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1、1 2 数学教学研究 第 2 9卷第 1 期2 0 1 0年 1月 一 个“ 问题 习题” 的教学案例 刘贯宇 浙江省衢州市高级 中学3 2 4 0 0 6 波利 亚认 为 ， 中学 数 学教 学 的首 要 任务 是习题教学 教育家的话固然有待商榷 ， 习题 教学是数学课堂教学中的“ 重头戏” 确是勿庸 置疑的 高质量的习题为大家所注重， 一些有 问题有缺 陷的习题 常常被教 师和学生所忽 略 ， 岂不知这些“ 问题 习题” 如果能够很好地 加 以利用 ， 反而 会 出 奇效 下 面是 一 节 “ 问题 习题” 课 堂教 学实 录 1 教 学 内容 已知 函数 厂 ( ) 的定 义 域 是 z
2、 l _=r 0 ， 且f ( x y ) 一 厂 ( z ) + 5 f ( 寺) ( 1 ) 若厂 ( 9 ) 、 ， 一8 ， 求 f ( 3 ) 的值 2教学 过程 教师： 请同学们仔细研究一下这个题 目， 思考后再发言讨论 今天请郑增强 同学做我 们 的记 录员 ， 下课 后 把 讨 论 的 结果 写 在 后 面 的黑 板报上 ， 供 大家欣 赏 Rt BCE Rt BCD CE CD 证法 2 如图 2 ， 过 A作AF上C D于F， 则 AC F =AB C 在 Rt AB C 中 ， AC E=A BC， 所 以 ACF= ACE 又 ACAC， 故 Rt ACF Rt AC
3、E CFCE 连 O C， 则 O C 上C D 1 AFO C B D1 AF J C D， B D I C D J O BO A J l I CF一 ( CD CE 在复习的过程中加强对解题思路优化的 分 析和 比较 ， 有 利 于 培 养 学 生 良好 的数 学 品 质 和思维 发展 ， 能 为学 生培 养严谨 、 创 新 的学 风打下良好的基础 4习题归类要注意“ 类化” 教育家赞可夫强调要 “ 在学生发展上下 功夫” ， 注意学生怎样去学习 学会“ 类化” 是 学生 发展 的一 个重 要 途 径 根 据 考 察统 一 知 识点的需要 ， 可以从不同的角度， 结合不同的 数学模型做出多
4、种命题 因此在复习中， 教师 要善于引导学生将 习题分类归档 ， 并集 中力 量解决同类题 中的本质问题 ， 总结出解这类 问题 的方法 和规 律 ， 从 而 达到解 一题 会一类 ， 以少胜多的 目的 例如在复习列方程解应用题时给出下面 几道题 1 两人同时从相距 5 0 0 0米 的两地相对 而行 ， 一人骑 摩托 车每 分行 8 0 0米 ； 一 人骑 自 行车 每分行 2 0 0米 ， 经 过几 分两 人相 遇? 2 从 甲村到 乙村 ， 货 车需要 8小时 ， 客车 需要 6小时 ， 两车 同时从 甲、 乙两村 相向而 行 ， 几 小时相 遇 ? 3 一项工程 ， 甲队独做需 8天完
5、成， 乙队 独 做需 6天 完成 ， 现 甲 乙合 做 ， 几 天完 成 ? 4 有一水 池 ， 单 开 甲管 8小 时可注 满 ， 单 开乙管 6小时可注满 甲乙两管 同时开需要 几小时注满水池? 以上 4 道题的表达 方式虽然不 同， 但本 质相同， 数量关 系， 解题 方法是一样的 通过 这样归类训练 ， 学生便能把知识从一个 问题 迁 移到另 一个 问题 ， 从而 达到 举一 反三 ， 触类 旁通的效果， 久而久之 ， 便能形成技能 ， 解题 效率 自然获得提高 ( 收稿 日期 ： 2 0 0 9 0 6 0 8 ) 第 2 9卷第 i 期2 0 1 0年 1月 数学教学研究 l 3
