《在固定图形中解决向量的数量积问题——高三数学专题复习课教学案例.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《在固定图形中解决向量的数量积问题——高三数学专题复习课教学案例.pdf（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、X 2 0 1 3 年第 1 2 期 。 考讽荣 峪 tttt ttt 在 固 l古 I 日 - 习 ， j ) j ) j ) | ) | ) | ) | ， ， ) j 一 、教 材 与 考 纲 分 析 平面向量数量积是 平 面 向量 一章 中 的重要 内容 ， 是 高 中 数学 多个知识的交汇点 ， 也是高考重点考 查 的知识 向量 集数 与形 于一身 ， 它 与 生俱 来 就是 数 形结 合 的 ， 既 是代 数 研究 对 象 ， 又是几何研究对象 ； 既可 以进行运 算 ， 又可 以图形表示 ， 从 它 的这 种特殊性质上决 定 了向量 的数量 积 的解题 方法 ， 一方 面可 以在
2、图形中研究 ， 一方 面可 以在 坐标 系 中将几何 问题 代 数 化 来 解 决 二 、 教 学 目标 1 掌握在 固定 图形 中解 决数 量 积 的有 关 问题 的解 题 方 法 ， 方法一利用平面 向量基 本定 理往 已知 向量转化 ； 方法 二是 适 当建立平 面直 角坐标系 ， 将 几何问题代数化 ； 2 培养学生基本 的数 学思 想方 法 ， 培养 学生 转化 与划 归 的 能 力 ； 3 通过本节课 的研究 ， 让学生对 此类 问题 有解题 的共识 ， 有基本 的解题方法 与解题 方 向， 并 能过 针对 每一 步 的转 化 突 破难点 ， 成 功的解 决这一类 问题 ； 4 强
3、调一题 多解 ， 培养高三学生 多角度思考问题 的能力 三 、 教 学 难 点 1 方法一 中的往 已知 向量转 化 的方法 ， 难点在 要正 确 的 选 择基底 ， 从 而实 现未知向量转化 到已选 取的基底上来 ； 2 方法二 中建立 坐 标 系一 是要 针 对 问题 建 立适 当 坐标 系 ， 更重要 的是将点 坐标正确表示 出来 ， 才能成 功将 问题 转化 为代数 问题 ； 3 多角度思考问题 四 、 教 学 过 程 展 示 ( 一) 课前 练习 ： 1 AAB C 中， AB一 2 ， AC一 1 ， D 是 B C 中点 ， 则 一 2 A ABC 中 ， AB一 2 ， AC=
4、 1 ， D 是 BC 边 上 中 垂 线 上 的 任意点 ， 则 一 3 直角AA B C中， A一9 0 。 ， A B =6 ， c- - 52 魂 ， 则 一 4 边长为 1 的正A B c中， 一2 商 ， 一3 蔬 ， 则 砣 一 师 ： 请 同 学 们 交 流 下 你 们 解 决 这 几 个 题 的 方 法 有 哪 些 ? ttt tttt tt 题 ) j ) j ) j ) j ) j )j ) j 卜) j 计算并讨论 5 分钟 ， 学生说用平面 向量 基本定理 ， 有人说 建系 ， 师总结 ： 首先我们发现这些题都是 在固定给 出的图形 中 解决 向量的数量积 问题 ，
5、其次 同学们 指 出的两种方 法就是 我 们解决这类 问题 的主要 方法 ， 也 就是 我们这 堂课要 研究 的重 点 内容 ， 在 固定 图形 中解 决向量的数量积 问题 下 面我们来 细 节 的探讨下每种解题方法 中的重点 与难点 ( 二 ) 例题展示 1 AB C中 ， B AC 一1 2 0 。 ， AB一2 ， AC一1 ， D是 B C边 上 的一点， 商 一2 魂 ， 则 赢 一 师 ： 方法一用平 面向量 的基本定理 解决要找 准基底 ， 请 问 你把谁作为基底 ， 为什 么? 生： 向量蕊 、 ， 他们的长度和夹角都已知 师： 请你表示一下 、 蔚 生： 一 + ， 葡 一
