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1、北京大学北京大学 1987 年数学分析考研试题年数学分析考研试题 一、 （一、 （18 分）分）证明 2 2 2 2 ( ) t x x edt f x e 在0,)有界，但在(,) 无界. 二、 （18 分）计算下列积分： （1） 2 0 ( tancot );xx dx （2） 2 16, V yz dxdydz 其中S是由 22 ,2(0),2 ,zyzyyzx zx和4z 围 成的区域. 三、 （18 分）设 2 1 , 1 f x xx 求证 ( ) 0 ! (0) n n n f 收敛. 四、 （15 分） （1）证明： 1 ln n n xx 在(0,1不一致收敛； （2）证明：
2、 2 1 0 1 ln1. 6 n n xx dx 五、 （15 分）设( )f x在, 连续， 2 |( )|,|( )|f x dxf xdx 定义： () ( )( )( ), xx xeffd d 证明： 2 ( )4( ).x dxf xdx 六、 （16 分）设 2 ( )coscoscos. n n fxxxx 求证： （1）对任意自然数n，方程( )1 n fx 在0,) 3 内有且仅有一个根； （2）设0,) 3 n x 是( )1 n fx 的根，则lim. 3 n n x 北北北京京京大大大学学学数数数学学学科科科学学学学学学院院院 2005级级级研研研究究究生生生保保保
3、送送送考考考试试试数数数学学学分分分析析析试试试卷卷卷 命题: anonymous 记录: oloveBDWM October 6, 2004 一一一、 用肯定语气叙述: limx+f(x) 6= . 二二二、 a1= 1,an+1= 1 an+1, 求证: ai有极限存在. 三三三、 f(x)在区间I = (a,b)上任意点可以展开成为幂级数, 且在I上存在一 列xj, 使得limj+xj= x0, x0 I; 且对j有f(xj) = 0. 求证: f(x I) 0. 四四四、 设f(x), g(x)在区间I一致连续. 问f(x)g(x)在I上是否一致连续? 并证 明xlnx在(0,+)一致
4、连续. 五五五、 将cosx在0,上分别展开成为正弦和余弦级数, 并说明其级数的和收敛 到何种函数. 六六六、 求 Z + 0 e2x e6x x dx. 七七七、 设f(x)在(0,1)严格单调上升, 且f(0) = 0, f(1) = 1. 求证: limn+ R1 0 fn(x)dx = 0. 八八八、 设f(x)在(0,+)单调下降趋于零, g(x) C(,+)为非常值的周期 函数. 求证: R+ 0 f(x)dx收敛等价于R + 0 f(x)|g(x)|dx收敛. 九九九、 求解二型曲线积分: Z (exsiny y2)dx + excosydy, 其中为(x a 2) 2 + y2
5、= a2 4 从(a,0)经上半平面到(0,0)的部分. 其中四题18分, 五题12分, 其余每题10分. 1 北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x xx xx xfsin sin 1sin )( 2 2 =，试求)(suplimxf x+ 和)(inflimxf x+ . 2. (1)设)(xf在开区间),(ba可微，且)(xf在),(ba有界。证明)(xf在),(ba一致连续。 (2) 设)(xf在开区间),(ba)(+=+zzyx 7. 是)(xf 2 R 上连续函数，试作一无界区域 D，使在 D 上广义积分收敛 )(xf 8. =)(xf) sin 1ln( p x
6、x +，讨论不同对在p)(xf), 1 ( +积分的敛散性 9. ,是否存在 a 以及函数在 + = )( ),( yxn nyeyxF)(xh)1 ,1 (aa+可导，且 ，使 0) 1 (=h0)(,(=xhxF 10.设在上黎曼可积， 证明：傅利叶展开式有相同系数 的充要条件是 )(),(xgxfba,)(),(xgxf = b a xgxf0| )()(| 数学分析 2008 1 证明有界闭区间上的连续函数一致连续. 2是否存在(-,+ )上的连续函数 f(x),满足 f(f(x)=e?证明你的结论. 3数列x?(n1)，满足?n? ?,求证x?无界. 4f(x)是(-1,1)上的无穷
7、次可导函数,f(0)=1,|f(0)|2,令 g(x)=? ? ?,|g ?0?|2n!.证明对所有正整 数 n,|f?0?|(n+1)! 本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶导数没有加括号(n).这里已改正. 本人注:本题试卷打印有误,最后的 n 阶导数没有加括号(n).这里已改正. 5? ?y ? z?dydz ? ?z ? x?dzdx ? ?x ? y?dxdy :球面x? y? z? 2Rx被圆柱面x? y? 2rx(0rR)所截得的部分,定向取外侧. 6证明 F(x,y)=2-sin x+y?e?在全平面有唯一解 y=y(x),且 y(x)连续,可微. 7 f(x) 在 0,+
8、 ) 上 内 闭Riemann可 积 , 且 ?f?x?dx ? ? 收 敛 , 求 证 lim?e?f?x?dx ? ? =? f?x?dx ? ? . 8f(x)是 (-,+ )上的二阶连续可导函数,满足:1)lim|?|?f?x? ? |x|? ? 0;2)?x?(-,+ ), 满足 f(x?)0.求证:f?x?在?,? ?上变号. 9g(x)是周期为 1 的连续函数,? g?x?dx ? 0 ? ? .f(x)在0,1上有连续一阶导函数,f(0)=f(1).a? ? f?x? ? ? g(nx)dx,求证lim?na? 0. 10f(x)在0,1上 Riemann 可积,且对0,1上任
9、何有限个两两不交的闭区间a?,b?,1in,都有 | ?f?x?dx ? ? ? ? |1.求证? |f?x?|dx ? ? 2. 博士家园 首发 博士家园 首发 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 北京大学北京大学 2011 年数学分
11、析考研试题年数学分析考研试题 1 用确界存在定理证明，如果( )f x是区间I上的连续函数，则( )f I是一个区间. 2 f在0,1上连续有界， 0 lim( ) x f x 不存在，证明存在数列0(), n xn使得 ( )0. n fx 3 证明如果( )f x在I上连续，( )f x可导，则( )f x也可导. 4 构造两个以2为周期的函数，使其Fourier级数在0,上一致收敛于 0. 5 证明( )f x在0,1上可积的充要条件是( , )( )F x yf x在0,1 0,1上可积. 6 在( , )f x y其定义域中的某个点上存在非零方向导数，且在三个方向上的方向向量均存 在
12、且相等. 证明( , )f x y不可微. 7 设D为 2 上无界闭集，试构造一个函数( , )f x y，使它在一个由光滑曲线所围成的无 界区域上的二重积分( , ) D f x y dxdy 发散. 8 设( ),T x, n xDD是一个凸区域，( )T x在D上有连续二阶偏导数，其Jaccobi 行列式正定，证明( )T x是单射. 9 设正项级数 n n a 收敛，则 2 12 lim 111 n n n aaa 存在. 10. 设 , a b上( ) n fx连续且 ( ) n fx一致有界，并且( ) n fx逐点收敛于极限函数( ),f x证明 ( )f x在 , a b连续.
