基于主问题互动导学研究教学案例.pdf

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1、2 0 1 0 年第 0 5 期 总第 1 7 7 期 教学案例 基于主问题互动导学研究教学案例 周炳华 ( 如东县实验中学， 江苏南通2 2 6 4 0 0 ) 数学课堂教学的展开往往是基于对某些数学问题的探 讨和研究 ，有限的课堂教学时间不能使问题的解决面面俱 到。 因此， 提出一个主问题， 并围绕这个问题循序渐进地展开 教学， 则会起到较好的教学效果。 在一节关于“ 切线的判断与性质” 教研课上， 执教教师借 助于一道课本习题， 从切线的有关知识在同心圆中应用的角 度， 上了一节主问题互动导学研究课。在此之前学生已经学 习了圆、 点和圆的位置关系， 直线和圆的位置关系， 以及切线 的判定

2、和性质、 切线长定理等有关知识， 对解决问题有了一 定的知识基础。 【 教学过程】 1 问题的提 出 请同学们思考课本第 8 8页综合运用第 8题。 如左图， 两 图 1 个圆都 以点 O为圆心 ， 求 证 ： A C = B D。 师 ： 哪个小组 汇报 自己 的研究成果? 生 1 ： 我来汇报 ， 连接 O A ， O C ， O D ， O B 可 证 明 ： AA O C B O D得 A C = B D 师： 你能具体说说怎样 得到这两个三角形全等的? 生 1 ：因为 O A、 O B是 大圆的半径， 所以 O A = O B， LA = B 。 O C ， O D是小 圆的 半径

3、所 以 O C = O D。 LO C B = O D B可得 LO C A = LO D B ， 用 角角边可 以证 明两个 三角形 全等， 从而得出A C = B D ( 如图 1 ) 师： 很好! 请哪位同学说说这个证明过程用了哪些知识? 生 2 ： 主要运用了同圆的半径相等， 等边对等角， 全等三 角形等知识来证明的。 师： 很好! 请同学们进一步思考 ， 这道题有没有其他的证 明方法? ( 大部分同学举手 ， 踊跃发言 。) 生 3 ：过 O点作 O E上A B，垂足为 E，则有 A E = B E， 图 2 C E = D E ，得 A E C E = B E D E， 即 A C

4、 = B D( 如图 2 ) 师： 非常好 ! 这种证法很 简洁， 请问同学们， 这种证明 方法 又用 了哪些知识 ? 生 3 ：运用了我们刚刚 学过的垂径定理。 O E不仅是大圆的弦 A B的弦心距， 又是小 圆的弦 C D的弦心距 。 ( 通过课本上同学们熟知的习题， 引导学生分析， 研究 ， 反思证明的方法， 激活了课堂的气氛， 让所有学生的思维处 于一活动状态。 为下面的变题打下伏笔。) 师： 研究得很好! 现在， 老师把大圆的弦 A B向下平移， 使 A B与小圆相切。则此时 C 、 D两点会出现什么情况? 生 4 ： C 、 D两 点会 向下运 动， 重合成为弦 A B与小圆的切

5、点。 师： 大家说对 吗? 生( 众 ) ： 对 ! 师：若此时的切点为 P ， 这 A 就是我们课本上第 1 0 1 页的第 4题。请同学们研究讨论。此时 A P = B P吗 ?( 如图 3 ) 生 5 ： 连接 O P ， 因为 A B是 小圆的切线。 P为切点， O P为小 圆的半径。所以O P L A B ， 又 A B 为大圆的弦， 所以 A P - B P 。 ( 如图 4 ) A 师：你们是怎样进行研究 的? 图 4 生 5 ( 继续) ： 我们先观察弦 A B与小圆的位置关系， P为切点， 连接过切点的半径 ， 根据 切线的性质定理 。 得 O P _ L A B ， 再观察

6、大圆， 在大圆中， O P则 是 A B的弦心距。 根据垂径定理得出A P = B P 师： 很好 !他们不仅解出了这道题， 而且说出了解题方 法。这类题要求同学们整体把握： 先看小圆， 再看大圆， 运用 切线的有关知识和垂径定理解决问题， 同学们的研究成果很 棒 ! ( 通过把课本第 8 8页的习题进行适当的变化， 演变成课 本第 1 0 1 页的习题 ， 体现了课本知识的连续性， 也反映出教 师对课本习题的整合能力， 引导学生进行知识的迁移， 使学 生既熟知了过去的知识， 又复习了现学的知识。 2 口 题的引申。 提出主问题 变式 l ： 将图 3中的切线增加到两条。 如图： 在以 O为圆

7、 心的两个圆中， 大圆的弦A B、 C D分别切小圆于点 E 、 F ， 问此 时 A B与C D有何数量关系?为什么? ( 学生分小组交流、 讨论 ， 由一个人主发言， 其余同学进 行补充更正， 学生参与的积极性高， 互相交流各 自的想法， 形 4 5 新梭 闭理论般 X i n X ； Y u a n i l J n B a n 教学案例 A 图 5 成本小组的结论。) t 师： 有方法， 有结果的小组同 学请举手。 生 6 ： A B与 C D相等。连接 D 0 E 、O F 、 O A、 O C ( 如图 5 ) ，因为 A B 、 C D切小 圆于 E、 F ， 所 以 O E上 A

8、B、 OF上C D、又 OA = OC。 OE = OF ， 所 以 R T aA E 0 R T C F O，所以 A E = C F ，在 大圆 中 ， O E上A B ， O F上C D ，所 以 A E = I 2 A B ， C F = I 2 C D， 所以 A B = C D。 师： 很好 !你们小组这样做有根据吗? 生6 ： 继续， 有根据。通过观察小圆， A B ， C D是小圆的切 线，且切点为 E 、 F ， 连接 O E、 O F后 ， O E 、 O F是小圆的半 径， 根据切线的性质定理 ， 得到了O E J _ A B ， O F上C D， 再观察 大圆， 发现

