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1、1 2 寸 7 擞， 7( 2 0 0 9 年 第 1 1 期 高 中 版 ) 案例评析 “等羞数 列 的前 7, 项和 ” 教 学靠例 分 析 6 4 1 1 1 2 四川 内江师范学院数学与信息科学学院潘超 著 名的上海“ 青浦实验 ” 一项调查表明 ， 教师的成长 需要有课 例的专业 引领、 需要行为跟 进的全过程反 思 作为“ 准教师” 的高师学生则更需要从理论到实践 的完全指导， 需要 以课例为载体， 以理念学习、 情境设 计、 行为反省为基本策略， 建立师生合作平台， 实施“ 行 动教育 ” 在“ 行动教育” 中， 案例教学法 的应用非常重要 和普遍 ， 它架起 了理论 与实践 的
2、桥梁 ， 建起 了教 师成长 的阶梯 笔者在学生教学实践中收集了现行的人教版高 中数学“ 等差数列的前 n项和” 一节内容的部分教学案 例， 就情境创设、 公式推导两个教学环节的设计谈谈 自 己的管窥之见 ， 与同行探讨 1 情境创设 片断集萃 情境是问题 产生 的土壤 ， 情境 是 教学 实施 的伴奏 ， 情境是探究活动的场域 ， 情境 是创造思 维 的源泉 因此 ， 在数学教学中创设适宜 的情境 能激 发学 生的学 习兴趣 和热情 ； 能促使学生从中发现问题 、 提 出问题 ， 经历数学 的发现和创造过程， 了解知识的来龙去脉； 能促使学生 在情境中感悟数学、 体验数学， 为培养学生良好的
3、数学 素养和数学品质提供发展基础 为此， 在高师学生教学 实践中， 大部分学生对“ 等差数列的前 项和” 一节 容 的教学设计都进行了情境创设 ， 下面摘录了六个情境创 设片断 情境 1 ( 教师讲述高斯故 事 ) 数学王子 、 德 国数学 家高斯 l 0岁的时候 ， 有一次数学教师布特纳要求大家 求 1 + 2 + 3+1 0 0的和 老师刚解释完题目， 高斯就 把写 有答案的石板交 了上去 ， 布特纳连看 也没看 ， 心想 这个全班最小的学生准是瞎写了些什么， 或者交了白 卷， 过了很久， 其他学生才一个个把石板叠在上面， 等到 布特纳发现只有高斯的石板上写着一个正确的答案而 比他大的孩子
4、都错了的时候， 才大吃一惊， 因为在这之 前 ， 他从未 教过学生计算这 样 的式子 那 么高斯是 怎样 巧妙的算 出结果的呢? 点评本情境是挖掘人教版教材中数学王子高斯 小时候的故事来创设的， 虽然部分学生对这个故事有所 耳闻， 能够一口道出计算结果“ 5 0 5 0 ” ， 但对“ 高斯算法” 并不是很清楚， 对其算理还存在潜意识的探究欲望 因 此 ， 这个故 事一定程度上 能激发学 生的学 习兴趣 ， 凋动 学生的主动性 情境 2 ( 古算 书中 求和 问题 ) 古算 书 张邱 建 算 经 中卷有一道题 ： 今 有与人钱 ， 初一人 与 一钱 ， 次 一人 与二钱 ， 次一人与三钱 ，
5、以次与之 ， 转 多一钱 ， 共 有百人 ， 问共与几钱 ? 教 学实施 ： 第一步： 师生共同读题( 从题目中， 我们可以得到哪 些信息?要解决的问题是什么? ) 第一人 给 1 钱 第二人 给 2钱 ， 第 三人给 3钱 ， 以后 每个人都 比前 一个人 多给一 钱 ， 共 有 1 0 0人 ， 问共 给 了 多少钱 ? 第二 步 ： 引导 学生用数学 符号语 言 表示 上述 问题 ： 用 n 表示第 1 7 , 个人所得的钱数 ， 则 由题意得 0l =1， 0 2：2， 。 3=3， ， 0l 0 0=1 0 0， 只要求出 1 + 2 + 3+1 0 0即可 第三步： 解决问题 ：