6、一 O 0 师板演 解题 过 程 ， 并 加 以点 评 ： 此 处 选 取 基 底 的 原 则 是抓住 已知 向量 ， 正确 转 化 未 知 向量 到 已知 向量 上 来 ， 切 忌无原 则 的无方 向 的不停 转 化 向量 ， 并且 注意 计 算 中的 细 节问题 ， 如 向量 的夹 角 与 三 角 形 内角 的关 系 ， 确 保 会 做 能 够做对 师 ： 下面我们用建立坐标系的方法来解 决此题 ， 请 同学到 黑板适 当建立坐标 系 如 图 ： 师 ： 请 问 D点坐标怎么求? 生 ： A(0 ， 0 ) B(2， 0) c ( 一 1 ， ) 利 用 一 2 硫 求 图 1 教师板书并
7、且点评 ： 用 建立 坐标 系的方法 求解 此类 问题 的关键在于正确求解点 的坐标 ， 将 问题 代数化 ， 其 中求解点 坐 标可以根据题意待定系 数求解 如此 题 ， 或者构 建二 元方程 组 求解 通过本题我们发现在固定图形 中解决 向量 问题的两种解 题方 法 ， 知晓每种问题 的优点 与难点 ， 在解题 中根据题意请 你 适 当的选 取合 适的方法求解此类问题 下面请 同学们 完成以下练习 ， 并请 4名 同学 到黑 板板书 教师点评 学生 的书写 中学生数理亿 掌研版 ， 山 I I I口 2 0 1 3年 第 1 2期 反馈练 习： 练 习 ：1如 图 2 ，ABC 中， A
8、D上A B ， 一 商 ， l l 一1 ， 则 一 8 2 在 正 ABC 中 ， P 在 AB 上， =A盔 ， 一 商 ， 则 A的值 ( 二 ) 例 题 展 示 2： 已知 O 是 ABC 的 外 心 ， AB A- O +v ( x y o ) D 图 2 时候 ， 用好 三角形外接 圆这个 条件 ， 中垂线 解 圆心 ， 要有 代数 的思维去解几何问题 师 ： 此题 还有其他 的解 法 ， 下面我们再 看看该题 的更简单 的解法 ， 从 +2 y =1 人手 ， 根据平 面向量基本定理我若取 AC 的 中点 D， 会 有什么结 果? 生： 一 +y a- -O 可以变形厕一 +2
9、a- -3； 师 ： 非常好 ， 此处变形后 同学们有什 么结论 ? 生 ： 0、 B、 D三点共线 2 ， AC一3 ， 3 2 +2 y：1 ， 若 则 C O S BAC一 分析 ： 此题在向量的问题中属于 中档偏上 的题 目， 解题方 法还是基本 的两种 ， 但是每一种都有它的难点 ， 比如 用平 面向 量基本 定理 构建 方程的时候 用好 外心 这个条 件 ； 在建 立坐 标 系的时候题 目中没有 明显 的直角 模型 ， 需要 学生 在转 化过 程 能够 正确表示 出各点坐标 教学过程如下 ： 师 ： 请 问对于三角形外心这个条件如何应 用? 生 ： 中垂线 的焦点 ； 生 ： O
10、A、 oB、 0 C都是半径都相等 ； 师 ： 如何利用 中垂线 呢?如何利用半 径都相等呢? 思考并演算 5分钟 师 ： 请同学们说一下你的解题思路 ； 生： X , A-b= + 式子进行平方； 教师 同时板演过程 ： 一 2 蕊 。 +v z z +2 -T v R。 一 4 x + 9 y 。 + 1 2 x y c o s BAC 师 ： 构造 了一个关于半径 的方程 ， 请 问还可 以再构造 吗? 生： 对A- 5一 +y 式 子进 行变 形， 变 成 一 盈 +( 1 ) ， 再平方 师 ： 请 同学们 在 下面 仿 照黑 板 的过 程演 算下 ， 看 能 不能 求 解 0 过
