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1、 新疆师范大学2014届本科毕业论文(设计)2014届本科毕业论文（设计）题目：投影到无穷远证明几何问题学 院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：艾力亚司纳麦提指导教师：吐尔洪艾尔米丁 答辩日期：2014 年5月8日 新疆师范大教务处12目 录1.中心射影31.1.直线与直线间的中心射影31.2.平面与平面之间的中心射影32.无穷远元素43.射影直线（平面）与图形射影性质53.1 射影直线（平面）53.2.图形射影性质54.利用无穷远元素证明几何问题6总 结11参考文献11投影到无穷远证明几何问题摘要：此文章中主要谈的是无穷远元素及它在实际问题中的应用。本论文分为六大部分
2、，分别是引言，中心射影，无穷远元素，射影直线和射影平面，图形的射影性质，实际例题和总结。文章先介绍了与无穷远元素有关的知识，做好了实际应用的准备。然后利用它，进行解决关于无穷远元素的实际问题。在引言部分介绍了“无穷远元素”的来源。在中心射影阶段给出了中心射影的概念，介绍了两种中心射影。无穷远元素部分介绍了中心射影下的无穷远元素及其有关性质。射影直线和射影平面部分利用无穷远元素建立了新的一个平面，然后讲述了欧氏直线（平面）和射影直线（平面）的区别。图形的射影性质部分介绍了中心射影下的图形的性质。最后利用无穷远元素的性质进行了解决实际问题。关键词: 中心射影；无穷远点；无穷远直线；射影直线；射影平
3、面； 引言无穷远元素是高等几何中的重要概念之一，在欧氏平面上引进无穷远元素后，使拓广了的欧氏平面成为射影平面的直观模型，此时直线和平面分别变成封闭线和封闭面。欧氏平面的结构被改变。虽然如此，但利用无穷远元素仍可以非常巧妙的解决某些初等几何问题。这徉就能使问题化繁为简,转难为易。讨论无穷远点在几何问题中的应用在高等几何中有重要的意义。1.中心射影1.1.直线与直线间的中心射影设，是共面二直线，点是此平面内与外任一点。若与上任一点之连线交于。则我们定义：定义1 叫做点从投影到上 的中心射影下的对应点。叫做投射线，叫做投射中心，简称射心。 显然也是在上以为射心的中心射影 图（1）下的对应点。取不同的
4、射心，就得到不同的中心射影。如果与相交与点，则为自对应点，如图（1） 在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果上的一点使平行于，则的对应点将不存在。同样在上也有一点，使平行于，所以在上的对应点也不存在。我们将与分别称为与上的影消点。1.2.平面与平面之间的中心射影设与是二平面，点是平面外一点，若与上任一点之连线交与。可以看出在中心射影下平面内的一直线对应平面上的直线。 图（2）当与相交时，其交线为自对应直线，其上的每一点都是自对应点。同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图（2），如果平面上的一点与的连线平行于平面，那么在上的对应点便不存在，我们也称
5、点为影消点。若通过作与平行的平面交平面于直线。则直线在上的对应直线也不存在，我们称直线为影消线。类似的可以定义平面上的影消点与影消线。显然，影消点的轨迹是影消线。2.无穷远元素为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引进了无穷远元素。为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。 约定 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以，为区别起见，平面上原有的点称非无穷远点或普通点。 由此可以证明空间里的一组平行线只有一公共点，即这组直线上的无穷远点。一平面内直线的方向有无穷多，所以平面内的无穷远点也有无
6、穷多，由于每一点直线上只有一个无穷远点，所以平面上无穷远点的轨迹应该与此平面上每一条直线只有一个交点，因此约定：约定二 一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线。无穷远直线记作，为区别起见，平面内原有的直线叫做非无穷远直线或普通直线。无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线。空间里有无数多个方向，因此有无数多个无穷远点，这些无穷远点的轨迹与每个平面既然相交于一条无穷远直线，因此约定：约定三 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷远平面。无穷远平面可记以，为了区别起见，空间里的原有平面叫做非无穷远平面或普通平面。定义3 无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。平面上
