化工系统工程讲座_五_

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1、? ? 年化学工 程第? , 期 化 , 工 、 系统 工程 讲 、 座 ! 五 乍飞、 , # 兰 染 玉 衡 一 !化工部化工机械研究院 第四讲 化工过程系统的最优化的数学模型! 遍设普程个工 一 是发开而 ,程 念 过 卜 概 工 的 化 新 一 在 是 % 。 % 不实 并事 化 观 优客 又 最 以 的 ? 、 ? 一 在 存 过祥早 钟 邑划步化工 系统工 程 的渔 它包括过 程系绒 曼塑过手 辱衅缨西 要内容 , 前者主 要解决如何按照 过程系 要求 , 确定系统的结构和操作条件 ? 后 , ,主 的 心 不 统 拿鬓氰 套纂 资霆潇囊 毖馨装霎薰 肇 霖毕草石 地运行 。 从这

2、一讲开始 , 将以过程 系统最沈 设计为重点 , 分别叙述过程系统的最优化数 学模型,最优化方法以及可靠性 、 稳定性、 灵纸度分析的基本知识 和方法 。 、 一 、 最优化数学 、 一 模型的概述 一! 、 声 了 卜,# , 一 % 而山一 , !8 要规定铂个目标函教一 如图 6一3 所示 , 如果一个过程系统已经 给出了冬? 状态变量二? ? , 控制变量以 ? , 测量变量以? 之 间的 动态关系 , 即状态方 程式和测量方程式 。 过程 系统的目标函 ,数。 那么确定性最优化问题是要求一组控 制 变量 。 ? , 使过程系统的目标函数取极大或 , 极小值 。 渔料亘 垂膺贾 扮工一

3、巨毫 遭 扮她 图一确定性最优化向祖 。 随机性最优化问题 如图 一所示, 图中 一公?才少 ? ? 之伺的 函数关系即状态方程式!以? , ? , ? 之间的测量方程式 , , ?丈 和叹? 的统计特性及 0 ? ? 的测量值 。 状态变量估值 又分三种情况 , 在时蔺区间? ? 。, 8 范围内 , 对 ? 观测时 , 若 0 ?二8 定义为在给定时凤园间内作状 态变量估值 ! ?8 定义为预 测问题或外推问题 , ?8 定义为内插问题 。 , 识另时司碗 如图 一9 所示 , 一个过程系统 , 假设 ? 为过程系统 程 系统 图 一 义? 夕 能机性班优化问肠 图 一9 识 别问口 的干

4、扰变量 , 袱? 为测量装置 的干扰变量 。 、 如果一个过程系统已经给出了 0 ?状态变量 ? ? , 控制变量 ? , 干扰变量? ? 之 间 的动态关系 , 即状态方程 式 。 铡量变量 一 仕 , 状态变量二? ? , 干扰变量 ? 之间的 动态关系 , 即测量方程式 。 #过程系统的 干 执变量二和铡量装置干扰 一 变量 , ? ? 的统计特 0性。 ;过程系统的 目标函数 。 一 随机性最 优 化 何题是要求一组控制变量 ? ? 使目标 函数的 一 期望值达到极值 。 一 。 状态变扭的估值问题 如图 一 所示 , 由于过 程系统受到 干扰 变觉 ? ? , ?切的影响 , 状态变

5、过 0 ? 有 共忐盛枷簧 盆 兴 圈 一 状恋变扭的估值间魔 些可以直接河量 , 有些不能直接测量 , 因此 稀硬根据过程系统的数学模型 , 干扰变量 的 统时特性 , 视侧变量等进行估值 , 求出状态 变妞 宝? 在某种条件下的最优枯值 权? 。 状态变量估值问题一般已 知 ? ? , ? ? , 已经给出了 ? ? , ? ? , 牲 之间的测量方 程式 ! 测 量变量 ? , 控 制变 量 ?你中可 观测的量以及干扰变量? , 袱? 的统计 特性 , 所谓识别问题是要求建立双? , ? , ? ? 之 间的函数关系即状态方程式 , 或在某 些条件下对过程系统作最优估值 。 一简 言之

