《函数项级数一致收敛的判别综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数项级数一致收敛的判别综述（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河南师范大学新联学院本科毕业论文 学号：0901174099函数项级数一致收敛的判别专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 2009级1班 姓 名： 张庆明 指导教师： 左红亮 2013年04月 河南师范大学新联学院本科毕业论文 函数项级数一致收敛的判别摘 要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。 本文则在数项级数的基础上, 分析函数项级数的收敛性定义及其判定, 函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义, 柯西一致收敛准则, 魏尔斯特拉斯判别法(M判别法), 狄利克雷判别法, 阿贝尔判别法, 余项判别法, 积分判别法。本文对函
2、数项级数一致收敛的判别法进行推广, 主要归纳总结出了对数判别法, 导数判别法, 连续性判别法, 逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法, 同时并应用函数项级数一致敛的定义, 重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。 Discrimination of uniform convergence of function seriesAbstract: The uniform convergence of function series is the concept of series of functions are the most basic
3、 and most important problem. In this paper, on the basis of a number of series, the definitions of convergence of function series and its decision, uniform convergence analysis of properties and functions related to the function of series. Therefore, this paper proposes a definition of uniform conve
4、rgence of function series, Cauchy uniform convergence criteria the Weierstrass discrimination method (M identification method), Dirichlet discrimination law, Abel discriminant law, the remainder discriminant method, integration criterion method and article on the function series convergence discrimi
5、nant method to promote mainly summarized Diagnostic Method derivative test, continuity discrimination law, forcing several discriminant method of convergence discrimination law and M inference of discrimination law, and apply function series consistent definition of convergence, it is important disc
6、rimination method and the necessary and sufficient conditions are given some proof of the conclusion of the paper.Keywords: Function Series; uniform convergence; discrimination law.前 言 一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则,M-判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，莱布尼兹判别法或者直接根据一
7、致收敛的定义进行判别。 而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，M-判别法，阿贝尔判别法，莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了方便。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广, 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例, 它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数, 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质. 比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性。 这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。 即函数项级数的一致收敛性。 文献1讨论了函数项级数一致收
8、敛的基本判别法, 给出了一致收敛的定义和莱布尼茨判别法; 文献678给出了函数项级数一致收敛的重要判别法, 如阿贝尔、狄利克雷以及积分判别法; 文献53给出了函数项级数一致收敛的两个充要条件: 柯西准则, 余项定理, 并用上述方法判别一致收敛以及证明其它的一些定理; 文献10对该问题进行了推广, 得到了比试和根式判别法, 同时也有其它一些文献, 得到了一些其它的结论。本文结合上述文献, 总结出了函数项级数一致收敛的其它判别法, 如对数判别法, 导数判别法, M判别法的推论等, 并给出了一些判别法的证明, 此外也用一些例题验证它的可行性。 1. 函数项级数一致收敛的定义定义1 设是定义在数集上的
9、一个函数列, 表达式, (1) 称为定义在定义域上的函数项级数, 简记为或。称, , (2)为函数项级数(1)的部分和函数列。 若, 数项级数 , (3)收敛, 即部分和当时极限存在, 则称级数(1)在点收敛, 称为(1)的收敛点。若级数(3)发散，则称级数(1)在点发散。若级数(1)在上的某个子集上的每个点都收敛, 则称级数(1)在上收敛, 并且称(1)的收敛域为, 级数(1)在上的每一点与其所对应的数项级数(3)的和构成一个定义在上的函数, 称为(1)的和函数, 并写作, 即 , 也就是说，函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列(2)的收敛性。定义设是函数项级数的部分和数列。若在数
10、集上一致收敛于函数, 则称函数项级数在上一致收敛于, 或称在上一致收敛。由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和数列来确定, 所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义。 定义3 设函数项级数在上和函数为, 称, 为函数项的余项。2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法2.1 M判别法定理 (M判别法) 设函数项级数定义在数集上, 为收敛的正项级数, 若对一切, 有, , 则函数项级数在上一致收敛。证明： 由假设正项级数收敛, 根据数项级数的柯西准则, 任给正数,存在某正整数, 使得当及任何正整数, 有,所以对一切有根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛。例1 证明函数项级数，一致
11、收敛。证明： 由不等式可知对任意x,有。因收敛，由M-判别法知在上一致收敛。2.2 莱布尼茨判别法定理2 若交错级数满足下述两个条件： 数列单调递减；，则交错级数收敛。例2 试证在区间上一致收敛。证明：是任意闭区间的连续函数列, 且有 , ,由上述定理知, 函数项级数在区间上一致收敛。2.3 定义判别法例3讨论。解： 显然所以，对任给的只要取对一切成立，因此在上一致收敛于。2.4 余项判别法 定理 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是。证明 () 已知函数项级数在区间一致收敛于, 有,从而 ,即,()已知,即有,所以有.即级数在区间上一致收敛于。例4 讨论函数项级数的一致收敛性。解： 设。
12、因而，。解，得。易知，该点为函数于是： 故原级数在上一致收敛。推论 是函数项级数的部分和函数列, 和函数, 都是定义在同一数集上, 对于任意的, 存在数列, 使得对, 有, 且, 则称函数列一致收敛于, 即函数项级数在上一致收敛于函数。证明： 因, 故对任给的, (与无关), 使得当时, 对一切, 都有。由定义2得函数列一致收敛于, 即函数项级数在上一致收敛于。注 用放大法判定函数项级数一致收敛性时, 需要知道。2.5 柯西准则定理 (一致收敛的cauchy准则) 函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为：任给0。 存在，当时, 对一切， 都有成立。证明： (必要性) 设在上一致收敛, 于是有根
13、据定义,对任意的, 存在正整数, 只要, 对一切和任意正整数有,因此只要, 对一切有,所以, 对存在正整数, 只要, 对一切和任意正整数有,必要性得证。(充分性) 设对任意的, 存在正整数, 只要, 对一切和任意正整数有,所以对一切和一切任意正整数, 令, 可得, 只要, 对一切有,所以函数项级数在数集上一致收敛, 充分性得证。推论2若 在上一致收敛，则。例5：设，在连续且在内一致收敛，且由均收敛，证明上一致收敛。证明：由内一致收敛及均收敛，知，同时有因而，有故在一致收敛。3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法3.1 阿贝尔判别法定理5 (Able判别法) 定义在区间上的函数项级数 (4)(1) 在区间I上一致收敛；(2) 对于每一个是单调的；(3)在上一致有界, 即对一切和正整数, 存在正数, 使得, 则级数(4)在上一致收敛。例6 证明函数项级数在上一致收敛。解：设。根据优级数判别法，易知由阿贝尔判别法，知原级数在上一致收敛。例7 设收敛，则在上一致收敛。证明：是数项级数，它的收敛性就意味着关于x的一致收敛性。而关于n单调，且，对一切n成立。由阿贝尔判别法可知级数在上一致收敛。
