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1、4 8 中学数学研究 2 0 1 4年第4期( 下) 一 道中考压轴题评析的教学设计 广州市玉岩中学 ( 5 1 0 0 0 0 ) 吴光潮 中考考情分析： 二次函数的解析式、 图像以及性质是初中数学的核心知 识， 也是中考的必考内容 尤其“ 二次函数中的面积最值问 题”是中考试题中的热点题型， 但初三学生往往不能很好的 掌握 本节课通过一个具体的压轴题评析设计教学案例， 以 探求 ： 如何提高中考数学二轮专题复习课堂实效性? 学情分析： 相对初一、 初二的学生来说， 中考第二轮复习阶段的初 三学生已经有了比较扎实的双基 ， 思维能力也有很大程度的 提升 ， 数学思想方法的应用也有初步的体验
2、但对较复杂的 综合性问题， 尤其中考压轴题仍然不能深入独立思考直至求 解 ， 有心理的畏惧 、 能力的不足和思维方法的缺乏。 教学 目标 ： 1 知识与技能 ( 1 )掌握二次函数解析式的基本求法； ( 2 )掌握二次函数中最值问题的两种常见处理方式的 基本思路和步骤( 几何法； 代数法 目标函数法) 2 过程与方法 ( 1 ) 经历解决二次函数最值问题的探求全过程 ， 初步体 会正确的数学解题思维方法以及掌握分类讨论思想、 数形结 合思想、 函数思想、 转化思想； ( 2 )在变式应用中， 提高学生分析问题、 解决问题 的能 力 3 情感态度价值观 ( 1 )体验将数学综合性问题转化为数学题
3、型单一性问 题的数学解题思路模型化过程； ( 2 )感受数学思维的严密性和发散性， 体验数学之对称 美、 和谐美； ( 3 )体会数学以不变应万变的魅力 教学重点： 二次 函数中最值 问题的代数法(目标 函数 法)处理方式的基本思路和步骤 教学难点 、 关键： 最值问题两种常见处理方式基本思路 和步骤的探究； 关键是运用化归思想及合情推理 教学方法： 引导探究、 讨论交流 教学手段： 计算机、 投影仪 、 P P 、 几何画板 教学过程设 计 ： 一 、教学过程设计思路 结合我校初三年级学生的“ 思维水平偏低， 思维节奏偏 慢”的思维特点， 采用“ 小步子、 低起点 、 慢节奏”的教学方 式，
4、 以暴露思维过程、 总结题型解法 、 发展学生思维能力为 目 标， 按如下程序推进： 真题再现 ， 试题探究 真题分解， 考 点研究 变式迁移， 成果内化 归纳总结， 成果提炼 课外探究， 拓展延伸 二 、 教学过程设计 ( 一 )真题再现 ， 试题探究 ( 2 0 1 1 ， 茂名市中考， 2 5题， 1 4分)如图 1 ， 在平面直角坐 标系x o y中， 已知抛物线经过点A ( 0 ， 4 ) ， 曰 ( 1 ， 0 ) ， C ( 5 ， 0 ) ， 抛 物线对称轴 f 与 轴相交于点 ( 1 )求抛物线的解析式和对称 轴； ( 2 )设点 P为抛物线( 5 )上 的一点， 若以A、
5、0、 M、 尸为顶点的四边 形四条边的长度为四个连续 的正整 数， 请你直接写出点 P的坐标； ( 3 ) 连接 A C 探索 ： 在直线 A C下 方的抛物线上是否存在一点 ， 使 I 1 1 2 3 4 B 图 1 A N A C的面积最大? 若存在， 请你求出点 _7、 r 的坐标； 若不存 在， 请你说明理由 功能分析： 真题再现， 唤醒学生探究试题欲望， 探究过程 训练学生思维 通过问题( 1 )使学生复习回顾二次函数解析 式的三种基本形式并选用合适的形式求解， 让学生获得成功 的体验， 激发他们的兴趣通过问题( 2 )是学生熟悉对称轴 的性质 转化线段或点 ， 培养学生养成良好的分
6、析问题 、 解决问题的能力和习惯； 体会分类讨论思想的应用问题 ( 上接第4 7页) 题的思路和方法 数学知识是一个有机的整体 ， 我们既要注 意分别掌握各部分的基础知识， 又要注意知识之间的联系和 综合 ， 并在解决综合性问题中， 从整体上进一步地把握它们 压轴题做为中考的压台戏， 正是对数学的一个完美诠释 参考文献 1 马学斌等挑战 中考数 学压轴 题 M 华东 师范 大学 出版社 2 0 0 9 2 刘步庆中考数学命题的分析及 复习对策 J 科学大众 2 0 1 1 ( 0 5 ) 3 张秀岩中考数学命题规律探索与中考复习建议 J 出国与就 业2 0 1 1 ( 0 9 ) 4 苏耀忠，
7、 张晋华， 马妍 体现课标精神 注重能力考查2 叭1 年 山西省 中考 数学 命 题 思路 解 读 J 教 育 理 论 与实 践 2 0 1 1 ( 2 3 ) ( 3 )是一个构造目标函数， 用函数模型解决几何图形问题、 二次函数中的面积最值问题的典型题型， 通过探究此题让学 生知道此类问题的解题思路及基本步骤， 同时培养学生根据 已有知识和经验进行探究的能力； 体会割补法在解决图形面 积中的作用以及不同的割补方法 、 线段的长度与坐标的转化 关系； 体会数形结合思想、 函数思想和转化思想的应用 ； 通过 探究过程纠正常犯的错误 、 规范解答过程 教法设计： 出示问题后， 第( 1 )问学生
