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1、 毋 ； 陈 哆 陈 明 贵 绘 讲坛 学 科 纵 横 “ 小学生学的数 学很初 等、 很 简单。尽 管简单， 里面却蕴含 了一 些深刻的数学思想” 。 “ 一个教学案例 在 一次下 乡教 育督导 中，听到一位一年级 女教 师讲 “ 加减 法关 系” 的复 习课 ， 并 出示 了这 样一 个画面： 8 2+6 =8 8-2 =6 I I I I I I I I 6 + 2 一 6 = 2 2 6 笔者看到这个画面， 为之一振 ， 这不是一 堂单纯的加减法复 习课 ， 中间所包含的信息量 太大 了 ，既再现 了加 法与 减法的 产生过 程 ， 也 让一 年级 的 小娃娃 们初 步 感 受到 了加
2、 法 与减 法的依存关系， 更让学生朦胧中悟到了一些连 他们 自己都说不清楚的东西， 那就是“ 数学思 想” 。也许授课 老 师压根 儿就没 有从 这 个 高度 去 细心 想过 她 的设 计理 念与 流程 ， 其 实 ， 就在 这一个看似 简单的画面中能找到 1 0多种数学 思 想的印记 。 它们分别是组合 的思想 、 符号化的思想 、 抽 象的思想、 对应的思想、 分类的思想、 穷举的思 想、 模 型的思 想、 类比的思想、 方程的思想 、 可逆 的思想、 变中抓不变的思想、 函数的思想等等。 自修订后 的课程标 准将“ 双基 ” 变为 “ 四 基” ， 基本的数学思想越来越受到一线老师的青
3、 睐 ， 就上 面的案例如何体现 蕴含 的数学思想呢? 当授课老师问学生， “ 8是由哪两个数组成 。四川 彭如武 姜敏 的?” 学生说 由 1 和 7 、 2和 6 、 3 和 5 、 4和 4 、 0和 8组成， 这里就渗透了一个组合的思想在里面， 虽然没有严格意义上组合思想的定义，对低年 级的学生来说这样一个雏形就足够了，随着知 识的积累，这将和排列一道形成初等数学中的 排列组合重要 内容 ，它又将惠及到更多的数 学 思想与方 法。 案例 中两根小棒与六根小棒分别用 “ 2 ” 与 “ 6 ” 来表示， 这是抽象思想的再现， 数学抽象的 思想是最基本的 3个数学思想之一，它是在学 生大量
4、感知 实物 、 数量 的基础 上 ， 建立一种对应 关系， 用数量来刻画事物， 再从数量抽 象为数 ， 最后 又返 回去感知数 量的 多少和数 的大 小 ， 使 学生不断感悟数量、 数及其抽象的特点， 逐步形 成的一种思想， 有 了数的抽象这个过程 ， 学生就 会将这种感悟、 实践经验 、 思维活动经验 迁移 到 点 、 线、 角或 其他 量 的定义抽 象上 去 ， 形成认识 数学基本特征之一。同时用“ 2 ” 和“ 6 ” 本来就是 一 种表示数 的符 号 ，符号是数 学存在 的具体化 身， 学生也就在这种无形感染中接受符号， 运用 符号， 体验符号所带来的无穷魅力， 符号化的思 想就会在他
5、们意识 中根 深蒂 固。 通过 “ 2 ” 和“ 6 ” 两个符号 ， 可以写 出右边 两 个加法、 两个减法算式， 当老师问到加法算式还 有吗? 减法算式能写几个时， 学生头脑中印记与 数学客观事实告诉他们，库存的答案再也没有 堕 ： I - 讲 I 坛 学 科 纵 横 了， 穷举的思想在这里崭露头角， 采用了完全穷 举的方法。枚举完关于“ 2 ” 和“ 6 ” 的加法算式与 减法算式后 ， 学生会 自然地将加法归为一类， 减 法归为一类，以至于后面关于 1 和 7的算式又 归为一大类等，在这里学生无形之 中又涉及到 了分类的思想，数学中的分类思想是根据数学 对象本质属性的相同点与不同点，将
