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1、,复数诞生的艰难历程,数学讲座 谭 巍,一、笼罩着怀疑-虚数的诞生。,1.虚数的诞生是数学发展的必然。 十六世纪前人们普遍认为负数不能开平 方。但到十六世纪初，人们在寻求三次方程求根公式时，再次遇到负数开平方的问题。如不承认它，代数就无法发展了。数学本身的需要逼迫人们承认负数可以是某数的平方，但这将意味着否定原来的数的概念，突破实数对数学的限制，因此虚数的诞生是数学发展的必然。,2.著名的“卡尔丹方程”。 卡尔丹，十六世纪意大利数学家，1545年在著作中提出这样的问题：“两数的和是10，积为40，求这两个数。列出方程是: x(10-x)=40, 求出根:15 又说：“我不管受到多大的良心的责备
2、，但这两个数相乘确实得到40。他第一次提出了负数的平方根存在，但又怀疑它的合法性。,二十七年后又一个意大利人把 写成3i，并利用这一结果完整地解决了三次方程的求根公式问题。（关于三次方程的求根公式有一段十分有趣的历史疑案，同学们如有兴趣今后抽时间再介绍之。）,二、三百年之争-虚数合法吗？,1.虚数诞生后象一个怪胎，受到人们的怀疑和冷遇。如卡尔丹自己也认为虚数捉摸不定；如到了十七世纪（1629年）一荷兰人吉拉德承认虚数“有用”它一定有自己的一套法则；又如1637年法国数学家笛卡尔在几何学一书中第一次给出了虚数的名称和实数相对。他说：“-真的（正的）、假的（负的）根并不总是实的，它们有时是虚的”此
3、后虚数的名称开始流行起来。,2. 但是，虚数的几何意义发现之前，虚数总给人以虚无缥缈之感，连一些大数学家也不例外。如牛顿就认为复数没有意义。他说：“正是方程的根常出现不可能的情况，才不致使不可能解的问题显得象是可解的样子。”德国数学家莱布尼兹曾把虚数称为：“（虚数）是美妙的不可思议的神灵的避难所。”到了十八世纪在17年时伟大的瑞士数学家欧拉虽然已经多次应用复数，但他认为“虚数是幻想中的数。”说：“一切形如的数学式都是不可能存在的想象中的数，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”,三、地位的确定-“高斯平面”的建立。,十八世纪末德国数学家高斯证
4、明了代数基本定理（一元n次方程有且仅有n个根），高斯的证明依赖对复数的承认。 到1831年高斯详细说明了复数的几何意义，即建立复平面，用复平面内的点来表示复数，即，并第一次使用了复数这个术语，并用i来表示虚数单位，并且建立起复数系。,高斯的工作为复数争得了合法地位，结束了近三百年的争论后人为了纪念高斯这一不朽功勋，就把“复平面”称为“高斯平面”。 因此十九世纪后，在复数系的基础上一个庞大的数学分支-复变函数论出现了，它为近代科学研究提供了一个有力的数学工具。,四、既抽象又矛盾-复数的复杂性。,复数诞生的艰难历程给我们的启示： 1 数学内部的矛盾推动了数学的发展，虚数本身就是矛盾的产物。 2. 虚数本身的矛盾外现于虚数与实数的矛盾，二者的每一方都是对另一方的否定，但复数系却把它们统一起来成为一个和谐的整体。,3. 复数的高度抽象性比较深刻地反映了复杂现象及其本质联系，对数学的各个分支有着深刻的影响。这以后的数的发展（如四元数，八元数，n元数等），复变函数论等对电工学，流体力学，量子力学等科学和工程技术中得到广泛的应用，显示了正确理论对实践的巨大作用。,完,
