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1、B2 流动分析基础,B2.1 描述流体运动的数学方法,拉格朗日法 欧拉法,当地法,B2 流动分析基础,描述方法,随体法,1.分类,2.比较,分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数,表达式复杂 表达式简单,不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布,不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性,拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法,B2 流动分析基础,例B2.1.2 由速度分布求质点轨迹(2-1),求： 在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。,求解一阶常微分方程（a）可得,已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,(a),(b),
2、c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 可确定,例B2.1.2 由速度分布求质点轨迹(2-2),代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为,B2.2 速度场, 速度场是最基本的场,v = v (x, y, z, t ), 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布,二维速度剖面 u u ( x, y),速度分量：,三维速度廓线,B2.2 速度场,B2.2.1 流量与平均速度,单位时间流过面积元dA的体积元，即流量微分为,B2.2.1 流量与平均速度(2-1),B2.2.1 流量与平均速度,封闭曲面时,流量,体积流量,平均速度,体积流量,不可压缩流体质量流量,质量流量,B
3、2.2.1 流量与平均速度(2-2),例B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-1),求：两种速度分布的（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V。,已知:粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布， 一种是抛物线分布,另一种是1/7次幂分布：,上式中um1、um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。,vn )dA =,1 / 7次幂分布的流量为,vn )dA,（2）抛物线分布和1 / 7次幂分布的平均速度分别为,例B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度(2-2),B2.2.2 一维，二维与三维流动,1. 流动维数的确定：,三维流动: 速度场必须表示
4、为三个空间坐标的函数 v = v ( x, y, z),二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数 v = v ( x, y) 或 v = v ( r, z),一维流动: 速度场可表示为一个空间坐标的函数 v = v( x ) 或 v = v ( s ),2. 常用的流动简化形式：,(1) 二维流动：平面流动，,轴对称流动,(2) 一维流动：质点沿曲线的流动 v = v ( s ),流体沿管道的平均速度 V = V ( s ),B2.2.2 一维，二维与三维流动(2-1),用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子，分别定义
5、为,表B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子,3. 直圆管一维流动修正因子,B2.2.2 一维，二维与三维流动(2-2),例B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-1),已知:粘性流体在直圆管（半径R）内作定常流动。圆截面上有两种速度分布， 一种是抛物线分布,另一种是1/7次幂分布：,上式中um1，um2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。,求：（1）关于平均速度的动能修正因子 ； （2）关于平均速度的动量修正因子。,上式中V为平均速度，设= 常数,截面积 A =R2，微元圆环面积 。,，,对抛物线分布,对1/7次幂分布,（2）按单位质量流体的动量计算，动量修正因
6、子定义为,由质量流量定义，,例B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-2),可得,抛物线分布,1/7次幂分布,讨论：将例B2.2.1和本例的结果列表,说明1/7次幂分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取=1，即不必修正。,例B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正因子与动量修正因子(3-3),a. 定常流动,b. 准定常流动,c. 周期性谐波脉动流,d. 周期性非谐波脉动流（生理波）,e. 非周期性脉动流(衰减波）,f. 随机流动（湍流）, 不定常流与定常流的转换,B2.2.3 定常与不定常流动,迹线 流线,定义,拉格朗日法,欧拉法 微分方程,（
7、t为自变量， x, y, z 为t 的函数 ）,质点的运动轨迹,切线与速度方向一致的假想曲线,B2.3 流体运动的几何描述,(x, y, z 为自变量，t为参数）,例B2.3.2A不定常流场的迹线与流线(4-1),求： （1）质点A的迹线方程；,解：此流场属无周期性的不定常流场。,由上两式分别积分可得,已知：设速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点A位于原点。,(1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为,（2）t = 0时刻过原点的流线方程；,（3）t = 1时刻质点A的运动方向。,T = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。质点A的迹线方程为,消去参数
