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1、#+ 第四讲第四讲 全等三角形与旋全等三角形与旋 转问题转问题 中考要求 考试要求考试要求 板块板块 A A 级要求级要求B B 级要求级要求C C 级要求级要求 全等三角形全等三角形 的性质及判的性质及判 定定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会用全等三角形的性质和判定解决简 单问题 会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题 知识点睛 基本知识 把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，GO G G G 点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，O G GG G 象与原象是全等形 很明显，旋转
2、变换具有以下基本性质： 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； 对应直线的交角等于旋转角 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以 便于诸条件的综合与推演 重、难点 #+ 重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以 后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定 也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点 难点：难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用 性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚
3、，哪几个是 条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中 反复强化 例题精讲 【例例 1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案 与其余三个图案旋转的角度不同，它是与其余三个图案旋转的角度不同，它是( ) 【解析解析】A 【例例 2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 AEFG 可以看成是把可以看成是把 菱形菱形 ABCD 以以 A 为中
4、心为中心( ) A顺时针旋转顺时针旋转 60得到得到 B顺时针旋转顺时针旋转 120得到得到 C逆时针旋转逆时针旋转 60得到得到 D逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到 GF E D C B A 【解析解析】D 【例例 3】 已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：CABACMCBNANBM #+ M D N E CB F A 【解析解析】、是等边三角形，ACMCBN ，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形 【例例 4】 如图，如图，C 是线段是线段 BD 上一点，分别
5、以上一点，分别以 BC、CD 为边在为边在 BD 同侧作等边同侧作等边ABC 和等边和等边CDE,AD 交交 CE 于于 F，BE 交交 AC 于于 G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( ) A1 对对 B2 对对 C3 对对 D4 对对 K G F E D C B A 【解析解析】C 【补充补充】已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：平分平分CABACMCBNCFAFB M D N E CB F A G M H D N E CB F A 【解析解析】过点作于，于，由，CCGANGCHB
6、MHACNMCB 利用进而再证，可得到，故平分AASBCHNCDCGCHCFAFB 【补充补充】如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形CABACMCBN 请你证明：请你证明： ；ANBM ；DEAB 平分平分CFAFB M D N E CB F A #+ 【解析解析】此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系 与三角形各内角相等，60MCN 及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等 推到而得的：；AFCBFC ，；ANBMCDCEADMENDBE ，；AMCNCMBNDEAB ，；ACNMCBADCMCENDCBEC 为等边三角形D
7、EC 、是等边三角形，ACMCBN ，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM 由易推得，所以，又，ACNMCBNDCBECCDCE60MCN 进而可得为等边三角形易得DECDEAB 过点作于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB 利用进而再证，可得，故平分AASBCHNCDAFCBFC CFAFB 【例例 5】 如图，如图，三点共线，且三点共线，且与与是等边三角形，连结是等边三角形，连结，分别交分别交，于于BCEABCDCEBDAEACDC ，点求证：点求证：MNCMCN NM E D C B A 【解析解析】与都是等边三角形ABCDCE ，及BCACCDCE60ACBDC
8、E ，三点共线BCE ，180BCDDCE 180BCAACE 120BCDACE 在与中BCDACE ， BCAC BCDACE DCEC BCDACE CANCBM ，120BCDACE 60BCMNCE 60ACD 在与中BCMACN ，60 BCAC BCMACN CBMCAN BCMACNCMCN 【例例 6】 ( (2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷年怀化市初中毕业学业考试试卷) )如图，四边形如图，四边形、都是正方形，连接都是正方形，连接、ABCDDEFGAE 求证：求证：CGAECG #+ G F E D C B A 【解析解析】ADCEDG CDGADE 在和中CDGAD
9、E CDAD CDGADE DGDE CDGADEAECG 【补充补充】(】(年全国初中数学竞赛海南区初赛年全国初中数学竞赛海南区初赛) )如下图，在线段如下图，在线段同侧作两个等边三角形同侧作两个等边三角形和和2008AEABC ( () )，点，点与点与点分别是线段分别是线段和和的中点，则的中点，则是是( ( ) )CDE120ACEPMBEADCPM P M B C D E A A钝角三角形钝角三角形 B直角三角形直角三角形 C等边三角形等边三角形 D非等腰三角形非等腰三角形 【解析解析】易得所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的又为线ACDBCEBCEACDC60M 段中点，为线段中点
10、，故就是绕着点顺时针旋转而得所以且，ADPBECPCMC60CPCM ，故是等边三角形，选 C60PCMCPM 【例例 7】 如图，等边三角形如图，等边三角形与等边与等边共顶点于共顶点于点求证：点求证：ABCDECCAEBD D E C B A 【解析解析】是等边三角形，ABC60ACBACBC ，同理，60BCDDCA 60ACEDCA DCECBCDACE 在与中，BCDACE ， BCAC BCDACE DCEC BCDACEBDAE #+ 【例例 8】 如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形，是等边三角形，是是中点，中点，是是中点，求中点，求CABACMCBNDAN
11、EBM 证：证：是等边三角形是等边三角形CDE MD N E CBA 【解析解析】，ACNMCBANBMABMANC 又、分别是、的中点，DEANBM ，BCENCDCECDBCENCD 60DCENCDNCEBCENCENCB 是等边三角形CDE 【例例 9】 如图，如图，是等边是等边内的一点，且内的一点，且，问，问的度数是否的度数是否DABCBDADBPABDBPDBC BPD 一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由 P D CB A A BC D P 【解析】连接，将条件，这两个条件，易得()，得CDBDADBPABACDBCDSSS ，
12、由，(公共边)，知 1 30 2 BCDACDACB BPABBCDBPDBC BDBD ()，故的度数是定值BDPBDCSAS30BPDBCD BPD 【例例 10】( (2005 年四川省中考题年四川省中考题) )如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形中，中，为为中点，中点，ABC90B ABaOAC 求证：求证：为定值为定值EOOFBEBF O B E CF A 4 3 2 1 O B E CF A 【解析】连结由上可知，而，OB1290 2390 13 445C OBOC ，OBEOCFBEFCBEBFCFBFBCa 【补充补充】如图，正方形如图，正方形绕正方形绕正方形中点中点旋转，
13、其交点为旋转，其交点为、，求证：，求证：OGHKABCDOEFAECFAB #+ 5 4 3 2 1 O H B E D K G C F A 【解析】正方形中，ABCD1245 OAOB 而，3490 4590 ，35AOEBOF ，AEBFAEFCBFFCBCAB 【例例 11】( (2004 河北河北) )如图，已知点如图，已知点是正方形是正方形的边的边上一点，点上一点，点是是的延长线上一点，且的延长线上一点，且EABCDCDFCB 求证：求证：EAAFDEBF F E D C B A 【解析解析】证明：因为四边形是正方形，所以，ABCDABAD 因为，90BADADEABF EAAF 所
14、以，所以 90BAFBAEBAEDAE ，故，故 BAFDAE Rt ABFRt ADEDEBF 【补充补充】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，于于，若四边形，若四边形ABCD90ADCABC ADCDDPABP 的面积是的面积是 16，求，求的长的长ABCDDP P D C B AA B C D E P 【解析解析】如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把DDEDPBCDEEADPCDE 逆时针旋转，得到正方形)ADP90DPBE 正方形的面积等于四边形面积为，DPBEABCD164DP 【例例 12】( (1997 年安徽省初中数学竞赛题年安徽省初中数学竞赛题) )在等腰在等腰的斜边的斜边上取两点上取两点、，使，使
