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1、2 0 1 4年 8 月 教育纵横 高中数学思想方法的教学案例研究冰 广东省广州市第五 中学刘 玫 一 、高 中数学思想方法 的教 育价值 数学思想方法是数学知识的精髓， 信息社会越来越 多地要求人们自觉地运用数学思想来提出问题 、 分析问 题 、 解决问题和评价问题 在高中 数学课程标准 中， 一 方面， 在课程的理念和 目标 中， 确切提出了对数学思想 方法的要求 另一方面， 在课程内容中， 对数学思想方法 的要求几乎渗透到每一个具体的模块中， 同时在实施建 议部分也做了相应的要求 所谓数学思想， 是指现实世界的空间形式和数量关 系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结 果 而数学方
2、法则是处理 、 探索 、 解决 问题和实施有关 “ 数学谬 想” 的技术 手段与操作 程式 数学思想 是数学 知 识的本质 ， 它直接支配着数学的所有实践活动 数学方 法是对问题解决的策略与程序的描述 ， 是把数学思想具 体化的一种反映 数学方法与数学思想互为表里 ， 它们 都建立在一定的知识基础上， 反过来又促进知识的深化 和向能力的转化 考虑到中学生的实际认识水平 ， 在教 科书和实际教学中， 通常把“ 数学思想” 和“ 数学方法” 笼 统地称为“ 数学思想方法” ， 本文也是基于这样的认识并 运用 的 1 数学 思想 方法有 助 于学生 形成 良好 的数 学认 知 结构 从数学认知结构的
3、组成要素来看 ，主要是数学概 念 、 定理 、 公 式 、 法 则及 它们之 间的联 系方式 ， 数学思想 方法以及作为数学认知活动动力系统的非认知因素等 其中， 数学的概念 、 定理 、 公式 、 法则及它们之间的联系 方式是数学认知结构的硬件 ， 但它们本身并不具备能动 性 ；数学思想方法作为数学认知结构中的一个主要成 分 ， 蕴含在具体的数学知识之中， 决定着知识之间的联 结方式 学生一旦理解和掌握了数学思想方法 ， 就会形 成条件化的知识 ， 这样 ， 当学生面临问题时 ， 便能迅速 、 准确地从头脑中检索 、 提取与任务相关的知识 ， 并最终 坛 线 选择出解决问题的最佳方案， 而这
4、也正是良好数学认知 结构的最主要的特征 良好的数学知识建构不只是取决 于知识点的多少， 更为重要的是知识的联系、 组织方式 ， 是结构排列的层次性和有序性 数学思想方法能够优化 这种组 织形式 ， 促进 各部分 数学知识 的融合 ， 所 以有助 于学生形成良好的数学认知结构 2 数学思想方法有助于培养学生的创新能力 创新能力作为适应社会发展需要所必备的能力， 受 到了越来越多的关注 ， 已被确立为基础教育中必须着重 培养的能力， 但是偏重于概念、 结论的机械记忆 ， 强调套 用“ 一招一式” 的教学模式 ， 较少从思想方法的角度关注 概念和结论的产生过程与具体应用， 很难培养学生独立 获取知识
5、的能力， 也不利于培养学生的创新能力 所 以， 在 教学中必须强调数学认 知活动 的全面性 ， 让 学生经历 数学知识的发生发展过程， 让学生在观察 、 实验、 猜测 、 归纳、 分析和整理的过程中去理解一个数学问题是怎样 提出来的、 一个数学概念是如何形成的、 一个结论是怎 样探索和猜测到的， 以及结论是如何应用的， 这样的过 程才能使创新能力的培养真正落到实处 而在这一过程 中， 数学思想方法为学生提供 了有关如何学习 、 如何思 考的策略性知识 这种策略性知识与事实性知识紧密结 合 ， 相互渗透， 使学生一方面获得知识， 另一方面体会到 在知识 发生 发展过 程 中的思 想方法 因此 ，
