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1、2009年第8期 数学技学 8一i1 积累“基本数学经验的教学案例设计与实施 一以“寻找生活中的一次函数”为例 200062华东师范大学课程与教学研究所徐斌艳 华东师范大学课程与教学研究所硕士研究生江流 在全日制义务教育数学课程标准的修订 习活动，或者提出自己想探索的活动 过程中，东北师范大学史宁中校长提出，在注重 3师生共同商谈从事学习活动可能涉及的 “基本知识和基本技能”的同时，要积累【基本 数学知识，如一次函数，正比例函数，反比例函 数学经验”和发展“基本数学思想方 ，这是数 数，分段函数，常值函数，对应关系等同时与教 学教育研究上的一个重要进展，尤其是 基本数 师商定可能的活动方式以及
2、预期提交的学习活 学经验”的提出，对中国数学教育发展是一个挑 动成果，在这案例中，对学习成果的要求是：一方 战张奠宙先生等对“基本数学经验”的界定则为 面要发现杆秤、弹簧秤、计价器、商场打折等日常 我们把握数学课程目标提供指南，他指出基本 情景中的函数关系；另一方面根据函数知识制作 数学经验”是指“在数学目标的指引下，通过对具 出实物或者解决实际问题，同时用函数知识精确 体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理 地说明这些实物的作用原理或解决问题的途径 性飞跃时所形成的认识”为使积累“基本数学经 4学生分组进行学习活动，通过制作杆秤、 验”课程目标的落实，需要重新思考数学教学的 探索计价器原
3、理或者比较商场打折不同方案，体 设计与实践 验函数的意义和功能 一 、积累“基本数学经验”的教学案例设计 5学生展示多元的学习成果，包括所用到 这里我们结合在上海爱国学校实施的“寻找 的各种数学知识或技能，让他们认识到数学活动 生活中的一次函数lj案例，说明积累“基本数学经 可以源于日常生活，但是高于日常生活 验”教学设计的可能步骤它包括： 二、案例的实施及其成果 1教师围绕相关的数学概念或目标提出学 1实施过程 生可操作、可探索的活动建议，例如杆秤或者弹 爱国学校老师在实旖这个数学学习活动时， 簧秤原理体现哪些函数问题?出租车计价器是如 按照上述设计要素学生被分为5组，分别从杆 何计算的?水
4、、电以及煤气费是如何计算的?商 秤、弹簧秤、出租车计价器、水、电、煤费用单、商 场打折隐含着哪些函数问题? 场打折等角度，寻找所蕴含的函数问题并应用相 2学生分组根据各自的兴趣和能力选择学 应的函数知识和技能制作实物或解决问题在这 r ，、， 社，1995：193221 轴表示的挑战【J】中学数学教学参考，2004(12)： 【8】MKlineA proposal for high school 37 mathematics curriculumJ Mathematics Teacher，1966，59(4)：322330 【9】MKlineLogic versus pedagogyJ Ame
5、rican Mathematics Monthly,1970，77。 【l01 DHilbert数学哲学【M】朱水林等译 北京：商务印书馆，2003：211212 【l2】罗增儒案例创作：“(-3)X(-4)=?”数 【13】佟魏，汪晓勤负数的历史与负负得正 的引入【J】中学数学教学参考，2005(1、2)：126 128 【14】PErnest数学教育哲学【M】齐建华 译上海：上教育出版社，1998：1-4 【15】张广祥，张奠宙代数教学中的模式直 观lJ1数学教育学报，2006，15(1)：14。 8一i2 数学教学 2009年第8期 过程中，学生需要经历收集数据、寻找资料、查阅 参考文献
6、、观察或测量实物、发现数学模型、绘制 图表、进行书面或口头报告等过程因此，学生 除了规定的3课时外，需要有较充足的课外时间 进行学习活动 2主要学习成果 在第3课时上，各组学生在课堂上展示了一 次函数学习活动的成果，下面列举三例 第一组探索杆秤与函数通过观察现实中的 杆秤，学生们发现当物体质量增加时，从杆秤上 读出的刻度值也随之增大他们凭借自己所学 的物理知识，发现了蕴含在杆秤中的一次函数关 系如图1所示： 图1 学生们将杆秤分为两种情况：当杆秤上刻度 0位置不是提纽位置时，有GI1=F(1o+22)，其 中F表示秤砣的重量，G表示所称物体的重量 在这个式子里，物体的重量G和刻度22是变量，
