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1、2 0 1 3年第 1 O期 中学数 学 月刊 2 1 一 厘立傩几何题 错触 分析案例及反思 陶 晶 ( 江 苏省 南 京 市江宁 高级 中学 2 1 1 1 0 0 ) l 教 学案例 在 一 次作业 中 ， 给学 生 布置 了这 样一 道题 ： 如 图 1 ，在 三 棱 柱 A BC A B C。中 ，侧 面 A B B。 A 的 面 积 是1 0 c m ，对 棱 O C 到 平 面 AB B A 的距 离是 6 c m， 图 1 则 三棱 柱 A B A B C 的体 积是 师 ： 这次作业 中， 本题的错误率非常高 ， 错误 答 案主 要有 两个 ： 2 0 c m。和 6 0 c
2、 m。 下 面 我 们 逐 一 分 析 他们错 误 的原 因 我们 先来 分析 2 0 c m。 1 生 1 ： 2 0 c m。 的计算过程应该是 1 0 6 一 o 2 O ， 但这个是棱锥 的体积公式 ， 所以错了 师 ： 错误原因很明显 不过在刚才同学分析的 基础 上 ， 我们 可 以再思 考 一下 ， 题 目的三 棱柱 中有 这样的锥体存在吗? 生 2 ： 刚才那 个计 算 公 式 1 0 6 = 2 0 可 以看作四棱锥 C - AB B。 A 的 体 积 ，而 VA B O A1 B l c l VO A B B1 A l+ 图 2 V。 ， 就是小三棱锥 C - A B C 不
3、好求 生 3 ： 三 棱 锥 GA B C 的体 积 我 还 没 算 出 来 ， 但 是 我发 现 ： 它与 三棱 柱 A BC A B C 有 共 同 的 底 面 A B C ， 且 等 高 因 此 ， V e n B I C 一1 V 生4 ： 因为 V O A c 一 。 n e c ， 所以 VO A B B1 A =2 0 c m。 ， 因此 V, o A 1 B 1 c =3 0 c m。 这 时 还 有 同学举 手 表示 有不 同方 法 生 5 ： 受 生 4解法 的启 发 ， 由 刚才 的结 果 知 四 棱锥 C - AB B A 的体积是三棱锥 C - A B C 的体 积的
4、两倍 ， 所 以我的解法是这样的： 由等底同高证 明 Vo A e c =Vo e =Vo 一 e ， 得 舳G e 。 c 一3 f 6 1 3 0 c m。 、 ) 厶 ， 生众 ： 太棒了， 原来如此啊!这就是传说 中的 “ 切割 法” ! 此 时 ， 教师顺 势 点评 ： 原来 大家 距离 成功 如此 之近 ， 有时 真理 和错误 确 实只 有一 步之遥 下 面我 们 不妨再 试 着分 析 另一 个 典 型 错 误 结果 ， 并 且 尝 试 看看有 没 有其他 的方 法 解 决 本 题 学 生 很 快 安 静 下来 ， 陷 入沉 思 这 时生 6 举 手 提 问 ： “ 老 师 ， 我
5、 认 为这个 计算 过 程 应该 是 1 O 6 6 0 c m。 ， 用 的 是 柱体 的体 积公式 ， 我 还没 弄 明 白错 误原 因 ， 但 是 觉得它是正确答案 3 0 c m。 的两倍 ， 所以 ” 还 没等他说完 ， 就有不少学生开始笑他 笔者看出生 6急切想表达 自己想法的眼神 ， 立刻示意其他 同 学安 静 ， 让他继 续 回答 ： “ 所 以 我 在想 能 不 能 再 拼 一 个 同样大小的三棱柱 ， 两个体 积加起来不就是 6 0 c m。 ?”这 个 提 法 激 起 了所 有 同 学 的 思 考 兴 趣 ， 大家都低头思考， 用笔画起来 同时， 笔者很坚 定地 表扬 了