9、O E、 O F分别是大圆的弦 A B、 C D的弦心距， 根据 垂径定理得 A E = I 2 A B ， O F = I 2 C D，连接 O A、 O C后 ，发 现 O A 、 O C是大圆的半径相等，而 O E、 O F则是小圆的半径相 等， 根据 H L定理 ， 证明了两个直角三角形全等， 从而证明到 A B与 C D具有相等关系。 师： 分析得很有道理。这些方法正是我们在研究图 3的 过程中所总结出来的 同学们通过 自己的讨论， 解决了这个 问题， 说明同学们对知识的领悟很快。 ( 教师在变题以后，让学生有充裕的时间进行探究、 分 析， 依据已有的经验和知识来解决问题， 鼓励学生

10、大胆发言， 说出自己的想法并与学生进行互动。 突出了解决问题的重要 方法，突破了解题的难点 ，不断地将主问题的引入推向高 潮 。) 变式 2 ： 在上述问题中， 若将 A、 C两点重合为一点， 那么 有如下题目： 在同心圆O中， 大圆的弦 A B、 A D切小圆于点 E、 F ， 还依然有 A B等于 A D吗? 师： 首先请同学们自己画出适合题意的图形。 A 图 6 ( 教师巡视指出个别学生的画 图问题， 并在黑板上画出相应的图 形 ， 注意授课的细节 ， 关注了全体 同学的发展 ； 画图之后， 同学们开 始交 流、 讨论 ) 生 7 ： 依然有 A B = C D 。证明的 方法 与变式

11、1 相同。( 如图 6 ) 连接 O A、 O E 、 O F ， 因为 A B 、 C D是小圆 O 的切线， E 、 F为切点 ，所 以 O E上 A B ， O F上A D， 且 O E = O F ， 所 以 R TAA E O R T A F O， 所 以 A E ， A F ， 又 O E上A B， O F上A D， 所 以 A E = I 2 A B ， A F = I 2 A D ， 所 以 AB - AD 师： 你分析得很好 ， 依据了上一题的经验 ， 请问你们还有 什么不同的方法? 生 8 ( 举手) ： 在小圆中， A B 、 A D是小圆的切线 ， 根据上一 节课学习的

12、切线长定理，会有 A E = A F 。连接 O E、 O F ，则有 O E上A B ， O F 上A D， 所 以有 A E = A B ， A F = A D ， 所 以 A B = A D 。 1 4 6 锣 彤 师： 大家说他分析得对吗?用了哪些知识来解决这个问 题 ? 生( 众) ： 分析得对。 生 9 ：运用了切线长定理和垂径定理等知识来解决问 题 。 师： 好的。还想继续研究嘛? ( 能够让学生运用不同的知识和方法来解决同一个问 题， 体现了一题多解， 培养了学生的发散思维和多角度观察 问题、 解决问题的能力。在知识引领上， 由切线的性质 ， 垂径 定理， 逐步引导得到切线长定

13、理， 使这些知识贯穿成一条线。 生( 众 ) ： 想 ! 变式 3 ： 将上个问题中的两条切线变为一条， 增加一个 条件： 如 图 5 ： 大圆的弦 A B切小 圆于 C ， 且 A B = A D， 那 么 A D 是小圆的切线吗?为什么? ( 学生再次 以小组为单位 ， 合 作讨论， 交流， 教师巡视， 与个别小 组， 个别学生进行交流 ， 引导他们 思考。) 师： 通过讨论、 交流、 有结论的 小组代表发言。 生 l 0 ： ( 如图 7 )过 O点作 O E上A B ， E为垂足 ， 连接 O C ， O A 。 所以A E = D E = A D 因为 A B是小圆O的切线。 c为切

14、点。 所以 O C上A B， A C = B C = A B，所 以 A C = A E ，贝 0 有 R T A C O R T AA E O ， 所 以 _ A C O = _ A E O = 9 0 0 ， 从而 O E上A D， 又 O E是小 圆的半径， 所以A D是小圆的切线。 师： 很好! 反思此题 ， 在证明的过程中应用了哪些知识和 解题技巧? 生 1 1 ： 在证明过程中应用了切线的性质定理， 垂径定理 和全等三角形的知识， 运用的证题技巧是： 要证一条直线与 已知的圆相切 ， 又不知道公共点的位置， 那么应过圆心作直 线的垂线， 得垂线段， 再证明这条垂线段的长等于半径即可

15、。 师： 小结， 反思得非常好。这就是我们平常所说的“ 作垂 直， 证半径” 。 ( 教师在学生反思的基础上适时的加以归纳总结 ， 用最 精炼的语言“ 作垂直， 证半径” 总结出证此类题的技巧， 能使 学生在今后的练习中举一反三，找到类似问题的突破口， 为 课堂主问题 的解决增加了方法 。) 【 教学思考】 在数学课堂教学中， 不对所有的问题进行面面具到的分 析、 研究， 而对某个主问题进行探讨。 这一堂课进行了有益的 尝试。在主问题互动导学研究的过程中， 教者有机地运用了 解题后 的反思和追问。这是 目前教学 中不可多得的手段 ， 通 过对解题思路的再回顾，能够使学生对解决问题的切入点， 手段和方法， 选择最佳的解题方案提供了很好的参照， 形成 了良好的解题能力。 切实提高了教学的有效性。 适时的追问 既点拨了学生的思路， 又激发了学生的思维， 使课堂变得灵 动起来。