6、黄 映磊 ： 由 ， ( ) 一 厂 ( ) + 5 厂 ( ) ， 得 到 f ( 9 ) 一 ( 3 3 ) 一厂( 3 ) +5 f( 1 ) ， ( 1 ) _厂 ( 1 ) 一 厂 ( 3 号 ) 一 厂 ( 3 ) 9 ) ( 2 ) ( 2 ) 代 入 ( 1 ) 得 厂 ( 9 ) 一6， ( 3 ) 斗2 5 f( 9 ) ， 即 厂 ( 3 ) 一一4 f ( 9 ) 一一3 2 方贞： 我得到的答案不一样啊! 3 ) 一 厂 ( 9 寺 ) =： ， ( 9 ) 十 5 f ( 2 7 ) ， f ( 2 7 ) 一， ( 9 3 ) =_厂 ( 9 ) +5 f ( 3
7、 ) 所以 厂 ( 3 ) =一f ( 9 ) 一一2 教师： 方法相同， 结果不同， 问题 出在什 么地 方呢 ? 评注两位学生给出的方法很简洁， 简 洁就 是美 ， 而美 的东 西 是大家 所乐 见的。 教师 所要 做的事 情是要 引导 学生 如何 发掘美 的价 值 、 美的根源 ， 引领 学 生 去看 那 桃 花 美 景 ， 所 谓抛 砖引玉 是也 美 中不 足的 是 ， 不 同 的 赋值 得 到 不 同的 结果 陈淑： 根据题 目给出的条件 ， 我们不仅仅 能够得 出 -厂 ( 3 ) 一一厂 ( 9 ) 一一2 ， 也可 以得 出 ， ( 3 ) 一一4 厂 ( 9 ) 一 一3 2
8、 ， 其 实还可 以得 出无数 个值 ， 因 为从 给 出的 f ( x y ) 一 ) + 5 厂 ( ) 中可以得出任意的两个正实数之间都存在关 系式 厂 ( r ) 一一， ( ) ， 我们只需再找出足够多的数值 ， 在 ，( 3 ) 和 厂 ( 9 ) 之间架起一座座桥梁， 它们 的关系便和 4 的整数倍有关 教师： 看来是我给大家 出的题 目有问题 了， 好在同学们的鉴别能力是一流的， 不会被 错误 所蒙 蔽 陈淑 给 了我 们 一 个 漂亮 的概 括 ， 它 们 的 关 系真和 4的倍 数有关 吗 ? 钟 娟 ： 不 一定 吧 我 的做 法 比较 复 杂 ， 大 家看好 了 ! 令
9、 一1 ， 一9 ， ， ( 9 ) 一 1 ) + 5 厂 ( 吉 ) 8 ( 1 ) 令 z 一妄 ， ， ( 告 ) ： -， ( 吉 ) 一十 s 令 一1 ， 一3 ， -厂 ( 3 ) = 厂 ( 号 ) ( 3 ) 令z 一1 ， 一寺， 厂 ( ) 一 ， ( 1 ) + 5 l厂 ( 3 ) ( 4 ) 联 立 ( 】 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 可以得到 ： 厂 ( 3 ) 一一两 8 我们至此可以断定老师给出的问题是 个矛盾 的命 题 教 师 ： 陈 淑的判 断被钟 娟 否决 了 确实如 此 ， 我们面临一个矛盾的命题 有没有更好的 解 释呢 ? 评注教师引导
10、学生对 自己的题 目开个 了批判会 ， 给学 生的逻辑思维能力训练提供 了一 个很好 的 平 台， 换来 了学 生对 问题 的 深 刻认 识 ， 思 维 的深刻在 于思 维的批 判性 ， 学 生 对题 目的批判 给 学生带 来的不 仅仅是这 个题 目本身怎么做 朱玉芳 ： 他们两个用的方法其实是相同 的， 只是取不同值而已， 结果却迥异， 因此我 想是问题本身出问题了 王仙： 我可以证明这个问题 由 f ( x y ) 一 z ) + 5 厂 ( y ) ( 1 ) 可得 l 4 数学教学研究 第 2 9卷第 l期 2 0 1 0年 1 月 厂 ( ) = 厂 ( 。 詈 ) 一 厂 ( y
11、) q - 5 f ( - ) 而 厂 ( 兰 ) 一 厂 ( y 詈 ) = =： ) + 5 ) ， 联立 以上 两 个 式 子 可 得 ： 对 V z ， Y ， 均 有 4 f ( ) +厂 ( ) 一0 ， 取 z= = = ， 得 ， ( z ) 三O 这 与问 题 中的 厂 ( 9 ) 一8相 矛盾 教 师 ： 课 堂铃 声 已经响 起 ， 我 们的讨 论却 越 来越 热闹 ， 王仙也 给 出 了一个 漂亮 的证 明 ， 虽然我出的题 目有点问题 ， 相信大家得 到的 收获并 不仅仅 是这 一道 题 目 评 注钟 娟 的几 板 斧 令 人 眼花 缭 乱 ， 究 其实也是进 行不
