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1、本科毕业论文（设计） 题 目：数学分析中不等式证明的若干方法 学 生： 陈 晨 学号：201140510531 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 入学时间： 2011 年 9 月 17 日指导教师： 刘 敏 职称： 讲 师 完成日期： 2015 年 4 月 30 日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文数学分析中探讨不等式证明方法的主要内容都由本人独立撰写，决无抄袭。凡是参考的文献和材料，都一一作了注解，如果出现抄袭及侵犯他人知识产权的情形，愿意接受学校的批评和处罚。 承诺人年 月 日数学分析中探讨不等式证明方法摘 要：不等式在数学分析中具有不可替代的作用，因此探讨数学分析
2、中证明不等式的方法意义颇深。本文探讨了用数学分析知识证明不等式的一些方法，主要有函数单调性法，函数极值法，微分中值定理法，函数凹凸性法，泰勒公式法，积分中值定理法，构造变限积分法，幂级数展开式法，以及常用不等式法，并通过典型例题加以分析验证，从中概括出一定的证明技巧。关键词：不等式； 证明策略； 数学分析In mathematical analysisofinequality proofmethodAbstract: Inequalityplays an irreplaceable rolein mathematical analysis,so thestudyin mathematical
3、analysisto proveinequalitymethodhas deepmeaning.This paper discusses somemethods ofproving inequalitiesinmathematical analysis,the mainfunction ismonotone method,functionextremum method,differential mean valuetheorem,convex function method,Taylormethod,the mean value theorem of integralmethod,struct
4、urevariable limit integralmethod,power seriesexpansion method,and thecommonly usedinequality method,and analyzes theverified bytypical examples,summarizessomeproof techniquesfrom.Key words: Inequality ； That strategy ； Mathematical analysis目 录1. 引言.12 证明不等式的几种方法.12.1 函数单调性.12.2 函数极值法.12.3 微分中值定理.22.
5、4 函数凹凸性法. .32.5 泰勒公式法.42.6 积分中值定理法.52.7 构造变限积分法.62.8 幂级数展开式法.72.9 常用不等式法.83. 结束语.9参考文献.101.引言我们在学习初等数学时就接触到不等式的知识，并且在大学课程中的数学分析和高等数学中还继续研究不等式的证明，可见其在数学系统探究的过程当中一直拥有着不可逾越的地位。在数学分析中，微分法是不等式证明的基础，其中函数单调性法，函数极值法等，都是先构造适合的辅助函数，再根据相应的知识点证明不等式。运用泰勒公式法证明不等式既是重点也是难点，理论性强，需多加练习。幂级数展开式法证明不等式，可以灵活有效的解决问题。常用不等式法
6、证明不等式主要利用几个著名不等式，比如柯西不等式，施瓦兹不等式等。2.证明不等式的几种方法应用2.1 函数单调性法定理1 设函数在上连续,在内可导,则有 (1) 如果在内,那么,函数在上单调增加.(2) 如果在内,那么,函数在上单调减少. 1在证明不等式时，根据题意构造出新函数，再运用函数单调性知识证明会十分快捷，以下举例说明 例1. 证明不等式： ，.证明： 令则，因此当时，则是严格单调递增函数；当，则是严格单调递减函数.在处连续，故当有.即. 故得证 .函数单调性法证明不等式，可以将中学知识与大学知识相连接，将复杂的问题转化成我们熟悉的问题，从而解决问题.2.2 函数极值法函数极值法在不等
7、式证明中应用广泛，通过构造辅助函数，对辅助函数求导，即可将不等式证明问题转化成函数的极值问题，以下详细说明.定理2 （极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导.(1)若当时,当时,则在点取得极小值. (2)若当时,当时,则在点取得极大值. 2定理3 （极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，. (1)若，则在取得极大值.(2)若，则在取得极小值. 1 例2. 设,求证：，都有不等式. 证明: 令.有=.令，则.而.又因为,所以 .所以在时有极小值，又,.所以在区间0,1上有， .运用函数极值法证明不等式，首先得根据题设构造出适合的函数，并且弄清定义域，求出函数的一阶
8、或二阶导，从而确定函数的极值.内可导.所以 .2.3 微分中值定理法微分中值定理是一系列中值定理的总称，可以作为不等式证明的有力工具，其中拉格朗日中值定理最为重要，其他定理都可看成是其特例或者推广. 定理4 （拉格朗日中值定理）(1) 在闭区间上连续,(2)在开区间内可导,则在内至少存在一点，使得.1定理5 (柯西中值定理) 设函数和满足： (1) 在上都连续； (2) 在内都可导； (3) 和不同时为零； (4) ，则存在, 使得 . 例3. 当 .证明:令.则在区间中值定理,且 .故有,.即.又,则.即. 例4. 设，求证.证明：令，,根据题意可知， 在区间上满足定理 .则 ,.故 . 由
9、于，,则,故 .由此得证 .不能直接用定理证明的题目，可以先观察不等式特征，逐步构造可能用到的函数，甚至对不等式作出相应的变形，构造出适合的辅助函数，再用微分中值定理证明.2.4 函数凹凸性法不等式 定义1 设是定义在区间上的函数，若对上的任意的，及任意实数都满足,则称为上的凸函数.反之，若一直有 ,则称为上的凹函数. 3 定理6 设是在区间，那么在区间上数的充要条件是 （），.4例5.证明: . 证明: 令，,则,故在(0,+)上为凸函数.因此,当时，有 .即 .故 . 例6（著名的均值不等式）设求证：. 证明：令,那么. 所以在上知识可知.即.即.用函数凹凸性法证明不等式，同样还是构造辅助
10、函数，注意函数的定义域，以及凸函数和凹函数的特征，避免出现错误.泰勒公式是数学分析中一个重要的数学工具，在不等式证明方面起着举足轻重的地位，下面总结一下泰勒公式在证明不等式中的应用方法.2.5 泰勒公式法定理7如果是上的函数，且其存在直至阶连续的导函数，在内存在阶导函数,则对任意给定的，至少存在一点,使得:.5 例7.已知在闭区间，并且有，时，有，试求证：.证明:因为在闭上存在二阶连续导函数，所以对任意实数，那么由，在点处的二阶泰勒公式可得.由可得.又,所以 .而时,，故,又由的任意性知泰勒公式可以用来证明含有初等函数与幂函数的不等式问题，以及关于定积分不等式问题，在不等式证明问题中应用相当广泛，由于理论性强，应用比较难。积分中值定理包括第一和第二积分中值定理，是数学分析的重要定理，在不等式证明问题中发挥重要作用.定理8 （积分第一中值定理）2.6 积分中值定理法若是点，使得 .5设是上的可积函数，如果这个函数是单调的，那么,有.5定理9 （积分第二中值定理） 例8已知在上，下面请证明：当时,有. 证明：由积分第一中值定理有.,.从而.即.又因,所以,故.积分中值定理在不等式证明中，或者是使复杂的被积函数转，再利用被积函数相关知识解决问题。62.7 构造变限积分法变限积分函数在数学分析中是一类重要的函数，是产生新函数的重要工具，可将积分学问题转化为微分学的问题，使