6、 数 学思想 方 法 有助于培养学生的创新能力 3 数学思想方法为培养学生 的数学能力提供 了途径 中学阶段的数学能力 ， 重点是运算能力、 空间想象 能力 、思维能力及运用数学知识分析解决问题的能力 这些能力的培养， 都是在学生掌握和运用相应的数学思 想方法的基础上得以形成的 运算能力是指会根据有关 法则 、 公式正确处理数据 ， 能够根据问题条件寻找并设 计合理而简捷的运算途径 运算能力的高低取决于运算 技能 、 思维水平等， 其核心则是在正确理解概念的基础 上 ， 掌握 转化 的思想 方法 ， 提 高学生 对数或式 的变形 能 本 文 系广 州市教 育科 学“ 十二五 ” 规 划 第一批
7、 面上一般课 题“ 高 中数 学思想方 法教 学的案例研 究” ( 课 题批 准 号 ： 1 1 C 0 2 2 ) 的研 究成果之一 高 中 版寸 擞? 数 坛 在线 教育纵横 2 0 1 4年 8月 力 空 间想 象能力主要指 能够想象 几何 图形 的运动和变 化 、能够对复杂图形进行分解并确定量和位置等关系 其中， 图形的变换思想 、 数形结合思想及有关的各种数 学方法对学生空间想象能力的培养起着基础性的作用 思维能力包括掌握逻辑的有关方法进行推理， 正确表达 自己的思想 和观点 ， 能运用数学 的概 念和思想方法认 知 数学关系， 促进个体思维品质的优化 在思维能力 的培 养中， 数学
8、概念的理解和掌握是基础 ， 而在数学问题解 决活动中， 突出数学思想方法的形成和掌握则是培养学 生思维能力的关键 分析和解决实际问题的能力是一种 综合能力， 在实际数学问题解决 中， 需要学生能够将解 决具体问题的思想方法 、 逻辑方法和一般的数学思想方 法 综合 运用 上述分 析表 明 ， 数 学能力 的培养 随能力 成 份的不同， 所采用的手段和方式各有侧重， 但核心是学 生必须 掌握和学会运用 各种数学思想方法 ，只有这 样 ， 才能充 分发 展学 生 的数 学能 力 因此 ， 数学 思想 方法 为 培养学生的数学能力提供了有效途径 二 、 高 中数学思想方法教学 的原则 中学数学的课程
9、 内容是 由具体的数学知识与数学 思想方法组成的有机整体 ， 现行数学教材的编排是沿知 识 的纵 向展开 的， 大量 的数学 思想方法知识 隐含在 数学 知识的体系之中， 并没有明确的解释和总结 ， 需要挖掘、 研 究 、 了解 、 顿 悟 这 样就产 生了如何处理 数学思想 方法 教学的问题 布鲁纳认为： “ 不论我们选教什么学科， 务必使学生 理解该学科的基本结构 ” “ 学习结构就是学 习事物是怎 样相互关联的 q 他说 ： “ 除非我们把一件事情放进构造 好的模型里面， 否则很快就会忘记” 本世纪六十年代 ， 布鲁纳第一次把迁移问题作为教育问题的核心提到 日 程上来 ，之后受到各国心理
10、学家和教育学家的关注， 如 果学生认知结构中具有较高的抽象、概括水平的观念， 对 于学 习是 有利 的 美 国心 理学 家贾 德 的迁移 实验 表 明， 掌握一般原理有利于迁移 ， 学生学习数学思想方法 有利于实现学习迁移， 从而可能较快地提高学习质量和 数学能力 ， 在高中进行数学思想方法的教学， 除了应符合通常 的教学原则之外还应遵循以下几条原则 1 合理重建原则 从数学发展的历史来看， 人们是从实践及数学本身 的研究 中发现问题 ，进而产生解决 问题的思想方法 ， 经 过 若干 次这样 的过 程而获 得 问题 的解 决 然后 ， 数 学家 们将那些正确的数学思想方法进行提炼 、 归纳 、
11、 抽象概 括为数学的概念 、 定理、 法则等 为了便于后人继承和少 走弯路， 数学教科书是以概念、 定理、 法则 、 公式等为要 素的逻辑体系， 但这经过归纳概括的逻辑体系却掩盖了 数 学思 维 的真 实过 程 因此 ， 教 师在教学 中必 须展 示数 誊 寸 擞?高 中 版 学知识 的发 生发展过程 ， 使学生能 切实体验到数学 思想 方法的意义和作用 同时由于中学数学又是根据学生的 逻辑思维水平和发展特点 ，经过编写整理的一门学科 ， 知识编排的系统与数学发现的历史可能存在着一定的 差 异 因此 ， 数 学思想 方法 的教 学并不 是亦 步亦 趋地 去 重复历史的进程或某个大数学家的思维过