6、, 所谓识别间题是建立过程系统的数学模型成 对模型中的参数作某种估值 。 对于 某些复杂 的化工过程系统 , 它的数学模型往往是未知 的 , 或者有一部分是的未知的 , 或者只知数 学模型的形式而其中参数为待定值 , 对这+ 类问题要求通过实验记录 ? ? 和叭? , 然 后用适当的数学方法求出数学模型中未知都 分 。 显然 , 如果忽略过程系 统和测量装置 的 于扰的影响 , 这就笼确定性的积 别问题,如 果过程系统和测量装置的干扰的影响不能忽 略 , 则变为随机性的 识别问题 , 9 适应性问题 如图 一 所示 , 一个过程 系 统 , 假 图一适应 !性 问 题 一行一 设已经给出了 和

7、 、 沪 0 急, + 了.卜 ? 一一 + 二 , = 05 = 汁 4 以 卜 只对建立数学懊型的各种方法特别奋 是对于数坦统计方法 , 试验设计方法以及计 算机的应用作了简要的说明 , 这是因为考虑竹 到王速的方法在许多专门的书刊中巳经作了 相 当广泛而且详细的讨论 。 8 。 模型的处理 ?模型的最后识别 有的过程可能建立几个不同力 数学模 型,因此需要从不同 的模型少 锡 别最能反映 过程 本质特征的模型 , 识别的基础是实际过 程与模型的 拟合程度 。 模型 的简化 复 杂的数学模型不仅给求解带来困难 , 而且往往不能以显函数的形式描述过程的特 性 , 因此要对模型作简化处理 。

8、模型简化涉 及近似理论一系列回题 , 基本的出发 点是从 过程的物理木质与数学方法相结合 , 利用相 似转换原理 、 对称特桂 、 变量 和参数的数量 级大小的比较以及等效概念简化模型 。 #模型中某些来知参数估值 关于识别 0 简化 、 估值 问题在以后再作 详细讨论 。 一 所谓初始条件是指 过程系统的初始状态 的数学表 达 式 , 为了说明一个过 程系统 的初 始状态 , 必须规定特征变量在初始时刻在系 统中 各处的数值+对化工过程系统 来说 , 诸 加初始温魔 、 浓度或速率分布等 。 很明显 , 对于静态 问题 , 不需规 定 初始条件 。 还应注 意 , 初始条件应 当是整个过程系

9、统的初始条 件而不是过程系统中某一个局部位置的初始 状态 的数值 。 + 过程系统的边界条件问题 要复杂一些 。 它是一 组过 程系统特征 变量的关系式 , 用 它 来表达过程系统边界所处的物理 条件 。 实际 的过 程系统具有不同类型的边界条件 .一 3 _ ! , 一 一;。, 9 !6一?3 在稳态 条件下 , 当置! 。!2 !6一? 式中 。!2 式! 6一? 即为式!6一? 的线性化数学模 型 。 % 多变量非线性模型的线性化 过程系统的多变量非线性模型如下 ! , , 。, / 一 瓮 。3% ;。 或写成与式!6一?食等价的形式 % 歹 、 乳 ! 6一协 , , 2一 。,

10、。, 9 釜 乙 一9 会 色一99 癸 恤 9 9 釜 “一9 会 “ 一十 十 凳 “一少“ 吟娜 , ;! , , , 一 名 。, 。, ,9 会 乙一9 釜 “一99 会 “ 十 9 器 “一9 癸 “一99 癸 “一9“ , “ , !6一?公 、 。 ! , , 士 。, 。, , 9 会 “一9 会 “一99 会 “二9 9 会 “一9 斋 “一9一9 瓷 “ 一 “ ; , “ , 一歼一 式中入!护 , 兮 为台劳级数展开 式中的 高岭瓦 并且将其略去不计 , 同 时 由 于 。, 。为稳态时 的数值, 所以下 式成立 !2 日 湘, 从乃/= !2 (!2一 二 丝 二