8、独立思考， 并利用 多媒体课件给出( 1 ) 的解答； 第( 2 )问先 自主再合作 ， 也可教 师点拨； 第( 3 )问教师引导、 点拨、 分析 先画出图形 ， 是否能够由观察直接得出点的位置? 如何体现动点对 面积的影响? ( 建立面积关于 的坐标的数量关系) 师生共 同完成 ( 3 ) 解答要点： A 1 A ( 1 ) Y= 一 + 4 ， 抛物线的 对称轴 是： = 3 ( 比 J J 较“ 一般式” 、 “ 交点式”两种解法， 优化解法) ( 2 ) 提示 ： 由题意可知 以A、 0、 g、 P为顶点的 四边形有两 条边 A O =4 、 O M =3 ， 又知点 P的坐标中 5
9、， 所以 ， MP2 ， A P2 ； 因此 以 l 、 2 、 3 、 4为边或以2 、 3 、 4 、 5为边都 不符合题意， 所以四条边的长只能 是 3 、 4 、 5 、 6的一种情况， 如图 2 ， 在 R t AA O M 中， A M = ： 4。+ 3 = 5 ，因为抛物线对称 图 2 轴过点 ， 所以在抛物线 5 的图象上有关于点 的对称点 与M的距离为5 ， 即P M =5 ， 此时点P横坐标为6 ， 即A P：6； 故以A、 0、 M、 P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连 续的正整数3 、 4 、 5 、 6成立， 即P( 6 ， 4 ) ( 3 ) 【 解法 1
10、】 在直线A C的下方的抛物线上存在点 ， 使 A A N A C 面积最大 设点的横坐标为 ， 此时点N ( t ， 一 J A 竿f + 4 ) ( 0 t 5 ) ， 过点 作 G y 轴交A C 于G ( 如图3 ) 由息 A( 0， 4 )布 u 点 ( 5， 0 J 求出直线 A C的解析式 为： y 孚 + 4 ； 把 = 代 入 得：y = 一 +4 ， 贝 0 G ( ，一 4 _ f+4 ) ，此 时 ： =一 + 4 一 ( 2 一 等 + 4 ) ： + 5 i ： 1 1 、 0 - 2 -3 _ 1s删= - -N G O C = 1 ( 一 了4 2 + = 一(
11、 一 下51 0 t 2 ) + 孕 + = 一 ( 一 ) + 图 3 + s = 当t = 时， C A N面积的最大 值为 W - ， 由t =， 得 ： ： 4 2 一 f +4 ：一3 ， ( 下 5 ，一 3 ) 解法 2 ： 提示 ： 过点 J7、 r 作 轴的平行线交 轴于点 E， 作 C F上E N于点 F， ( 图略 ) 则 S a A c=S 梯 cS 肼 一S a N ， ( 再设 出点 的坐标 ， 同样可求 ， 余下过程略) ( 二 ) 真题 分解 ， 考点研究 1 考点 1 ： 求抛物线解析式 方法总结 ： ( 待定系数法) 一般式： Y=。 。+ +C ( n 0
12、 ) ； 顶点式 ： y=a ( x h ) + ( 00 ) ； 交点式： ， ， ： 口 ( 一 1 ) ( 一 2 ) ( o 0 ) 2 考点 2： 抛物线的对称性 转化线段或求点的坐 标 方法总结 ： 涉及对称性条件， 通常是要利用对称性转化 相关点或线段 3 考点 3 ： 面积( 函数 ) 最值问题 方法总结 ： 构造 目标 函数， 通过对目标函数的最值的研 究， 从而获得问题的解决 解题步骤 ： 第一步： 设合适的未知数， 并表示出相关点的坐标或线 段的长度 ； 第二步： 用割补法建立关于面积的函数解析式； 第三步： 根据所设未知数的范围， 利用函数的性质， 求其 最值 功能分析
13、： 让学生明确、 熟悉和梳理考点、 归纳题型解 法， 吸取解题经验、 技能， 使学生养成系统整理知识和善于归 纳总结的习惯， 并形成能力 教法设计： 教师给出提纲， 学生按照要求完成任务 教师 再进行完善 ( 三)变式迁移 ， 成果内化 变式 1 ： 若点 S为抛物线对称轴上的一动点， 求点 S的坐 标， 使 Z MS B周长最小， 并求出这个最小值 变式 2 ： 第( 3 )问“ 在直线 A C下方的抛物线上是否存在 一 点 ， 使 A N A C的面积最大? ”的“ 下方”如果去掉 ， 其它条 件不变， 结果又该如何? 变式 3 ： 若抛物线顶点为D， 在直线 A D下方的抛物线上 是否存在一点 P， 使四边形 A P DC的面积最大? 若存在， 请你 求出点 P的坐标； 若不存在， 请你说明理由 功能分析： 变式 1利用对称性解决问题， 让学生体会求 最值的另一种思路 ( 几何法)以及转化思想和数形结合思 想， 培养学生思维的灵活性 ， 不拘泥于一种思路( 如求最值问 题) ； 变式 2让学生开放性思维、 探究， 把握问题的本质， 体会 数形结合思想以及数学条件的深刻性和严密性； 变式 3是原 题问( 3 )的类题训练， 方法上和原题一样两种解法 ， 让学生 训练， 知识技能内化， 学习效果得到反馈 教法设计： 教师出示问题， 学生独立思考， 作出解答； 引
