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1、1,Email: yc517922,图论及其应用,任课教师：杨春,数学科学学院,2,本次课主要内容,(一)、哈密尔顿图的概念,(二)、性质与判定,哈密尔顿图,3,1、背景,(一)、哈密尔顿图的概念,1857年， 哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。,4,哈密尔顿(1805-1865),爱尔兰数学家。个人生活很不幸，但兴趣广泛：诗歌、光学、天文学和数学无所不能。他
2、的主要贡献是在代数领域，发现了四元数(第一个非交换代数)，他认为数学是最美丽的花朵。,哈密尔顿把该游戏以25英镑的价格买给了J.Jacques and Sons公司 (该公司如今以制造国际象棋设备而著名) ，1859年获得专利权。但商业运作失败了。,该游戏促使人们思考点线连接的图的结构特征。这就是图论历史上著名的哈密尔顿问题。,2、哈密尔顿图与哈密尔顿路,定义1 如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。所经过的闭途径是G的一个生成圈，称为G的哈密尔顿圈。,5,例1、正十二面体是H图。,6,例2 下图G是非H图。,证明：因为在G中，边uv是割边，所以它不
3、在G的任意圈上，于是u与v不能在G的同一个圈上。故G不存在包括所有顶点的圈，即G是非H图。,定义2 如果存在经过G的每个顶点恰好一次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。,7,(二)、性质与判定,1、性质,定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任一非空顶点子集S，有：,证明：G是H图，设C是G的H圈。则对V(G)的任意非空子集S, 容易知道:,所以，有：,8,注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满足时，可断定对应图是非H图。,例3 求证下图是非H图。,证明：取S=2, 7, 6,则有：,所以由定理1知，G为非H图。,9,注意：满足定理1不等式的图不一定是H图。,例如：著名的彼
4、德森图是非H图，但它满足定理1的不等式。,彼得森(1839-1910)，丹麦哥本哈根大学数学教授。家境贫寒，因此而辍过学。但19岁就出版了关于对数的专著。他作过中学教师，32岁获哥本哈根大学数学博士学位，然后一直在该大学作数学教授。,10,彼得森是一位出色的名教师。他讲课遇到推理困难时，总是说：“这是显而易见的”，并让学生自己查阅他的著作。同时，他是一位有经验的作家，论述问题很形象，讲究形式的优雅。,1891年，彼得森发表了一篇奠定他图论历史地位的长达28页的论文。这篇文章被公认是第一篇包含图论基本结论的文章。同时也是第一次在文章中使用“图”术语。,1898年，彼得森又发表了一篇只有3页的论文
5、，在这篇文章中，为举反例构造了著名的彼得森图。,11,2、判定,图的H性判定是NP-困难问题。到目前为止，有关的定理有300多个，但没有一个是理想的。拓展H图的实用特征仍然被图论领域认为是重大而没有解决的问题。,图的哈密尔顿问题和四色问题被谓为挑战图论领域150年智力极限的总和。三位数学“诺奖”获得者Erds、Whitney 、 Lovsz 以及Dirac、Ore等在哈密尔顿问题上有过杰出贡献。,下面，介绍几个著名的定理。,12,定理2 (充分条件) 对于n3的单图G，如果G中有：,那么G是H图。,证明: 若不然，设G是一个满足定理条件的极大非H简单图。显然G不能是完全图，否则，G是H图。,于
6、是，可以在G中任意取两个不相邻顶点u与v。考虑图G + u v，由G的极大性，G+ u v是H图。且G+ u v的每一个H圈必然包含边u v。,13,所以，在G中存在起点为u而终点为v的H路P。,不失一般性，设起点为u而终点为v的H路P为：,令：,14,对于S与T, 显然，,另一方面：可以证明：,所以：,否则，设,那么，由,由,这样在G中有H圈，与假设矛盾！,15,于是：,这与已知 矛盾！,注：该定理是数学家 Dirac在1952年得到的。该定理被认为是H问题的划时代奠基性成果。,Dirac曾经是丹麦奥尔胡斯大学知名教授，杰出的数学研究者。其父亲(继父)是在量子力学中做出卓越贡献的物理学家狄拉
7、克，1933年获诺贝尔物理学奖。Dirac发表关于H问题论文39篇。他1952年的定理将永载史册！,16,1960年，美国耶鲁大学数学家奥勒（Ore）院士考察不相邻两点度和情况，弱化了Dirac条件 ，得到一个光耀千秋的结果。,Ore发表关于H问题论文59篇。,定理3 (充分条件) 对于n3的单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，有：,那么，G是H图。,注: (1) 该定理证明和定理2可以完全一致！,(2) 该定理的条件是紧的。例如：设G是由Kk+1的一个顶点和另一个Kk+1的一个顶点重合得到的图，那么对于G,17,的任意两个不相邻顶点u与v，有：,但G是非H图。,1976年，牛津大学的
