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1、第 26卷第 8期 ? ?计算机应用与软件Vol?26No. 8 2009年 8月?Computer Applications and Soft wareAug.2009 动力系统生成晶体群圆极限分形图 鲁 ? 坚 ? 邹玉茹 (深圳大学数学与计算科学学院? 广东 深圳 518060) 收稿日期: 2009- 01- 22 。国家自然科学基金项目 ( 60873168); 广 东省自然科学基金 ( 2008257)。鲁坚, 讲师, 主研领域: 计算机图形图像 处理。 摘? 要? ? 提出从动力系统角度出发构造具有自相似性质的平面晶体群圆极限分形图的有效方法。根据 Carter晶体群迭代函数系
2、统周期性确定2?为基本区域, 利用同胚仿射变换, 建立基本区域到上半平面的自相似映射关系, 进而通过保角映射生成圆极限分 形图。同时, 对 Carter混沌函数进一步探讨了边界着色平滑构图条件, 并生成了相应的圆极限分形图。这些图案具有很强的艺术渲 染力。该方法为平面设计对称图像提供了一种新途径。 关键词? ? 混沌? 晶体群? 分形? ? Escher 极限图 FRACTAL CIRCLE LIM IT IMAGES OF CRYSTALLOGRAPH IC GROUPS GENERATED FROM DYNAM ICAL SYSTEM S Lu Jian?Zou Yuru (College
3、 of Mathe matics and ComputationalScience , Shenzhen University, Shenzhen 518060, Guangdong, China) Abstract ? ? An effective algorithm is presented for for ming fractal circle li m itplanar patternswith self?si m ilar properties in ter m ofdyna m ical syste ms . The size of the funda mental region
4、is defined as 2? according to the periodicity of iterating function syste m of ? Carter crystallo? graphic groups . The self?si m ilarmapping relationship is built from funda mentalregion to upper halfplane by using homeomorphic affine trans? for mation, and then the fractal circle li m it patterns
5、are generated by confor malmapping . M eanwhile , as for? Carter chaotic functions , we fur ? ther discuss the condition ofcomposing s mooth i mage by colouring the boundary points , and corresponding fractal circle li m it patterns are crea ? ted in thisway . These patterns have so strong artistic
6、rendering effect , the method proposed here provides a novelapproach for the graphic de ? sign of symmetric i mages. K eywords? ?Chaos? Crystallographic groups?Fractal? !Escher! li m it i mages 0? 引? 言 对称性是自然界普遍存在的现象。对称性对历史文物特别 在建筑雕刻装饰等均发挥了重要的作用, 历代建筑文明史都有 着对称性的记载。对称图像的优美在装饰、 建筑、 壁挂、 地毯等 上都有着广泛的应用 1
7、 , 2。传统的对称性图像构造与混沌吸引 子密切相关。混沌指发生在确定性系统中类似随机的不规则运 动, 是复杂和不可预测的, 而对称是保持物体等同性的一种刚 体运动, 在动力系统研究中, 人们发现对称和混沌是可以共存 的 1- 4: 混沌吸引子作为混沌系统整体稳定性与局部不稳定性 共同作用下的产物, 深刻反映了确定与随机、 简单与复杂、 有序 与无序、 整体与局部等不同的混沌机理的重要转化过程。随着 计算机技术的发展, 混沌吸引子不再是一个抽象的概念, 混沌吸 引子可视化技术逐渐得到重视。文献 1从 Logistic映射出发, 构造一簇复映射, 生成具有循环群 (Cn)、 二面体群 (Dn)和
8、部分 晶体群 ( crystallographic group)对称性的混沌吸引子, 文献 3选 取平面上具有对称性的三角函数族, 通过迭代并记录下由迭代 产生的点, 生成平面上 7种带群 ( frieze groups)和 17种晶体群 ( wallpaper groups)的混沌吸引子。在此基础上, 群对称性图像 的动力系统计算机可视化研究已得到了国内外学者的广泛重 视 6- 9。文献 6改进单纯形算法构造平面晶体群动力系统的 广义 M 集; 文献 7- 9提出分别利用轨迹井技术和从构造不变 函数的动力系统角度出发, 计算机自动生成了具有晶体群对称 性和循环群、 二面体群对称性的艺术图像。
