《2019届高考数学第一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形 文 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学第一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形 文 新人教A版（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.7 解三角形,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2.三角形中的常见结论 (1)在ABC中,A+B+C=. (2)在ABC中,ABabsin Asin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,4.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内
2、的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 的角叫做仰角,目标视线在水平视线 的角叫做俯角(如图).,上方,下方,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等. (3)方位角:指从正北方向 转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.,顺时针,2,-8-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ( ) (2)在三
3、角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ( ) (3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要条件是AB. ( ) (4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件. ( ) (5)在ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. ( ),答案,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.(2017全国,文15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则A= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,
4、3,4,1,5,4.(2017全国,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P10T2)在ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为 .,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.在一个三角形中,边和角共有6个量,已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形. 2.判断三角形形状的两种思路:一是化边为角;二是化角为边,并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换. 3.在ABC中,当a2+b2c2时,由 ,可知角C
5、为钝角,则ABC为钝角三角形.反之,若ABC为钝角三角形,则角C不一定是钝角.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1在ABC中,角A,B,C的对边分别是 (1)求a的值; (2)若角A为锐角,求b的值及ABC的面积. 思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能用余弦定理解三角形?,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实现边角互化. 2.已知两边和它们的夹角或已知两边和
6、一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. 3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则c= . (2)(2017山东淄博二模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos A(ccos B+bcos C)=a. 求A;,4,解析:由于3sin A=2sin B,根据
7、正弦定理可得3a=2b. 又a=2,所以b=3.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解:由正弦定理可知,2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A, 即2cos Asin A=sin A. 因为A(0,),所以sin A0,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C= ,试判断ABC的形状. 思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-
8、,考点1,考点2,考点3,考点4,即sin(B+30)=1. 0B120,30B+30150. B+30=90,即B=60. A=B=C=60,ABC为等边三角形.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法: (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(2017广
9、东、江西、福建十校联考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.,(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断ABC的形状.,解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)由题意得sin C+sin(B-A)=sin 2A, sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即sin Acos B+cos Asin B+sin Bcos A-cos Bsin A=2sin Acos A, 所以有sin Bcos A=sin Acos A, 当cos A=0时,A= ,ABC为直角三角形; 当cos
10、 A0时,sin B=sin A,由正弦定理得a=b,ABC为等腰三角形.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 (1)证明:sin Asin B=sin C; 思考在三角形中进行三角变换要注意什么?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数. 2.在解三角形问题中,因为面积公式 中既有边又有角,所以要和正弦定理、余弦定理联系起来;要灵活运用正弦定理
11、、余弦定理实现边角互化,为三角变换提供了条件.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(2017安徽淮南一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 acos C=(2b- c)cos A. (1)求角A的大小;,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD= m. 思考利用正弦、余弦定理解决实际问题的一般思路是什么?,答案,-32-
12、,考点1,考点2,考点3,考点4,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得利用正弦、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45
13、以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系. 2.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的解题思路:先将角都化成边或将边都化成角,再结合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理时,会出现解的不确定性,一般可根据“大边对大角”来取舍.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象. 2.在判断三角形的形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,
