《初中数学竞赛专题复习第四篇 组合 第25章 染色问题试题 新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛专题复习第四篇 组合 第25章 染色问题试题 新人教版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第25章 染色问题25.1.1圆周上等间距地分布着27个点，它们被分别染为黑色或白色今知其中任何2个黑点之间至少间隔2个点证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点解析我们将27个点依次编号，易知它们一共可以形成9个正三角形 (1，10，19)，(2，11，20)，(9，18，27)由染色规则知，其中至多有9个黑点如果黑点不多于8个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色如果黑点恰有9个，那么由染色规则知，它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色2512某班有50位学生，男女各占一半，他们围成一圈席地而坐开营火晚会求证：必能找到一位两旁都是女生的学
2、生解析将50个座位相间地涂成黑白两色，假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生否则一定存在两相邻的涂有黑色标记的座位，其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾同理，25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人，与题设相矛盾故命题得证25.1.3在线段的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入个分点，在各个分点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为个不重叠的小线段，这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段求证：标准线段的个数是奇数设最后一个标准线段为若，则仅有一个标准线段，命题显然成立；
3、若，由、不同色，则必与同色，不妨设与均为红色，那么在和之间若有一红蓝的标准线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则不能为红色，所以在和之间，红蓝和蓝红的标准线段就成对出现，即和之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准线段，所以，和之间的标准线段的个数是奇数2514能否用面积为的一些长方块将的棋盘覆盖?解析如图中标上14这些数，显然每个14的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖，则1、2、3、4应一样多，但1有25个，2则有26个，矛盾!因此不能覆盖1234123512234123412334123412344123412341123412341223412341233412341
4、23441234123411234123412234123412325.1.512个红球和12个蓝球排成一行，证明：必有相邻的6个球三红三蓝解析将这些球标上数字，红球标1，而蓝球则标上，于是问题变为：必定有6个相邻的球其标数之和为记从第个球起的6个数字和为，于是可取1，2，19易知的全部取值为、0、2、4、6，且或2(可以认为以2或、0的步长“连续”变化)由，知若四数中有0，则结论成立，否则必有正有负不妨设，1，7，13，19，于是必存在一个，在与之间，2516如图，把正方体形的房子分割成27个相等的小房间，每相邻(即有公共面)两个房间都有门相通，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个
5、小房问走到与它相邻的小房间中的任何一问去如果要求甲虫只能走到每个小房间一次，那么甲虫能走遍所有的小房间吗?解析 甲虫不能走遍所有的小房间我们如右图将正方体分割成27个小正方体(每个小正方体表示一问房间)，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色故它走26步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体因此在26步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次由此可见，如果要求甲虫到每一个小房间只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小房间25.1.7
6、3行9列共27个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色试证：无论如何涂法，其中至少有两列，它们的涂色方式完全一样解析 第一行的9个方格中必有5格同色(抽屉原理)，不妨设这5个方格位于前五个位置，且都为红色下面考虑前五列构成的35小矩形第二行的五格中必有3格是同色的，不妨设这三格位于前三个位置接着考虑前三列构成的33方阵，该方阵前两行的每列完全一样对第三行，用两种颜色染色时，三列中必有两列同色，不妨设是前两列此时前两列的涂色方式完全一样红红红红红25.1.8如图()，是由14个大小相同的正方形组成的图形，证明：不论如何用剪刀沿着图中直线进行剪裁，总剪不出七个由相邻两个小正方形组成的矩形来解析 如图(
7、)涂色若有一种剪法能剪出七个相邻两个小正方形组成的矩形，则每个矩形一定由一个涂色小正方形和一个不涂色小正方形构成因此，应该有七个涂色小正方形和七个不涂色的小正方形但图中有八个涂色小正方形，六个不涂色小正方形，因此适合题意的剪法不存在25.1.9在88的国际象棋棋盘中的每个方格都填上一个整数，现任挑选33或44的正方形，将其中每个数加1，称为一次操作，问是否能经过有限次操作，一定可以让方格中的所有整数均被10整除?解析 按图中选择小方格涂黑，易见每个33或44都包含偶数个小黑格，这些小黑格中原来数字之和是奇数的话，那么操作一次后，数字和仍是奇数，因此不能得到最后均被10整除答案是不一定25.1.
