《北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 三角形的证明一、八条基本事实1、两点确定一条直线；2、两点之间直线最短；3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4、同位角相等，两直线平行；5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；8、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；二、平行线的判定和性质判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.三、全等三角形判定定理： 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2、有两
2、边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 性质:全等三角形对应边相等，对应角相等。三角形全等常用来证明线段或角相等。例：如图，ABC中，AC=BC，ACB=90，点D在AC上，点E在BC延长线上，CD=CE，BD的延长线交AE于点F，连CF.（1）证明：；（2）证明：.练习：1、在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，CAB=60，CDB=120，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF（1）求证：DE=DF；（2）若G在AB上且EDG=60，求证CE+BG=EG；
3、2、如图，在ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。猜想DF与EF的大小关系并请证明你的猜想。3、如图，RTABC中，ACB=90，ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PFAD交BC的延长线于点F，交AC于点H.（1）求的度数；（2）证明：. 四、等腰三角形1、性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 例题：1、点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和ABC的三个顶点所组成的PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）A1, B4, C7, D102、如图，等腰
4、三角形ABC中，AB=AC，A=20，D为AB边上一点，且AD=BC求CDB的度数。练习：1、等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，且BD=AD=DC，那么B的度数为 。2、如图在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A2个B3个C4个D5个3、等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 4、在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，和B1，B2，B3，分别在直线y=kx+b和x轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2，那么点A3的纵坐标是 ，点的纵
5、坐标是 5、如图，ABC中，AB =AC，点Q在AC上，在BA的延长线上取AP=AQ，求证：PQ垂直于BC6、已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，过点P作PEAB，PFAC，垂足分别为E，F，过点B作BDAC，垂足为D求证：PE+PF=BD推论1:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。例：如图，在RTABC中，ACB=90，ACBC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DEDF，过A作AGBC交FD的延长线于点G（1）求证：；（2）若，求线段的长练习：1
6、、如图，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，ABE=CBE（1）证明：；（2）证明：2、已知CE垂直于AB于E点，1=2，AE=1/2（AD+AB），求证：ABC+D=1802、判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 3、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 例1: 如图所示，在边长为2 cm的正三角形ABC
7、中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则PBG的周长的最小值是 例2:如图，在等腰RTABC中，ACB=90，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE连接DE、DF、EF（1）求证：；（2）试证明是等腰直角三角形例3:如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE， AFBE交BC于点F，过点F作FGCD交BE的延长线于点G，交AC于点M。（1）证明：为等腰三角形；（2）证明：.练习：1、如图，已知ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分ACD，CE
8、=BD，求证：ADE为等边三角形2、在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，求DFC的度数五、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两锐角互余；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 2、直角三角形判定有两个锐角互余的三角形是直角三角形；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）；3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为
9、另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.注意：真命题的逆命题不一定为真，定理和逆定理均为真命题。4、直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）。例1：如图，ABC中，C=90，1=2，CD=3/2，BD=5/2，求AC的长。例2：小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EFAD，A=EDF=90，C=45，E=60，量得DE=8，试求BD的长例3:如图，等边ABC中，AO是BAC的角
10、平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE。 （1）求证：； （2）延长至, 为上一点，连结、使, 若时，求的长.练习：1、如图，在ABC中，ACB=90，D是BC的中点，DEBC，CEAD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 2、如图2-5所示在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQAD于Q求证：BP=2PQ3、如图，是等边的边上一点，是延长线上一点，连接交 于，过点作于于点.（1）证明：；（2）证明：.4、已知等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，点G在BC上，连接AG，过C作CFAG，垂足为点E，过点B作BFCF于点
11、F，点D是AB的中点，连接DE、DF（1）若CAG=30，EG=1，求BG的长；（2）求证：AED=DFE六、线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 例：1、如图，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC大小为 （ ）A134, B136, C108, D1122、在ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D
12、，若AC=6，BC=4，BCF的周长为 。 3、如图，在RTABC中，AB=AC，BAC=90，D、E为BC上的两点，DAE=45，F为ABC外一点，且FBBC，FAAE。（1）证明：；（2）证明：.练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）A3 B35 C25 D282、如图，在RTABC中，ACB=900，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，CE的长为 3、如图所示，在ABC中，AB=AC，BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，DEAB，FGAC，E、G在BC上，B
13、C=15cm，EG的长度为 。 4、（1）在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，A，求NMB的大小（2）如果将（1）中A的度数改为，其余条件不变，再求NMB的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改ABCNMABCNMABCNM5、如图1，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，ACB=90，CAD=CBD=15，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。（1）求的大小；（2）若点在上，如图2，且，求证：. 七、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。例：1、已知：如图，BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PEAB，PFAC，垂足分别为E、F，若AB8，AC4，则AE 2、如图，分别以ABC的边AB、AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相较于点O，连接AO。（1）求的度数；（2）求证：平分