12、同的赋值 而得 到不同的结 果 虽然 没有 多 少新 意 ， 却 打破 了陈 淑 的 “ 完 美总结” ， 学生的批判性 思维发挥 地淋漓尽 致 3教学反 思 3 1 学 习过 程 中 的反 思 使 学生 的 认 知获 得 更 大发展 学生学 习数 学 的 目的是获 得 自己去探 索 数学 的体验 和利用 数 学去解 决 实际 问题 的能 力 ， 获得 对 客观 事 实 尊重 的理 性 精 神 和 对科 学的执着追求的态度 教师在设计教学时应 当充分考虑学生主体性 的发挥， 让学生经历 做数学的过程 ， 提供必要的机会 ， 使得他们能 够从事反思活动 研究表明， 人的一般认知发 展 ， 包括认
13、知能力的发展和认知水平的提高 ， 在 很大程 度上 得益 于深 刻 的反思 活动 在这节课堂教学过程 中， 反思贯穿整个 课堂 学生得出不同的结果后 ， 教师及时引导 学生思索 ， 即使是陈淑得到 了看似完美 的结 论 ， 教师还是继续 发问： “ 陈淑给了我们一个 漂亮的概括， 它们 的关系真和 4的倍数有关 吗? ” 一边表扬鼓励， 一边期待着更多的思索 3 2学习过程中的数学交流使学生的学习 效 益最大 化 学习过程中的数学交流有助于强化数学 思维 教 师有效 地组 织思 维 活动 ， 鼓 励学 生向 他人 表达数 学想 法 ， 并倾 听他人 的数 学表达 ， 拓宽 和丰 富 自己的 数
14、 学知 识 不 同 的数 学表 达 ( 口头 的 、 文字 的 、 符号 的等 等) 可 以使学生 体会到数学的优越性 数学的工具作用不仅 表现在 运用 数 学 解 决 问题 ， 同 时 也是 人 们进 行交 流 ， 表达 自己对某 些 问题认 识 的工具 应 当在学 习 的过程 中 给学 生 交 流 的 机会 ， 提 供 具体的情境让学生去表达、 倾听， 提出自己的 想 法 数 学交 流不 仅是 数学 知识 的交 流 ， 还有 数 学体验 的交 流 ， 它 不是 着 眼 于 某 个具 体 的 概 念 、 方 法 、 想 法 和念头 的交 流 ， 还包 括分析 、 评论 、 欣 赏 、 赞 叹
15、 等等 ， 是 情 感体验 的交 流 如果 没有 交流 ， 大 家独 自做这 个题 目， 对 大多数同学来说 ， 也许是只能得到 厂 ( 3 ) 等于 一 2或者一3 2或者其它一个数值， 不会得出 这么多结果 ， 就不会想到这个问题的错误 ， 也 不会得到这个问题的一般结论 ， 更享受不到 这个 “ 错 误 ” 给大 家 带 来 的快 乐 交 流带 给 了 学生们 更 多的情 感体 验和 自信 3 3 教师 角色的转变使学生变成课堂的主人 学 生是数 学 学 习 的 主人 ， 教 师 是 数 学学 习的组 织者 、 引导 者 和合作 者 数学课 堂要 围 绕学生的发展展开， 拓宽学生的空间， 教师要 从 一个 知识 的传授 者转 变 为学 生发展 的促进 者 ， 要从 教室 空 间支配 者 的权威 地位 ， 向数学 学习活动的组织者 、 引导者和合作者的角色 转换 这 就要 求 教 师要 组织 学 生 发现 、 寻 找 、 搜集 和 利用学 习 资源 ， 组 织 学 生 营 造 和保 持 教室中和学习过程 中积极的心理 氛围； 引导 学生设计恰当的学 习活动， 激活进一步研究 所需的先前经验 ， 围绕问题的核心进行深度 探索、 思想碰撞 ； 建立和谐的、 民主的、 平等的 师生关系 ， 让学生在平等 、 尊重 、 信任