11、. !2 , 所以状态方程必然存 在误差 , 如果把各种误差综合用甲!2 表示 , 并且可把这个误差综合 量看成外部扰动 !或 者将它看成一个具有正态 分布的白噪音 , 假定它的统计平均值为零 , 协方差伪常数 。 或者随时 间变化的某一个 .! 2 , 则过 程 系 统的动态模型经线性化后变为下述 简 化 型 式 选择函数小? , ? , 使所有边界项为 零 。 在大多数情况下?女 口传质 、 传热过程 , 函数中? , ? 可用调 谐函数 ,( 兀 、 。一 , ? 一竺任 生二 一 】 ( , , ?一 、 2 一 一 表示 。 经上述处理后可直接用集中参数估值 方法如最小二乘方法估算未

12、知参数 。 。 计算机在线规划 如果 基础数据不够充分或者不够准确 , 不能获得准确可靠的数学模型 , 此外如果试 验设计粗糙甚至错误或者由于模型选择不合 理 , 则不管使用多么准确的估值方法都无助 于补偿数据 与模型的拟合程度和求得准确可 靠的数学模型 。 以往的试验设计和参数估值 原则上是阶段性的 , 即在进行试验时 , 没有 充分利用以往实验所取得的信息 。 随着计算 机技术的发展 , 近些年提出的序贯法或称计 算机在线规 划试 验方 法 , 它 的基本思路是利 用计算机和试验设计相 结合 , 以有限的试验 , 获得的有用 信息作基础 , 不断改进下一步试 验的设计 , 分析试验数据 和

13、选定下一个新的 试验点 , 如此利用信息的获得和信息的加工 处理交替进行以建立一个精确可靠的数学模 型 。 计算机在线规划试验方 法 的程序如 图 一 所示 。 它 包括 了两个主要步骤 。首先对有 竞争的数学模型作最优序贯判别 , 如图一 所示 , 假定在两石消竟争的模型之间 作判 别 。 卜卜卜 , 维终模型 圈一计茸桩在峨规划试脸法棍圈 二 跳 力 州 , 州 人 褪 0 二 。二 % 。 巨止 月 6 卜 6卜 入 从 从 螂 护 瓦 图!一,对两个有竞争 的经性璐的列别 ( 9 ( 9 式中的 ( 为相关变量 , 它可以表示任何一个 物理或化学量 。 由此设计一个试验 , 希望获 得

14、一个最大的偏 差值 。 对独立变量 9 则应选 择接近于 零或 9, 而不能选择在 9 附近 。如 果在独立变量 9 的 一 个数值作了 一 次试验 , 以便求常数 、 的数值 , 为了设 计第 。 次试验 , 把 9 轴上可操作区间分为某 些确定救值的区间 , 试验点用 0 , 表示 , 对每 个试验点计算相关变量 ( ” 和 一 ( “, , 然后计 算两个竞争模型每次估值计算的偏差平方和 ? ? 。 一 妥 、 一妥 0 , , ? 成 第 次试验点的选择准则是对应于 任轴上的 试验点使 2 , 。 为最大值 。 这个准则可推广 于有多个竟争模型的情况 , 此时 2? 二 如下 式表示 2 一一 +。 一 艺 艺!妥 ! 5 2 一 尘 ! 5 , % ? ?一互9 ? 式中 , 表示竞争模型 , 指数 点 。 !6一 ? 表 示试 验 当然 还河采用 其它选择准则 , 如使信息 函数为最大值作为判 断最有利模型标准 。 一 : 二 % , ? , , 岌翻 9 ; , 黯 3 !6一6 式中 , ! 、 万月刃心 _铆刃 心, 钊厉丈刃健 犷 图6一?连合 值 体积 示 , 如果模型参数是线性的 , 即在这个体积 的表面 上的每一个点对应于具有相同残差 平 方 和的一组参数值 , 序贯设计法要求用 最少 的 试验数使置信区问体积为最小值 。 如果数