6、生 6的质疑 ： “ 生 6的想法 非常棒 !这 是一个善于发散性思维 的同学， 既然刚刚我们用 切割 的方 法解 决 了 问题 ， 那 么用 补 的方 法 是 否 也 可以哦， 同学们赶快试试 !” 很快生 6 再次举手 回 答 ： “ 老师 ， 我用 两 个 全 等 的 三棱 柱 拼 成 了一 个 四 棱柱 ， 而 这个 四棱 柱 的体积 是 1 0 6 6 0 c m。 ” 这水 到渠 成 的结果 恰恰 是笔 者准备 自己给学 生 补 充 的另解 “ 补形 法 ” ， 为 了让其 他 同学 明 白 ， 笔 者用 早 已准备 好 的几 何 画板课 件 演示 了两个 三棱 柱合 并成 四棱
7、柱 ， 以及 一 个 三棱 柱 切 割 成 三 个小 三棱 锥 的动态 过程 ， 在学 生们 的惊 叹声 中， 这堂课 的 主 题“ 割补 法”也得 到 了非常 完美 、 自然 地呈 现 2 案 例 反 思 传统的错题讲解最大特点是以知识本身的正 确思维过程为出发点 ， 通过与学生的错误思维过 程 的对 比达到深 化 知 识 与方 法 的 目的 它 有 利 于 帮助学生建立系统 的知识 结构和完善 的方法体 系， 有利于培养思维的严密性 ， 进而提高解题 的正 2 2 中学 数学 月 刊 2 0 1 3年第 1 O期 确率 因此 ， 笔者课前首先想到的讲解方式就是找 几个 做对 的学 生介 绍
8、 方 法 ， 再 通 过 题 组 加 以强 化 训练 细细想来 ， 又觉不妥 如此教学， 课堂就会变 成少 数几个 人 的课 堂 ， 其 他人则 是 被动地 接 受 ， 是 一 种“ 变相的灌输” 同时， 这样 的教学更会让学生 感觉技巧的冰冷 ， 个人的无奈 那么 ， 究竟如何讲 解才能让学生在感悟方法 的同时， 在灵魂上拉近 与数学的距离呢? 建 构 主义 学 习 观认 为 ， 学生 的错误 不 可 能 单 独依靠正面的示范和反复的练 习得以纠正， 必须 是一 个“ 自我否 定”的过程 而“ 自我否 定 ”又 以 自 我反 省 ， 特别是 内在 的“ 观念 冲突”作 为必 要 的前 提 利
9、用 学 习错 误 ， 并及 时 引 发 这 种 “ 观 念 冲突 ” ， 能促使学生对 已完成的思维过程进行周密且有批 评性 的再思考 ， 对 已形 成 的认 识从 另 一个 角度 ， 以 另一种方式进行再思考， 以求得新的深入认识 ， 这 既有利于问题解决又培养 了学生的反思能力 于是 笔 者 安 排 了 这 一 节 由学 生 自 己来 “ 找 茬 ” ， 分 析 错误 原 因的错 题 辨 析课 。 回顾 这 堂课 ， 别有 一 番景象 ： 学 生既有 深入 的思 考 ， 又有 热烈 的 讨论 ， 完 全 冲淡 了错 题 的 冰冷 和学 生 内心 对 错误 的沮丧 而课 后依 然 有 学 生
10、 主 动来 找 笔 者 进 行 更 深 人 的讨论 分析 ， 反思 这一 节课 良好 的教学 效果 ， 就学生资源在数学课堂生成策略中的利用做一些 探讨 2 1 巧妙化 解 学生 的错误 在教 学 过程 中 ， 学生 犯 一个 思 维 错 误 或 是解 题错误都是正常， 而且是难免的 于是 ， 笔者通过 意会学生 的错误， 然后经过课堂错误原 因的共同 探讨 ， 了解 到错误 产生 前后 学生 的思 维状 况 在 解 题前学生已经拥有了求棱柱体积 的基本方法 ， 即 V 棱 柱一s h 在解题 过 程 中 ， 学生 更是 经历 了一个 转 换 ： 转换底面 ， 即将侧面 A BB A 看作三棱