6、其分成几 个不 同种类进 行研 究 ，从 而解决 问题的一种数 学思想。 它贯穿于整个数学内容之 中， 可以说无 处不见， 既有概念的分类， 如实数、 有理数、 绝对 值、 点( 直线、 圆) 与圆的位置关 系和两圆相切等 概念的分类； 又有解题方法上的分类， 如代数式 中含有字母系数的方程、 不等式； 还有几何中图 形位置关系不确定分类，等腰三角形的顶角顶 点不确定， 相似三角形的不确定等， 分类必须有 一 个标 准 ，否则就会导致 解题 时 出现错误或 漏 解。同时分类的思想也会延伸到生活与其他学 科之中， 不仅仅只限于数学领域， 可以说它是一 个广义的公共的一个思想范畴。 当学生看到 2
7、 、 6 、 8 三个数 字时 ，头脑 中就 会 想到 两个加 法算 式 2 + 6 = 8 、 6 + 2 = 8 ， 两个减法 算式： 8 - 2 = 6 ， 8 - 6 = 2 ， 这根本不需要老师去过多 的提醒与暗示，说明加法与减法的模型在孩子 们的头脑中已初步建立，模型思想的渗透已初 见效果， 模型思想是数学基本思想之一， 它是学 生体会和理解数学与外部世界联 系的基本途 径， 在小学阶段的基本数学模型主要有“ 加法模 型 ” 、 “ 乘法模 型” 、 “ 函数模 型 ” 、 “ 方程模 型” ， 其 中“ 加法模型” 可以推演出“ 减法模型” ， “ 乘法模 型” 可以推演 出“
8、除法模 型” ， “ 函数模型 ” 主要表 现在 周长公 式、 面积公 式、 体积公 式 以及 “ 路程 ： 速度 时间” 、 “ 总价 =单价 x数量” 等数量关 系中， 在数的运算教学中， 老师应该有责任、 有 意识地在生活问题或具体情境的数学化过程 中， 渗透“ 加法模型” 与“ 乘法模型” 的思想， 并利 用这种思想来解决问题。 经过多次的建立与求解模型， “ 模型思想” 就会 日 趋成熟，同时在加法模型的建立过程中 推演 出减法模 型 ， 通过减法想到加法 ， 这 又是可 ： I 逆思想的运用，可逆思想是逻辑思维中的基本 思想， 当顺 向思 维难 于解答时 ， 可 以从 问题或条 件
9、思维寻求解题思路的一种思想方法，在解决 许 多实际问题中经常用到。 有了上面加减法模型的思维引领，对于后 面 8 分成 1 与 7 、 3 与 5 、 4与 4等情况，学生就 会 通过类 比的思想方 法找 出它们之 间的 关 系， 也 会找 到 组 成 9 、 1 0 、 1 1 两 个数 之 间 的 关 系， 不但 两个数 ， 也 可能类 比到 3个数 、 4个数 类比的思想是依据两类数学对 象的相似 性， 将 已知一类数学对象的性质迁移到另一类 数学对象上去的思想， 它不仅使数学知识容易 理 解 ， 而且使公式 的记 忆 变得 顺水推 舟般 的 自 然 和 简洁 ， 还 可以激发 学生的创
10、 造 力 ， 类 比的 思想在小学生的数学学习中经常用到， 如在学 了“ 5 ” 的乘 法 口诀推 导 过程后 ， 他们 会 尝试推 导“ 6 ” 的乘法 15 , 诀， 以至于 7 、 8 、 9 ， 在学习了整 数 的四则混合 运算 ， 他们会 类 比到小数 与分数 上 去 。 另外， 小棒与数字， 2 、 6与两个加减法算式 的对应 ， 体现 了对应的思想 ； 几个不 变的数字与 变化的算式， 被减数不变， 减数与差互换， 和不 变，两个加数互换 ，又渗透了变中抓不变的思 想； 加法与减法算式是一个等式， 中间的一个量 变化， 随之带来另一个确定量的变化， 之间实际 蕴含着方程与函数的思
11、想。有些思想它并不是 单独存在 ， 而是伴随着其他思想应运而生， 单独 割裂开来反 而破碎不堪 。 中国科学院院士张景中先生曾说过 ， “ 小学 生学的数学很初等、 很 简单。尽管简单 ， 里面却 蕴含 了一些深刻的数 学思想” 。 这 些思想是学生 学习掌握各部分数学内容的魂，它是学生形成 数学概念， 建立数学知识体系， 思考和解决问题 的主线。 因此 ， 讲好一门学科的基本知识和基本 技能，让 自己和学生清晰地了解知识的产生过 程 ，知识 间的相互联 系以及整个知识体 系的框 架，在此基础上形成对学生终身受益的思想方 法 是作为一位好教师迫在眉睫的事。 囵 ( 作者单位 ： 四川省南江县 东榆小学)