12、程， 而是一个 思想方法的理性重建过程 ， 是一个符合数学“ 发现” 逻辑 和学生思维水平的自然过程 2 循序 渐进 原则 一 般来说 ，学生学习数学思想方法要经历三个 阶 段 ： 一 是感知孕 育 阶段 ， 在这一 阶段学 生往 往只注 意 了 数学知识的学 习 ，而忽视 了联结 这些知识 的思想方法 ， 或者说对数学思想方法 的认 识 尚处于潜意识 之 中， 即使 有所觉察 ， 也是处于“ 朦朦胧胧” 、 “ 似有所悟” 的境界 二 是初步形成阶段， 即学生对数学思想方法的认识开始明 朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略 ， 并 会运用到简单的情形之 中 三是应用发展阶段 ， 此时
13、学 生能根据具体的数学问题 ， 寻找并恰当运用某种思想方 法进行探索、 解决问题 由于学生对数学思想方法的学 习过程，决定了数学思想方法的教学不可能一步到位 ， 必须是一个相应的循序渐进 、 由浅人深的过程 ， 即要按 照 “ 反 复孕育 、 初步形 成 、 应 用发展 ” 的顺 序来完成 某一 数学思想方法的教学 3 问题 驱动原则 我们常说 ： “ 问题是数学的心脏” 从学习的角度看 ， 数学学习是解决“ 问题” ， 课后练习是演练“ 问题” ， 数学 考试是 回答“ 问题” ， 可以说 ， 问题是贯穿数学教学活动 的一条主线 ， 是学生数学学习的驱动力之一 一个基本 概念或基本技能的形成
14、 ， 需要一定程度的重复， 在重复 中还要有变化 ， 通过不断变化的问题 ， 为学生提供合适 的变异空间 ， 多角度地理解 概念的本质和建立 本质 的联 系 ， 循 序渐进地 解决一 系列 的变式 问题 ， 形成 比较 系统 的数学知识 模块 4 学生参与原 则 数学思想方法 的教学是 数学活动过程 的教学 ， 呈动 态型， 重在思辨操作， 即让学生亲身感受 、 体会 、 思索、 提 炼， 如果离开教学活动的过程 ， 数学思想方法也就无从 谈起 因此 ， 只有学生积极参与教学过程 ， 在老师的启发 引导下 ， 才能逐步领悟 、 形成 、 掌握数学思想方法 数学 思想方法的学习是一种高层次的学习
15、， 它的教学必须要 求学生亲身参与 、 交流 ， 贯彻学生参与原则 所以， 作为 教 师 ， 首 先必须 深入钻研 教材 ， 充分挖 掘知识 点 中蕴 含 的思想方法 ， 适 当地对教材进行合理重建 其次在教学 时要考虑应渗透或强调哪些数学思想， 要求学生在什么 层次上进行把握 ， 然后再遵循着循序渐进 、 问题驱动、 学 生参与等原则进行合理地教学设计 ， 做到有意识有 目的 地进行数学思想方 法的教 学 2 0 1 4年 8 月 教育纵横 三、 高中数学思想方法教学案例研究与分析 数学教学案例研究法是研究数学教学规律的一个 科学的、 有效的 、 实用的方法 正如一个高明的医生必定 积累不少
16、的病例及其医疗方案， 一个好的律师必定收集 一 定数量的典型案例 ， 一个优秀的教师也是在积累了大 量典型案中“ 优秀” 起来的， 数学教学研究同样需要教学 案例来支持 什么是“ 数学教学案例” ?数学教学案例是 对数学教学活动中真实的 、 典型的、 具有一定疑难的问 题 ( 或主题 ) 进行 生动的描述和反思性解读 数学思想方法是通过具体的数学知识来体现的 高 中数学教材无论具体内容是什么， 其知识内容可以大致 分为三类 ： 概念， 原理 ， 例、 习题 在概念的形成过程中渗 透、 体现数学思想方法 ， 使学生准确透彻地把握概念、 运 用概念 的教学案例， 即概念型案例 在对定理 、 性质 、 法 则 、 公式等的探索 、 发现、 推导过程中渗透 、 体现数学思 想方法， 使学生感悟 、 掌握数学思想方法的教学案例， 即 原理型案例 在解题过程中， 有效运用数学思想方法