6、联系少年高斯的计算方法 点评对于学生来说， 历史上的问题是真实的， 因 而更为有 趣 ； 历 史 名题 的提 出一般 来 说都 是 非 常 自然 的 ， 它或者 直接提供 了相应数学 内容 的现实背景 ， 或者 揭示 了实质性的数学思想方法 ， 这对 于学生理解数 学 内 容 和方法都极为重要 情境 3 ( 投影屏展 示铅 笔堆放 问题 ) 如 图 1 ， 一 个 堆 放铅笔 的 形 架 的最下 面一 层放 一 支铅笔 ， 往上每一层都 比它下面一 层多放一支， 最上面一层放 1 2 0支 ， 这个 形 架上共放着多少支铅笔? 点评 该情境是现代教育技术 下的拟生活情境 ， 动态显示了铅笔的
7、图 1 堆放过程， 由求 形架上的铅笔总数问题引出了计算下 式 1+2+3+ +1 2 O 然后将这个 问题引 导到大家熟知 的 “ 高斯故事 ” 中 数学 问题 案例评析 中。 7 毒 蔓 ： ， 7 ( 2 0 0 9 -q - J 1 1 期 高 中 版 ) l 3 上述情境 3实际为生活 中一 种堆放 问题 ， 有 的学 生 以堆放钢管为例类似引出等差数列求和问题， 创设了如 下情境 4 ： 情境 4( 投影 屏展 示钢 管堆 放 问题 ) 如 图 2 ， 堆放 着一堆钢管 ， 最 上层 放 了 4根 ， 下 面每 一层 比上一 层 多 放一根 ， 共 8层 ， 这堆钢管共有 多少根
8、? 图 2 图 3 教学实施学生开始小组讨论， 3分钟后， 小组代表 纷纷发言， 说出自己的思路 有的学生提出， 可以联系梯 形面积的得 出办法 ， 将梯形 补成 平行 四边 形 ( 见 图 3 ) ， 利用平行 四边形面积的一半求 出钢管数 点评用现代教育技术为辅助手段， 创设了钢管堆 放问题， 导出了等差数列求和问题 ， 并用拼凑的方法将 求钢管数量问题转化为了求平行四边形“ 面积” 问题， 体 现了数学 问题生活化 的理 念 ； 在解决 问题 中 ， 又体 现 了 数形结合的思想、 类比的思想、 转化的思想等， 为后边等 差数列前 7 , 和公 式的推 导埋下伏笔 情境 5( 投影屏展示
9、印度景点) 让学生欣赏美丽 建筑奇迹泰姬陵的系列图片( 图4中为其中一幅) 泰姬陵是印度著名的旅游景点 ， 传说中陵寝中有一个三 角形的图案嵌有大小相同的宝石 ， 第一层 1 个， 每一层 都 比前一层多 1 个 ， 共有 1 0 0层 然后提 出问题 ： 你能计 算出这个图案上一共有多少颗宝石吗?( 也就是计算 1 +2+3+ +1 0 0的和) 矗 | 帝 膏 膏 囊 | | 膏 | 一 e l _ 8 l l o o 图 4 点评不直接以教材本身， 而以泰姬陵的传说作为 教学的出发点， 引出等差数列的求和问题， 对教材有一 些处 理 ， 也拓宽 了教学 资源 ， 同时也符 合数学 新课标
10、 提 出的“ 数学 是人类 的一 种文 化 ， 它 的 内容 、 思 想、 方法 和 语言是现代文明的重要组成部分” 、 “ 要体现数学的文化 价值” 等理念， 这样将文化氛围浓厚的“ 古迹” 融人到课 堂教学 中， 让学生 “ 触 境生情 ” ， 既可 以掌握 数学 知识和 技能， 又可以体验教学内容中的情感 ， 使原本枯燥的、 抽 象的数学知识变得生动形象， 饶有趣味， 活跃 了课堂学 习气氛， 激发学生学习数学的热情， 起到正面推动作用， 提升数学教育成效， 这也是贯彻德育、 提倡人文精神的 组成部分 情境 6( 小黑板 展 示购 房还 款 问题 ) 张 老师 按揭 买房， 向银行贷款
