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1、Chapter 4Chapter 4 曲线积分与曲面积分小结 第一部分: 内容小结 一. 对弧长的曲线积分 1.定义: 2.对弧长的曲线积分的性质: 对弧长的曲线积分与路径的走向无关! 3.对弧长的曲线积分的计算: (1) 直接计算法: 方法：一代二换三定限 (2) 利用对称性简化计算 对空间曲线构件也有结论! 4.对弧长的曲线积分的应用: 二. 对坐标的曲线积分 1.定义: 2.对坐标的曲线积分的性质: 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 3.对坐标的曲线积分的计算: (1) 直接计算法: 方法：一代二换三定限 (2) 利用对称性简化计算 4.对坐标的曲线积分的应用: 5.两类曲线积分的关
2、系: 三. 对面积的曲面积分 1.定义: 2.对面积的曲面积分的性质: 第一类曲面积分与曲面的方向无关! 3.对面积的曲面积分的计算: (1) 直接计算法: 方法：一投影二代三换 (d) 一般地, 向投影区域易找且面积非 0 的坐标面投影. (2) 利用对称性简化计算 4.对面积的曲面积分的应用: 四. 对坐标的曲面积分 1.定义: 对坐标 x , y 的曲面积分 对坐标 y , z 的曲面积分 对坐标 z , x 的曲面积分 2.对坐标的曲面积分的性质: 第二类曲面积分与曲面的方向有关! 3.对坐标的曲面积分的计算: (1) 直接计算法: 方法：一投影二代三正向 注意：对x,y的曲面积分投影
3、到xoy面； 对y,z的曲面积分投影到yoz面； 对z,x的曲面积分投影到zox面. (2) 对称性简化计算法 4.对坐标的曲线积分的应用: 5.两类曲面积分的关系: 五. Green公式及平面曲线积分与路径无关的条件 1. Green公式: 2. 平面曲线积分与路径无关的四个等价关系 或者 五. Gauss公式及曲面积分与路径无关的条件 1. Gauss公式: 2. 曲面积分与路径无关的条件 3. 通量与散度 六. Stokes公式及空间曲线积分与路径无关的条件 1. Stokes公式: 其中的侧与的方向按右手法则确定. 2. 空间曲线积分与路径无关的四个等价关系 设空间开区域G是单连通区域; 3. 环流量与旋度 第二部分: 题型小结 解: 法1: 法2: 解: 解: 解: Solution. 添加辅助线AO, 应用Green公式, Solution. 所以积分与路径无关. 或者 Solution. Solution. 如图所示,取下侧； 取上侧； 取下侧. Solution. 如图所示， 取后侧 取左侧 取上侧 由Gauss公式有 其中a为正常数，记表面的外侧为，的体积为V, 证明 证明： x y z Solution. 如图所示， 取下侧 The end
