《备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题37新信息背景下的数列问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题37新信息背景下的数列问题（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题37 新信息背景下的数列问题 考纲要求:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。基础知识回顾:1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题
2、中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索。（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通
3、用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。应用举例:例1已知数列满足，定义：使乘积为正整数的叫做“简易数”，则在内所有的“简易数”的和为_【答案】4082例2：定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”（1）若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的值（2）若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列解：（1）思路：依题意可知先求出的表达式，再根据表达式的特点寻找到完全平方式即可时， 时，时，是完
4、全平方数 （2）思路：若要观察的前项和是否为完全平方数，则要先求出的通项公式。由可求得当，时， 的前项和即为，所以为“完全平方数列”当时，不是完全平方数不是“完全平方数列”综上所述：时，是“完全平方数列”，时，不是“完全平方数列”（3）思路：依题意可知该等差数列的前项和公式应为完全平方式，由等差数列求和公式出发，可将其通过配方向完全平方式进行靠拢，可得：，所以有，再根据利用整数的特性求解即可。由可令 由令，可得： 代入到可得： 或 当时， 当时， 当时，符合上式综上所述， 例3：已知数列的前项和为，且满足，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其
5、中设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由（2）思路：由（1）可解出，进而可求出，由可在的情况下得到关于的恒成立不等式，从而通过参变分离可求出的范围：，再验证是否成立即可（3）思路：时，可代入求出，从而，利用“指数型和”的定义，可先求出前项和，从而将问题转化为可否写成的形式，本题不便将变形为的形式，所以考虑利用等式转化为方程是否有解的问题。即判断是否有解。，为偶数时，为奇数时，。而只是个2相乘，所以可通过对分解后的每个因式能否表示为的形式进行讨论即可。解：由（1）可得：当时， ，即，为“
6、指数型和”当为奇数时，若为偶数，则为奇数，为奇数为奇数，若为奇数，则为偶数，为个奇数之和也为奇数 当为奇数时，不存在“指数型和”综上所述：只有为“指数型和” 方法、规律归纳:含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题。此类问题有以下几个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”。但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向。三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系，即
7、前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫。但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加。实战演练:1定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 2已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为( )A. 2017 B. 2018 C. D. 【答案】A【解析】由 则则2017项数列 的叠加和 故选A3【安徽省巢湖市柘皋中学2018届高三上学期第三次月考】将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和若，则下列说法中一
8、定正确的是（ ）A. B. 不存在，使得C. 对，且，都有 D. 以上说法都不对【答案】C 4定义为个正数， ， ， 的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 设， 由题意得，可得， 所以时， ； 当， 当时，满足上式，所以数列的通项公式为， 所以，所以，所以，故选C点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式与裂项相消求和，其中解答中涉及到数列中 与的关系，等差数列的通项公式，以及裂项相消求和等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力，解答中正确理解题意，认真审题是解答的关键5【安徽省蒙城县2018
9、届高三上学期“五校”联考】对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和_【答案】 6【宁夏育才中学2018届高三上学期第三次月考】将正整数6分解成两个正整数的乘积有两种形式，其中是这两种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为6的最佳分解形式.当（且）是正整数的最佳分解形式时，我们定义函数，例如.数列的前10项和_.【答案】31 7：若有穷数列满足：（1）；（2），则称该数列为“阶非凡数列”（1）分别写出一个单调递增的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”（2）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式（3）记“阶非凡数列”的前项的和为，求证：
10、解：（1）3阶非凡数列： 4阶非凡数列： （2）思路：首先明确其通项公式应该是关于和序数的表达式，要求得通项公式，关键要确定，因为非常数列的等差数列为单调数列，所以由一方面利用等差数列性质可得到，另一方面也可知该数列以为分界线，左右两侧分为正项与负项（与的符号有关），可分进行讨论。当时，为递增数列，从而可知为负项，为正项。再由可得，从而用可表示出，另一方面，进而均可用表示， 当时，为递减数列，同理可得：， 即 思路一：本题的难点在于不知中各项的符号，但从（1）（2）问可得到一个规律，任意“归化数列”，其正项和为，负项和为，进而可以考虑在求和时正项一组，负项一组进行放缩。解：依题意可得：中的项有
11、正有负设中的正项为，负项为，零项为而（所有系数放大为1）（所有系数变为）思路二：本题从通项公式入手，考虑，从而 8：对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列例如，数列的一个生成数列是已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和（1）写出的所有可能值；（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为（2）思路：本题已知的表达式，可类比在数列中已知求数列通项的方式，得到，计算可得：，由为生成数列可得： ，通过合理组合即可得到：，从而得到通项公式 当时， 当时， 数列为数列的生成数列 若，则以上各种组合中，只有 ，可知为
12、奇数满足且分子为奇数的共有种共有种情况只需证明两个不同的生成数列，其和不同即可设数列为两个不同的生成数列，且和分别记为 则 为生成数列，所以 或 不同，使得 所以种不同的生成数列，其和共有种可能只有种可能可能值必恰为，共个的所有可能值组成的集合为9：有限数列同时满足下列两个条件： 对于任意的（），； 对于任意的（），三个数中至少有一个数是数列中的项.（1）若，且，求的值；（2）证明：不可能是数列中的项；（3）求的最大值（3）思路：本题的主旨在于尽可能构造项数多的，由（2）的证明过程可提供一条线索，当大于1的项超过3项时，则不成立，所以可知中至多有3项，且这3项中两项的乘积等于第三项。同时还可对
13、其进行推广得到中至多有3项，绝对值大于1；然后可将这种思路拓展至其它范围，比如绝对值在0至1之间同理也至多只有3项。再补充上，所以的最大值为，可构造为解：的最大值为，证明如下： （1）令，则符合、. （2）设符合、，则： 中至多有三项，其绝对值大于1.假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，是中绝对值最大的四项，其中.则对有，所以均不是数列中的项，即是数列中的项 10.对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件： 其中.（1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合（3）若是有理数，设 （是整数，是正整数，、互质
14、），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论 （1）思路：按照题目规则可知即为的小数部分，所以只有确定介于哪两个整数之间，才能够求出。由得，由得，进而发现，且计算的过程与计算相同，可猜想（2）思路：由（1）的过程可知本题在计算各项时关键要把握住“”里面数的范围， ，意味着故的范围是本问的关键，由得，所以要对分为进行分类讨论，从而确定的结果，得到关于的方程，求解即可依题意可知 当时， ，解得： 当时， ，解得： 当时， ，解得： 综上所述： 解：该结论成立，证明如下： ，即，为正有理数或0设，则有 ，即 若，则可知，所以当时，均有 洗手，那还不简单。但是，并非每个人都知道正确的洗手方法。我们在数名家长中调查时发现，大多数家长都会叮嘱孩子常洗手，但对于正确的洗手方法和洗手时间的长短，并不太了解。很多家长这样理解洗手：饭前便后要洗手、每次用流动水冲洗等。- 25 -