7、的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。3.射影直线（平面）与图形射影性质3.1 射影直线（平面）定义4 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后，便得到一条新直线，我们将它叫做仿射直线。同样地，将此概念加以推广即可得到仿射平面的概念。定义 5 欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。定义 6 如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。射影直线是可以看作是封闭的，因此欧氏平面上的圆常看作射影直线的模型。将射影直线的概念加以推广，就可以得到射影平面的概念。定义 7 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射影平面（二维射影空间）。如果将仿
8、射直线上的有穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，则这条仿射直线就叫做射影直线。反过来，如果在一条射影直线上任取一个特定点叫做无穷远点，而将其余的点叫做有穷远点，这样的射影直线就是仿射直线。 3.2.图形射影性质引进无穷远元素以后，便可以通过中心射影建立一平面上二直线上点之间的一一对应，这种一一对应称为透视对应.同样，也可以通过中心射影建立二平面之间点的一一对应，也称为透视对应.定义8 经过中心射影（透视对应）后图形的不变性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）。例 证明： （1）相交于影消线的二直线必射影成平行直线 （2）单比不是射影不变量。证明：（1）如图（3），设平面上二直线，相交于影消线上
9、一点经射影对应后，与 的对应直线分别为和由于射影对应保持结合性不变，所以点的对应点是 和 的交点，即点。由于与相交于无穷远点，所以。 图（3） 图（4）（2）如图，设三直线.交于点，平分，直线和分别交三直线和并使且，于是所以，因此单比不是射影不变量.所以我们将以下结论.(一) 同素性，结合性确实射影性质，但是平行性不是射影性质。(二) 单比不是射影不变量。4.利用无穷远元素证明几何问题 例1 证明：一直线与它的平行平面相交于一个无穷远点。证明：设直线平行于平面，过直线任作一平面与相交于，故，所以一方面即,所以 图（5） 例2 证明：一组平行平面相交于一条无穷远直线。 证明：如图(6），给定一组
10、平行平面、，其中一平面内的直线上无穷远点为，过作一平面与组内其它平面交于一组平行线，根据约定一，应是这组平行线的交点。所以应在、 的每一个平面内。又因为的选择有任意性，所以，根据约定一，这些平行平面交于一条 无穷远直线。 图（6）例3. 求证平面上任意四边形可以投影成平行四边形。 证明： 分析，在两个成中心射影的平面内，与无穷远直线对应的直线叫做影消线，如图(7)，若四边形， 图（7） ，即选一射心再作一/中心投影所建立的透视对应中，为影消线，它对应平面。因此 即 例4 如图(8)，在一个中心射影中，为 射影中心，在一平面的影消线上取定两点，在平面上，任取一点。求证：经中心射影后等于常量。 图
11、（8） 证明：因为为影消线上两点，为射心，所以, .若在平面内的射影为,则 于是而为定值，所以经射影后为一定值。例5.为三定直线，为二定点，其连线通过点，为动点且求证通过上一定点。证明：将直线投影到无穷远直线,对动点,因为平行四边形。所以故为平行四边形，因此如图(9)，即方向一定，就是 图（9） 例6.已知直线平行，求作一中心射影上的无穷远直线。 解：在平面外取一点,使直线和点所确定的平面平行与平面，则以为射影中心将直线投影到面上的无穷远直线 。 图（10） 例7.设直线交三边如果直线两两相交成一个三角形,求证三线共点。 证明：利用投影到无穷远的性质，将直线投影到另一个平面上的无穷远直线，则都
12、射影成无穷远点。 图（11-a） 图（11-b） 从而图(a)中交与这些点的直线都投射成另平面上的平行线。我们用各点表示相应点的射影，即有作出图（a)的射影对应图形（b).因为为平行四边形，从而中点。同理可证分别为和。这样，直线就投射成因为三条中线必交与一点，依据结合性是射影性质，证得三线共点。例8如图（12-1），设三直线交于一点，分别交两直线于与。 求证：直线 与 的交点，与的交点，与的交点在一直线上，且所在的直线通过。图（12-1） 图（12-2）证明：将直线投影到无穷远，这只需在直线，所定平面外任取一点，取平面平行于与所定平面，则以为投影中心建立的向的中心投影将投影成的无穷远直线，如图
13、（12-2）设分别为，在此中心投影下的象。在图（12-2）里，显然直线与的交点，与的交点，与的交点在一直线上，且所在的直线平行于，所在的直线或，所在的直线。 由于中心投影保持给合性不变，所以在图（12-1）里有直线与的交点，与的交点与的交点，在一直线上且点也在这三点所在的直线上。总 结 本论文中为了介绍无穷远元素在几何问题中的应用，首先建立了二直线，二平面间的中心射影，成立了一一对应在欧氏平面上引入了无穷远元素，使欧氏平面推广到射影平面。其次，讨论了图形的射影性质。最后利用推出来的无穷远点的性质，巧妙地解决了比较复杂的一些几何问题。 无穷远元素的应用远不止这些，它贯穿于整个摄影集合，只要辅以适当的变换，性质等，它能使许多难解的数学问题神奇的得到解决。参考文献1梅向明，刘增贤，王汇淳等编.高等几何（第三版）