7、并且22是随着G变化而变化的我们可以设G 为 ，12为 ，则有Y= +c，其中k= ，c= r -lo 当杆秤的on度是提纽位置时，此时lo=0， 即c=0，则有Y=kx这里还应该考虑到 的 值是非负数，同时 的值不能使得 值大于杆秤 的最大刻度值这里为理解函数的定义域和值 域提供现实情景 学生们最终还根据杠杆原理以及一次函数 知识，制作出两把杆秤，即提钮在刻度0的位置 和提钮不在刻度0的位置另外学生们说明了市 场上短斤少两现象背后所隐藏的知识，例如有的 不法商贩在秤砣上做手脚，将它换成较轻的秤砣， 即F变小，使得 变大，从而使得Y变大同样一 个物体在做了手脚的杆秤上秤的重量显然比在 正常杆秤
8、称出的重量大 第三组探索出租车计价器与函数他们提出 的问题是“我该付给司机多少钱”在现实生活 中，学生出行时会乘坐出租车在看到出租车司 机给的发票时，学生们总会时不时冒出这样的念 头“到底出租车司机是如何计费的”学生们观察 多张出租车发票后，根据了解到的票价信息，发 现一般情况，得到白天一般情况下车价和里程数 存在如下关系： 车价=起步价(里程数3)； 车价=起步价+(里程数一起步里程数)每 公里单价(3里程数10)； 车价=起步价+(远程里程标准一起步里程 数)X每公里单价+(里程数一远程里程标准) 远程每公里单价(里程数10) 在上海白天小型出租车的起步价11元，起步 里程是3公里，超起步
9、里程单价每公里21元载 客运距超过10公里(不含10公里)，超过部分按 超起步里程单价加价50 因此，我们令车价为 元，里程数为 公里， 则得到车价和里程数的一个分段函数： =11-I-2z(x一3)， 3x10 即 ： 而这其实就是一个关于里程数和车价的一 个一次函数学生还提到了，当司机碰到红灯或 者堵车时计价情况满足另外一个函数，司机晚上 出车时情况又不同但是学生们没能找到具体 的函数关系式 第五组则从商场促销现象出发探索函数学 生们发现在商场经常可以见到打折的牌子在 这各种以打折名义进行的促销活动中，如何选择 最实惠的商品是大多数人的困惑这组学生给 出了两个商场促销的实例：商场A打出满1
10、99送 100的口号，而商场B打出6折的口号如果想买 一件价格在200到300左右的衣服，应该去哪家 商场购买?学生们列出了相应的函数关系式： 设衣服价格为 元，参加促销活动后的花费 为Y元，则： 商场A：Y= 一100，(200 3OO) 商场B：Y=06x，(200 300) 那么当 一10006x，即 250时去B商场 当衣服价格为250时，两个商场都可以 学生们认识到，函数知识有助于人们理性消 费他们又给出例子：现在想去买一件衣服，只要 价格在300元以内都可以接受为了使花费最少， 应该去那家购买? 学生们给出如下函数： 商场A： I ，0 199， t X-100，199 300 商
11、场B： Y=06x，(0 300) 显然当衣服价格在199元以下的时候，选择 去商场B购买当衣服价格大于等于199元且小 于300元时，又回到了上面那个问题 三、对积累“基本数学经验”的一些思考 尽管我们还没有对学生进行访谈，但是观察 学生的学习过程，可以发现，在这次数学活动中， 学生们体会到数学学习并不仅仅是操练习题，而 且是学会从数学视角分析现实问题，揭示并理 解实现问题例如学生在探索杆秤原理以及制作 杆秤过程中，揭露了不法商贩的欺诈手段；在分 析各种表的计费原理中，理解了国家出台的复杂 的计费方法为了敦促人们节约能源；在分析“促 销”现象时，学生们深刻地感受到理性消费的意 义 学生在这数学活动中也暴露出他们对于一 次函数概念的理解尚未巩固，例如学生们尽管在 使用一次函数或者正比例函数等概念名词，但是 他们并没有注意到这些概念的一些本质，如一次 项前面的系数、函数的定义域或者值域等学生没 有关注到另外函数图像的绘制技能比较薄弱 参考文献 【1】史宁中数学课程标准的若干思考数 学通报，2007(5)： 【2】张奠宙，竺仕芬，林永伟“基本数学经 验”的界定与分类数学通报2oo8(5)：。