8、1044的方格表中最多选择几个格子涂黑，使得不存在4个黑格的中心是一个矩形的顶点?解析 如图，涂9格，无所求矩形，下证若涂10格，则会出现所求矩形这是因为若有一行全部涂黑，则余下的行中必有一行至少涂黑2格，此时便有所求矩形出现于是每行黑格数不到4个，必有两行各包含3个黑格，此时不难看出有所求矩形出现，因此最多选择9格25.4.11在88的国际象棋棋盘中剪去哪个小方格，使得剩下的小方格可以被13的矩形覆盖?解析 剪去左上角的方格后，棋盘不能用21个31的矩形覆盖为了证明这一点，我们将棋盘涂上三种颜色，涂法如图，其中数字1、2、3分别表示第一、二、三种颜色如果能用21个31矩形将剪去左上角的棋盘覆
9、盖，那么每个31的矩形盖住第一、二、三种颜色的方格各1个，从而21个31的矩形盖住第一、二、三种颜色的方格各21个，然而棋盘(剪去左上角后)却有第一种颜色的方格20个，第二种颜色的方格22个，第三种颜色的方格21个因此，剪去左上角的棋盘无法用21个31的矩形覆盖由此可见，如果剪去一个方格后，棋盘能用21个31的矩形覆盖，那么剪去的方格一定是图中涂第二种颜色的方格但是，剪去图中涂第二种颜色的一个方格后，仍然不能保证一定能用21个31的矩形覆盖，比如说，剪去图中第一行第2个方格后不能用21个31的矩形覆盖，这是由于棋盘的对称性，剪去这个方格与剪去第一行第7个(涂第一种颜色的)方格(或剪去第八行第2
10、个涂第三种颜色的方格)所剩下的棋盘完全相同1231231223123123312312311231231223123123312312311231231223123123于是，只有剪去第三行第3个、第三行第6个、第六行第3个、第六行第6个这四个方格中的某一个，剩下的棋盘才有可能用21个31的矩形覆盖不难验证这时确实能够覆盖25.1.12求证：只用22及33的两种瓷砖不能恰好铺盖2323的正方形地面解析 将2323的正方形地面中第1、4、7、10、13、16、19、22列中的小方格全染成黑色，剩下的小方格全染成白色，于是白色的小方格的个数为1523，这是奇数因为每块22瓷砖总是盖住二黑格和二白格
11、或者盖住四白格，每块33瓷砖总是盖住三黑格和六白格，故无论多少22及33的瓷砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住2315个白格，所以，只用22及33的瓷砖不能盖住2323的地面123412342341234134123412412341231234123423412341341234124123412325.1.13求证：用15块大小是14的矩形瓷砖和1块大小是22的正方形瓷砖，不能恰好铺盖88的正方形地面解析 把88的正方形地面上64个小方格依次赋值1、2、3、4如图无论14的矩形瓷砖怎样盖在图中所示的地面上，每块l4的矩形瓷砖恰好盖住赋有1、2、3、4的小方块各1个，可见15块14的矩形
12、瓷砖恰好盖住赋有1、2、3、4的小方格各15个，而一块22的正方形瓷砖无论盖在何处，只有如下四种情形之一：这就是说，22的正方形瓷砖所盖住的4个小方块中，必有两个小方块有相同数码由此可见，如果15块14，1块22的瓷砖恰好能铺盖88的正方形地面，那么这64个小方块中，某一种赋值的小方块应有17块，但实际上，赋值1、2、3、4的小方块各16块，矛盾25.1.1477的方格表中有19个方格涂成红色，称一行或一列是红色的如果该行或该列中至少有4个红格问该方格表中最多有多少个红色的行和列?解析 首先我们指出红色的行和列不多于8个若不然，红色的行和列至少9个，则其中必有5个红行或红列，不妨设为前者由于每
13、个红行中至少有4个红格，故知表中至少有20个红格此与已知条件矛盾其次，当我们将表格中的某个44的正方形的16个方格全部涂红时，便得到4个红行和4个红列，共8个这表明有19个红格时，确可使红行与红列的个数达到8所以最大值为825.1.15如图是由4个l1方格组成的形纸片，如果一个方格的棋盘能被若干个形纸片无重复地覆盖，试证：是8的倍数解析 设棋盘由个形纸片所覆盖，而形是由4个11小方格所组成，则可令由此得出、中至少有一个偶数，不失一般性，可令为偶数，即共有偶数列现在对“列”进行黑、白交替染色，可得黑、白格各共有个易见每个形纸片无论怎样配置，总是盖住奇数个黑格今共有个黑格，因此必须有偶数个形，从而证得是8的倍数25.1.16在88的方格棋盘上最多能放多少个马，它们互不相吃(假定有足够多的马)?解析 我们将棋盘相间染成黑白二色，则黑格与白格各32个按马的走法(如图)知，黑格上的马只能吃白格上的马，因此，将所有黑格都放马，它们是互不相吃的这就是说，我们可以放32个马，它们互不相吃现证任意放33个马必有被吃的情形事实上，将棋盘划分为8个24的小棋盘，则至少有一个小棋盘要放5个马，其放法只有两种可能：要么一排放1个，另一排放4个；要么一排放2个，另一排放3个显然这两种放法都不可避免地发生互相“残杀”