11、2 5万元， 采取等额本金的还款方式， 即每月还款额比上月减少一定 的数额 2 0 0 8年 1月， 他 第一次向银行还款 2 3 4 8元 ， 以后每月 比上月的还款额 减少 5 元 ， 若以2 0 0 8 年 1 月银行贷款利率为基准利率， 那 么到 2 0 2 7年 1 2月最后一次 还款 为止 ， 张 老师连本 带 利 一共 还款多少万元? 点评弗赖登塔尔认为， 数学教育要引导学生了解 周围的世界， 周围的世界应该是学生探索 的源泉 】 将 等差数列求和问题紧密联系 日常生活， 强调情境的生活 化 ， 以便给学生适当联系社会的机会 ， 让学生用数学知 识去了解社会、 解决问题， 使学生
12、切身体会数学来源于 生活， 又服务于生活的数学本质， 从而培养学生数学地 思考问题、 解决问题 ， 在现实生活中寻找和体会到数学 的乐趣 2求和公 式的探索片断 高中数学新课标倡导积极主动、 勇于探索的学习方 式 ， 明确指 出： 教 学 中， 应鼓 励学 生积 极参 与 教学 活动 ， 包括思维的参与和行为的参与 既要有教师的讲授和指 导， 也有学生的自主探索与合作交流 鼓励学生发现数 学的规律和问题解决的途径， 使他们经历知识形成的过 程 为贯彻该理念， 数学教学中要不时开展探究活动 高 师学生对“ 等差数列的前 n项和” 一节关于公式推导的 教学内容， 设计了如下一些探索方案 探索 1
13、( 从高斯算法到倒序相加法) 高斯在计算 1 + 2+3+ +1 0 0时， 用到了等差数 列的一个重要性质： 与首末两项等距离的两项之和都相 等且等于首末两项之和， 即 1 +1 0 0= 2+ 9 9= = 5 0+ 5 1 =1 0 1 ， 然后用配对法求和， 就得到结果5 0 5 0 我们把高斯的这种配对法求 和的方法称 为“ 高斯算 法” ， 而计算 1 + 2+ 3+1 0 0的本质上是求首项为 l ， I 4 十 擞 7( 2 0 0 9 年 第1 1 期- 高 中 版 ) 案例评析 公差为 1的等差数列 前 1 0 0项之和 对于所有等差数列 是 否都能这 样求前 边若干项 之
14、和 呢?实 际上使用 配对 法 固然巧妙 ， 但实际问题 中等差数列 中的项数并非都是 偶数， 若为奇数， 采用配对法必然会多出一项， 因此， 高 斯算法也有些不足 ， 那么对此能否做一些改进 呢? 在等差数列 a 中， 公差为d ， 记等差数列前 n 项和 为|s ， 即S ：a 。 + a + +a 受高斯算法的启发， 我们 可以将配对方 法做一些 微调 ： 将 首项与 末项 、 第 k项 与 倒数第 k 项结合， 分别将与 a 。 ， a ， ， a 结合的各项写 在其下方 将写下的 0 ， a ， ， a 。 加起来， 发现其和仍 为 S ， 即 S =a + a 一 t + + a
15、1 S = a l + a 2 + + a = a I +( a I + d ) + + a l +( n 1 ) d ， S =0 +a 一 I+ 十 a l =a +( 口 一d )+ + a 一 ( n一 1 ) d ， 由 + 得， 2 S = n ( a + a ) ， 故等差数列前 n项和 公式为 S ： d 若将通项公式 a =a 。 +( n一1 ) d代入上述求和公 式 ， 又可得 S ： 眦。 + d ， 这是等差数列前 项和 的第 2个公式 关注上述推导过程， 关键是将每一项的次序倒过来 相加， 我们把这样的方法叫做倒序相加法 此外， ， 两式处 ， 可 以运用 等差数列 的性质 ( 如果 r t + 7, = P+ q ( m， n ， P ， q N ) ， 则有 a + a ：a +a 口 来 推导 ， 而不必 用通项公式逐项展开 ， 不再赘述 点评该过程承接于“ 情境 1 ” ， 点出了“ 高斯算法” 的妙处， 也指出了不足， 同时在此基础上逐步引出了等 差数列求和的重要方法倒序相加法 探索思路曲折 婉转， 层层深入， 对学生创造性思维培养有较大益处 但 本探索过程中， 就如何从“ 高斯算法” 改进到“ 倒序
