线距离的基本 方法是: 或化归为求它们公垂线段的长; 或化归 为求直线平行于平面间的距离; 或化归为求二平 行平面间的距离. 而这三种方法最终又化归为求 两点间的距离. 例 2 正四棱锥 V - ABCD 的底面边长为 2, 高为 3, E 和 F 分别是 BC 和CD 的中点. 求: (1) AB

10、和 VC 所成的角的正切与距离; (2) 点 C 到截面 VEF 的距离. 图 2 略解: 如图 2. (1) 作斜高VF,VF = VO2+ OF2= 10,_ tgN VCF =10. AB 和 VC 的距离化归为AB 和平面 VCD 的距 离. 作斜高 VK , 所以又化归为求 K 点到平面 VCD 的距离. 作 KM L VF 交 VF 于 M , 于是又 化归为求等腰 $VKF 一腰上的高KM (即点 K 与 M 的距离) KM # VF =2S$VFK=VO # KF = 6, _ KM = 310 5 . (2) VH = 38 2 , _S$VEF= 19 2 .又 S$CEF

11、= 1 2 . _VV- CEF = 1 2 . 设 C 点到截面 VEF 的 距离为 x , 1 3 1 2 19# x =VC- VEF=VV- CEF= 10数学通报 1998年 第 2期 1 2 , _ x = 319 19 . 第 (1) 题用的是面积的等积变换, 第 ( 2) 题用的是体积的等积变换. 不论哪一种变换,本 质上是一致的, 都是知道面积或体积后,求点到 线的距离, 或求点到面的距离. 当然, 这种等积 变换一般只适用于三角形和三棱锥. 113 作特征平面把空间图形平面化 旋转体和多面体以及由它们组合的几何体, 常常有数量关系比较集中的特征平面. 如旋转体 的轴截面,

12、直棱柱的底面, 正棱锥的直角三角形, 正棱台的直角梯形等都是特征平面. 因此在解决 上述图形或由它们组合之后的图形的问题时,经 常是通过作特征平面, 使空间图形平面化, 然后 用平面几何的方法去解决. 但在由多面体和旋转 体所组成的几何体中, 如何作出特征平面, 则要 因题而异. 图 3 例 3 已知球的半径为 R . 求半球内接正方体的棱 长. 略解: 过正方体的对角 面所在的平面作一截面,得 平面图形 ( 图 3) . 设正方体的棱长为 x , x2+ ( 2 2 x) 2 = R 2, _ x = 6 3 R . 例 4 求底半径为 r , 高为 h 的圆锥内接棱长 图 4 都相等的正三

13、棱柱的棱长. 略解: 作由圆锥的高, 和正 三棱柱的一个顶点所在的母线所 组成的直角三角形 ( 图 4) 设正三棱柱的棱长为 x , 则 3 3 x r = h - x x ,_ x= 3rh 3r +3h . 114 / 展平0 / 展平0 是空间图形平面化常用的方法之一, 如经常把圆柱、圆锥和圆台的侧面展开而得矩形、 扇形和扇环的图形等, 以解决有关的问题. 有时 多面体的问题也通过 / 展平0 的方法去解决. 例 5 在底面半径为 5, 母线为 10 的圆锥中, AB为底面直径,P为顶点.从点A绕锥面到母 线PB 的中点M . 如图 5 ( a) 求: 图 5 (1) 最短线的长; (2

14、)点 P 到这最短线的距离. 略解: 将圆锥的侧面展开为图 5 (b). (1) 设扇形的圆心角为 H, 则 H= r l 360b = 180 b . _NAPM = 90 b, A M =5 5 . (2) 作 PC L AM 交A M 于点C . PC# AM =AP# PM , _PC = 2 5 . 例 6 如图 6 (a). 正三棱锥 A - BCD , 底面 边长为a. 侧棱长为2a. 过点B作与侧棱AC, AD 相交的截面. 在这样的截面三角形中, 求: (1) 周长的最小值; (2) 用这周长最短的截面截得的小三棱锥 B - AEF 和原三棱锥体积B- ACD 之比. 图 6

15、 略解: (1) 把正三棱锥的侧面展开为图6 (b). BBc M CD , _N1=N2=N3, BE =BcF =a . $BcFD $ADBc , _ FD = a 2 , AF = 3a 2 . $ AEF$ACD ,_ EF a = AF 2a , EF = 3 4 a . _ 截面周长最小值 BBc = 2a+ 3a 4 = 11a 4 . (2) VB- AEF VB- ACD = S$AEF S$ACD = EF2 CD2 = 9 16 . 2 综合图形基本化 数学是一门演绎推理的科学,于是在同一数 111998 年 第 2 期 数学通报 学分支内部就产生了如下 / 结构0 (

16、当然定理之间 还有联系): 由于 / 结构0 的存在, 就加快了演绎推理的 步伐, 只须把待解决的问题化归为 / 结构0 中的 某一 / 结论0 就行.根据这个观点,立体几何教 学可以采取以下教学模式: 这些基本图形如果是课本中的例习题, 效果 就会更好. 例如, 由三垂线定理及其逆定理可推 得如下基本图形. 基本图形 1. 如图 7. PA 垂直于 $ABC 所在 平面, N ACB = 90 b , 则. (1) 直线BC L 平面 PAC. (2) 平面 PB L 平面 PAC ( 课本 P. 79:2; P. 117: 2) 图 7 图 8 基本图形 2. 如图 8. AB 和平面 A所成的角 是H1, AC 在平面A内, AC 和 AB 的射影 ABc 成角 H2. 设N BAC = H, 则cosH1# cosH2= cosH. ( 课 本 P. 117: 3) 基本图形 3. 如图 9. PO 垂直于 NBAC 所确 定的平面 A, PA 为斜线, AO 为射影. 图 9 ( 1)若NPAB = NPAC