8、 t 可得,上式表明质点A的迹线是一条以（1/2，1）为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。,（2）由流线微分方程式，,积分可得,例B2.3.2A不定常流场的迹线与流线(4-2),在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相应的流线方程为,可得C = 1/4 。,这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。,(3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的 流线方程。由迹线参数式方程(a)可确定，t =1时刻质点 A位于x =3/2，y =1 位置，代入流线方程(b),例B2.3.2A不定常流场的迹线与流线(4-3),t
9、= 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为,x = 2 y1/2 (d),上式是一条与流体质点 A的迹线相切于 （3/2，1）点的斜直线，运动方向为 沿该直线朝 x, y值增大方向。,例B2.3.2A不定常流场的迹线与流线(4-4),流体线,又称 染色线、烟线或条纹线,脉线,时间线,某时刻标记的一串相连的 质点连线,B2.3.34 脉线与流体线,例B2.3.3不定常流场的迹线与脉线(3-1),解：此流场是周期性变化的不定常流动。设t = 0时刻起，每隔1s从坐 标原点出发的质点依次编号为a, b, c, d, e, f，每过6s重复循环一次。 将每个质点每隔1s的位置数据列表如下，每行的数据构
10、成每个质 点的迹线，每栏的数据构成每一时刻的脉线。,求： 试画出 （1）0-6s内每隔1s从坐标原点出发的迹线；,（2）7-12s内每隔1s的时刻从坐标原点发出的脉线。,例B2.3.3不定常流场的迹线与脉线(3-2),在不定常流场中从某点发出的脉线形状在不同时刻可以不同。本例中 在7-12s内的每一瞬时的脉线均不相同，但在下一个6秒内重复出现。,例B2.3.3不定常流场的迹线与脉线(3-3),(a)中分别为质点a, b, c, d, e, f 的迹线(0-6s) ，随时间增长不断延伸；,(b)为从原点每隔1s时刻(7-12s) 流出的不同质点在每一瞬时连成的线 （以后重复循环），即从坐标原点发
11、出的脉线。,流管： 流线围成的管子,流束： 流管内的流体,缓变流流束：流线平行或接近平行,微元流束：有限截面无限小的流束,总流：微元流束的总和,在有效截面上取平均值，按一维流动处理,B2.3.5 流管，流束与总流,B2.4 流体质点的随体导数,质点导数：质点物理量随时间的总变化率,质点p 的位置随时间变化，其物理量B为,Bp = Bp xp ( t ), yp ( t ), zp ( t ), t ,(1)质点导数的欧拉表达式,(2)质点导数的物理意义,为固定点上物理量B 随时间变化率，称为当地变化率， 反映流场的不定常性。,为迁移到不同位置由物理量的差异引起的变化率，称为 迁移变化率，反映流
12、场的不均匀性。,B2.4 流体质点的随体导数,B2.4.1 质点导数,B2.4.2 加速度场,1. 三维流动,取 ，速度的质点导数为加速度,2. 一维流动,(1)沿流线s，v = v(s,t),(2)沿总流s，V = V(s,t),B2.4.2 加速度场,分量式,例B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度(3-1),已知：图示一圆锥形收缩喷管。长为36 cm，底部与顶部直径分别为 d0= 9 cm，d3 = 3 cm，恒定流量Q = 0.02 m 3 / s。,解：设流动方向为x轴，原点在圆锥底部。喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁移加速度。按一维流动式计算,求：按一维流动计算图示四个截面A
13、0 ，A1 ，A2，A3上的加速度。,V为管截面上平均速度。设截面与底部的距离为x，面积A与x的关系为,任一截面上的平均速度和加速度为,计算结果如下表,例B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度(3-2),速度与加速度的变化曲线如图所示,例B2.4.2收缩喷管流动：迁移加速度(3-3),B2.5 一点邻域内相对运动分析,B2.5.1 亥姆霍兹速度分解定理,在 xy 平面流场中，M0 点邻近 M 点 的速度在 x 方向的分量可分解为,B2.5.1 亥姆霍兹速度分解定理,B2.5.2 流体的变形,1.线变形（以平面流动为例）,(2)面积扩张率：面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率,(3)体积膨胀率
14、：体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率,B2.5.2 流体的变形(2-1),(1)线应变率：线元在 x 方向的局部瞬时相对伸长速率,例B2.5.2膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-1),解：(1)按流线微分方程式，因v =0得dy = 0， 积分可得流线方程为,已知：设平面流场为 （k 0，为常数）,说明流线是平行于x轴的直线族。线应变率为,求：（1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；,y = C ( C为常数 ),（2）设k =1,t =0时刻边长为1的正方形流体面abcd位于图中所示 位置,求 t = t 时刻点a(1,3)到达点a(3,3)时流体面abcd 的位置和形状。,说明x方向
15、的线元以恒速率k 伸长，y方向的线元长度保持不变。 面积扩张率为,说明面元的瞬时面积相对扩张率为常数。任何单位面积的流体面均以 恒速率k 扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k 0时为收缩流）。,（2）设 t = 0时，质点位于M（x, y），t = t 时位于M (x， y )。 按（B2.3.2a）式求质点轨迹方程,例B2.5.2膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-2),abcd 和abcd 四角点的坐标分别为 a( 1, 3)， b( 2, 3)， c( 2, 4)， d( 1, 4)， a( 3, 3)， b(6, 3)，c(6, 4) ， d(3, 4)，,例B2.5.2膨胀流动：线应变率与面积扩张率(3-3),设k =1，由点a和a，x/x = 3，即x=3x，y=y，因此M(x,y) =(3x,y)。,abcd 的位置和形状如下图中虚线所示，说明从 t =0到t =t，流体面 在x方向扩张了3倍.,两正交线元的夹角在 xy 平面内的局部瞬时变化速率, 涡量（三维流场）,2.角变形速率,平面运动演示,B2.5.2 流体的变形(2-2),例B2.5.3线性剪切流：角变形率与旋转角速度(2-1