9、 本文尝试在 Escher的几何图方法 5的基础上, 从动力系统角 度出发, 构造具有自相似性质的晶体群圆极限分形图。同时, 对 Carter晶体群混沌函数, 本文进一步探讨了 Escher构图法的边界着 色无缝隙构图条件, 并生成了边界着色无缝隙的圆极限分形图。作 者所提供方法生成的图像颜色丰富, 具有很强的艺术渲染力, 因此 为计算机生成平面对称群艺术分形图像提供了一种新途径。 1? 平面晶体群描述 在二维平面中有四种基本的对称性: 平移、 旋转、 反射、 滑动 反射。晶体对称群具有两个方向平移不变性。在平面对称群的 分类中, 存在 17种不同的晶体群, 用传统的记法分别为 p1, p2,
10、 pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm, p3, p3m1, p31m, p4 , p4m, p4g, p6, p6m。文献 3讨论了如何用三角迭代函数系统生成这 17种对 称群的混沌吸引子。这里我们仅讨论生成 p4晶体群的混沌函 ? 第 8期? ?鲁坚等: 动力系统生成晶体群圆极限分形图19? ? ? 数, 其它对称群混沌吸引子的生成方法详见文献 3。 定义 1? 设 ? : R2 R2是群 G的一个元素, F: R2 R 2为一 个动力系统。如果 F满足: ?(F (x, y ) ) = F( ?(x, y ) )( 1) 则称 F(x, y) 关于 ? 等价; 若
11、 F(x, y) 关于群 G的每一个元素均等 价, 则称 F(x, y) 关于群 G等价, 或称 F(x, y ) 具有群 G对称性。 群 p4包含旋转 90度对称和两个方向平移对称, 关于 p4对 称群的等价函数, 本文采用直角坐标平面上如下函数形式 3: FP x y = x y + T (x)# P# T (y) ? mod 2? 2? ( 2) 其中: T (x) = ( 1, cos( x), cos( 2x ), sin(x), sin( 2x ) ), P = (pijk) 是一个 5 2 5的实参数矩阵。可以通过对参数矩阵 P 的限定 使得函数 (2)关于 p4的两种对称性等价
12、。 定义 2? 设 ? : R2 R 2是群 G的一个元素, 如果函数 f: R2 R满足: f(?(x, y) ) = f(x, y )( 3) 则称 f(x, y)关于 ?不变; 若 f(x, y)关于群 G的每一个元素均不 变, 则称 f(x, y)关于群 G不变。 结合等价函数, 文献 7探讨了从动力系统角度出发利用 不变函数作为绘图策略生成 p4晶体群艺术图像的方法, 例如, 生成图 1采用的不变函数为 f(x, y ) = cos(x2+ y2) + 1+ 15| cos ( 2x) |, 着色半径为 r = 3?- 1。关于不变函数绘图算法的详细 描述可参考文献 7。 2? 圆极
13、限分形图构造 设 是上半平面区域 = (x, y)T%i 2 |y 0, 并设图像的方 极限绘制区域为 ! = (x, y)%i 2 |0 n, m = 0, 1, . . .; 因为T是 单的、 满的、 连续的映射, 且 T- 1也连续, 因此 T 是一个同胚仿射 变换。根据上述几何变换关系, 对于绘制区域为 ! 中的每一个 像素点(x, y ), 首先需要变换为基本单元中的对应点相对坐 标 (x( , y() 。对于 ( x, y) %! , 注意到必存在整数 n, 有 y ) 1 2 n R, 于是 n =log1 2 y R , 其中 a?表示取整数 ) a。记 R(= 1 2 n R
14、, 则 y(= 2?y R( , x(= 2?# mod(x, R() R( 。 图 1? 上半平面极限图的模版图 ? ? 由复变函数理论中的保角映射, 将上半平面 保角映射到 单位圆盘 D 上, D = z %+ - , z | 0。按照此方法可得到由 p4晶体对称性图像 (图 2)生成的彩色圆极限分形图 (图 3); 同样, 图 4 , 图 5分别是 由 p4m, p3晶体对称性图像生成的彩色圆极限分形图。 ? ? 图 2? 由不变函数生 成的 p4晶体群图像 ? ? ? ? ? ? ? 图 3? 图 1的 圆极限分形图 ? ? 图 4? p4m 晶体 群圆极限分形图 ? ? ? ? ?
15、? ? ? 图 5? p 3晶体群 圆极限分形图 为了使拼砌块间平滑过渡, 应使相应边界点颜色相同 (参 考图 1), 即应使得基本单元 对应衔接边界点颜色相同。设 q1 = ( 0, y ) , q2= (x, 0) , q3= ( 2?, y) , q4= ( x, 2?) , 注意到 FP为 2?周期的函数, 则 FP(q1) = FP( q3) , 从而 q1和 q3有相 同的颜色; 同样 q2和 q4有相同的颜色; 考虑到拼砌块是 y轴反 方向 1 2 的倍数减小, 于是要求 FP(q2) = FP 1 2 q2。 代 q2入迭代函数 FP有 FP(x, 0) = T (x) # P
16、# ( 1, 1, 1 , 0, 0)mod( 2?, 2?) , 则: FP(q2) = p000+ p001+ p002+ (p100+ p101+ p102) cosx + (p200+ p201+ p202) cos2x + (p300+ p301+ p302) sinx + (p400+ p401+ p402) sin2x p010+ p011+ p012+ (p110+ p111+ p112) cosx + (p210+ p211+ p212) cos2x + (p310+ p311+ p302) sinx + (p410+ p411+ p412) sin2x 类似得: FP 1 2 q2= p000+ p001+ p002+ (p100+ p101+ p102) cos 1 2 x + (p200+ p201+ p202) cosx + (p300+ p301+ p302) sin 1 2 x + (p400+ p401+ p402)sinx p010+ p