8、图论大师Bondy(帮迪)等在Ore定理基础上，得到图G和它的闭包间的同哈密尔顿性。,注：帮迪的书图论及其应用是一本经典必读教材。有中译本和习题解答。吴望祖译 。,18,引理1 对于单图G，如果G中有两个不相邻顶点u与v，满足：,那么G是H图当且仅当G + u v是H图。,证明：“必要性” 显然。,“充分性”,若不然，设G是非H图，那么G+uv的每个H圈必然经过边uv, 于是G含有一条哈密尔顿(u ,v)路。,19,与定理2的证明相同，可推出：,定义3 在n阶单图中，若对d (u) + d (v) n 的任意一对顶点u与v，均有u a dj v , 则称G是闭图。,引理2 若G1和G2是同一个
9、点集V的两个闭图，则G=G1G2是闭图。,这与条件矛盾！,证明：任取u, vV(G1 G2)，如果有：,易知：,20,因G1与G2都是闭图，所以u与v在G1与G2中都邻接，所以，在G中也邻接。故G是闭图。,注：G1与G2都是闭图，它们的并不一定是闭图。,例如：,尽管G1与G2是闭图，但其并不是闭图！,21,定义4 称 是图G的闭包，如果它是包含G的极小闭图。,注：如果G本身是闭图，则其闭包是它本身；如果G不是闭图，则由定义可以通过在度和大于等于n的不相邻顶点对间加边来构造G的闭图。例如：,22,引理3 图G的闭包是唯一的。,证明：设 和 是图G的两个闭包，则：,所以，有：,又由引理2知， 是闭
10、图，且,有：,同理：,所以，,23,定理4(帮迪闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。,证明：“必要性”显然。,“充分性” ：假设G的闭包是H图，我们证明G是H图。,假设G的闭包和G相同，结论显然。,若不然，设ei (1ik)是为构造G的闭包而添加的所有边，由引理1，G是H图当且仅当G+e1是H图， G+e1是H图当且仅当G+e1+e2是H图, 反复应用引理1，可以得到定理结论。,由于完全图一定是H图，所以由闭包定理有：,推论1：设G是n3的单图，若G的闭包是完全图，则G是H图。,24,由闭包定理也可以推出Dirac和Ore定理：,推论1：设G是n3的单图。,(1) 若(G)n/2,则
11、G是H图(Dirac定理);,(2) 若对于G中任意不相邻顶点u与v，都有d(u)+d(v)n,则G是H图.(Ore定理),在闭包定理的基础上，Chvtal和帮迪进一步得到图的H性的度序列判定法。,定理5(Chvtal度序列判定法) 设简单图G的度序列是(d1,d2,dn), 这里，d1d2dn,并且n3.若对任意的mm,或有dn-m n-m,则G是H图。,萨瓦达定理的证明方法：证G的闭包是完全图。,25,证明：如果G的闭包是Kn，则G是H图。,否则，设u与v是G的闭包中不相邻接的且度和最大的两点，又假设：,由于 是闭图，u与v 是其中不邻接顶点，所以：,于是，若取 ，则,对于这个m, 由于：
12、,所以在G的闭包中至少有m个点与v不邻接。,26,由u与v的取法知：与v不邻接的m个点中，u的度数最大。这就意味着：G中至少有m个点的度数不大于m,即：,另一方面，由m的选取，G的闭包中有n-1-m个点与u不相邻接。而这些点中，v的度最大。这意味着：在G的闭包中有n-1-m个与u不邻接的点的度数小于等于v的度数。,但是，由：,以及u的度数不超过v的度数假设，G的闭包中至少有n-m个点的度不超过n-m,从而在G中至少有n-m个点的度数严格小于n-m,即：,27,例4 求证下图是H图。,证明：在G中有：,因n=9,所以，m=1,2,3,4,28,所以，由度序列判定法，G是H图。,注 ：哈密尔顿图研
13、究简介,哈密尔顿问题的研究一直是图论热点。研究历史大致情况如下：,(1) 1952年Dirac定理是研究的奠基性结果；,(2) 1962年Ore定理是Dirac定理的重要推进；,(3) 1976年帮迪的闭包定理是Ore定理的重要推进；,(4) 1985年时任剑桥大学兼伦敦大学教授的Nicos在弱化Ore定理条件基础上推进了Ore定理；,(5) 1996年GSU计算机系五个特聘教授之一的Chen和SCI 杂志图论杂志编委Egawa及SCI杂志图论与组合主编 Saito等再进一步推进Ore定理。,29,(6) 2007年, 赖虹建教授统一上面全部结果(见美国Appl.Math.Lett.),似已是珠峰之极.,值得一提的是，福州大学的 范更华教授对H问题的研究也取得重要成就，他得出“范定理”：,范定理：若图中每对距离为2的点中有一点的度数至少是 图的点数的一半，则该图存在哈密尔顿圈。,该成果获得中国2005年度国家自然科学二等奖。,30,作业,P97-99 习题4 ： 10, 12,31,Thank You !,