11、柱的底 面 这些算是新方法 的思维雏形 ， 而出错 了， 究其 原因， 几何体认识出现偏差， 而实际上恰恰是这样 的偏差可作为正确解法的立足点 因此， 笔者决定 以学生的错误为基础， 分析错 因， 导出正确解法， 在错误 中生成正确， 使学生亲 自经历一个 由错 、 辨 错 到 纠错 ， 再 到 突破 、 提 升 的过 程 ， 课 堂生 成也 精 彩地 完成 了 学习过程 中， 学生根据外在信息 ， 通过已有背 景知 识积极 主 动地建 构新 的知 识 从 不懂 到懂 ， 从 不会到会 ， 学生头脑难免会出现认识上的偏差 ， 这 正暴 露 了学生 的真 实 思 维 ， 反 映 出学 生 建 构
12、 知识 时的困难 作为课堂主体 的学生， 时常会出现一些 错误 的 推理 和认识 而错 误是 正确 的先 导 ， 是 通 向 成功 的 阶梯 ， 学生 课 堂 上 的错 误 往 往 正 是 教 学 的 巨大资 源 真 实 的课堂 正是 因“ 错 误 一 发现 一 探 究 一 归真 ”的 良性 循环 而充 满 活 力 教 师在 课 堂 上要善 于捕 捉学 生 出现 的错误 ， 并 能合理 利用 ， 牵 而代之 ， 引而 发 之 ， 促 进 学 生 自我 反 省 和 内心 冲 突 通过充分思考， 讨论构建知识 ， 其效果将是事 半功 倍 的 2 2 适 时捕捉 学 生的质 疑 本 环节 的教 学
13、中 ， 面对 学生 的质 疑 ， 增 添 了预 设之外的教学内容， 不仅活跃了课堂气氛 ， 而且还 训 练 了学 生 的解 题优 化策 略 在 教学 过程 中， 由于 学生个体的独立性及其知识结构 的独特性 ， 时常 会出现一些疑点 而问题是教与学的载体 ， 一个好 问题 ， 就 是好 的学 习 内容 和深 入探 究 的切入 点 教 师应 捕捉 学生 的质 疑 ， 发 掘其 背 后 蕴 含 的 思 维 障 碍 ， 顺 着 学生 提 出的 问题 ， 巧 妙转化 ， 组 织教 学 ， 引 导 学生 思考 和探究 ， 激 起其 探究 知识 的欲望 ， 进 发 出创造 的思 维火 花 ， 使 学生 学
14、 习变得 更积极 主 动 除 了重 视 学生 自发 形 成 的质 疑 外 ， 教 师更 应 创 造 开放 、 民主、 平等的课堂文化氛 围， 培养学生的质 疑精神， 提倡“ 让你问 ， 让你质疑” 通过师生相互 交流 讨论 ， 思维 互相 碰撞 ， 相 互启 发 ， 相 互引 导 ， 最 终 达到课 堂 动态生 成 课堂 中随着教学 和讨 论的进行 ， 学生 的一个 质 疑很可能就是一 个亮点 ， 正如本节课 生 6提 出的疑 问和看似天方夜谭的构想 ， 这些亮点是学生学习的 顿 悟 、 灵感 的萌发 、 瞬 间的创 造 ， 学生 质疑 的亮点一 旦被教师 捕捉 ， 经 过提 炼 ， 引 导作 为新 的 学 习材 料 和转化为新的教学资源， 就能有效地启迪其他学生 主动探究， 积极思考 ， 进发出智慧的火花 ， 课堂就会 产生一种理想的境界 而学生质疑的亮点是稍纵即 逝， 教师必须用心倾 听， 及时捕捉， 充分肯定， 把握 教学契机 ， 让“ 知识 超越教材 ” ， 让“ 教学 超越课 堂” 在课前 的备课 中不 妨 留有空 间 ， 留给学生 去生 成亮 点 ， 用学 生独特 的回答 丰富课 堂的生成