11、5分钟对答案_ o 师 ： 还有没有其他解法? 生 ： 以 A点为坐标原点建立坐标系 教 师同时板演 师 ： 请 问 B点坐标怎么表示? 生 ： ( 2 c o s BAC， 2 s i n BAC) 师 ： 如 何 利 用 = + A 这个 条件转 化为 坐标 呢?其 总 O点 的坐标 能否求 解呢? 生 ： 可 以 ， 利用 三 角形 外接 圆 圆心是 中垂线 的交点求解 ， 横坐标 0 很容易解得 ； ( A c 图 3 教师 在 黑 板 构 建 方 程 板 演 过 程 。 c(】s B A c + 。 号 【 + 2 一1 解得 C O S B AC - 并且点评 ： 此题在求解 B点
12、 坐标 时， 不是 直接 解 出结果 ， 而是用未知量表示 ， 即转化到所求 的问题上 来 ； 在 利用 圆心的 师 ： 如 图 4 点 0 落 在 了 A C 的 中 线 BD 上 ， 说 明 BD 不 仅 平 分 AC， 并 且 和 AC垂直 ， 所以我们可 以直接求 解 出 A 的正 弦， 再利 用 二倍 角 公式 图 4 C 求解 C O S B AC =_ o 请 同学们 在下 面尝试下 ( 三) 思考反馈 在直 角AB C中 ， A一9 0 。 ， B C=口 ， 长为 2 “的线段 PQ 以A 为 中点 ， 与赢 的夹角取何值使得茚 的值最大， 并求出这 个最 大值 下面给出学生
13、在课堂 的书 写过程 ： 幻 灯片 展示并 且请 该 生讲 评解 题思路 方 法 一 ： 碎 一( 荫 + ) ( 一 ) 一赢 确 一 + 一 一 砣 一n 2 一n 2 c o s 一n 2 当c 0 s 一1 ， 0 =0 ， 碎 一0 、f ， 方 法 二 ： 建 系 ： AC= b， AB= f， A( 0， 0 )B( C， O) C( 0， 6) P( x， ) 碎 一一( + ) +c b 一 +f b c os 0 碎 砣 一 2C 3 2 - 2 b 丽一 一 ， 2 f 一 2 6 = n c o s 0 C O S 0 1 ， BP C Q 一 0 ( 四 ) 小 结
14、本 节课 的教 学 设 计 的 主要 想 法 就 是 针 对 高 考 题 目 中 的一类 问题 ， 给 出固定 的 图形让 学 生 解决 有 关 向量 的 一 系 列 问题 ， 是高 考 考查 的热 点 ， 在 各 地 的高 考 试 卷 中都 有 涉 及 ， 难 度一 般 中档左 右 ， 着 重考 查 “ 双基 是 学 生必 须 要 掌 握 的内容 而根 据平 时 的练 习我 发现 有 些 同 学在 解 决 这 类 题 的时候 没有 一 个 方 向 ， 比 如 ， 利 用 平 面 向 量 基 本 定 理 的 时候 他往 往不 能 正确 的选择 基 底 ， 而是 不 停 的 没有 方 向 的 转
15、 化 向量 ， 关键 问题 在 于没 有抓 住 已知 向量 来 表示 未知 向 量 ， 导致 解题思 路 不 清 ， 遇 到 稍 微 复 杂 的 题 目就 转 化 不 出 来 了 ； 再 比如 有 的 同学 他 解 决 此 类 问 题 的 方 法 就 一 直 建 系 ， 我们 要让 学生 看 到 ， 建 系有 它 的优 点 和缺 点 ， 有 的 时候 会 将 问题 变复 杂 ， 并且 还要 求建 系的 同 学有 良好 的 解 析 几 何 的能力 本节 课 把 两 种方 法 尽 量 展 示 ， 让 学 生 明 白 每 种 方法 的难 点与 道理 所在 ， 以期 学 生独 立 面对 此 类 问题 时 能 够选 择更 好 的方法 ， 更快 更准 的解 答 作者单位 ： 江苏省南京市第三 高级 中学 中学生数理他 掌研版
