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1、3.2.3 指数函数与对数函数的关系,第三章 3.2 对数与对数函数,学习目标 1.了解反函数的概念，理解互为反函数的图象间的关系. 2.知道指数函数与对数函数互为反函数，明确它们的图象关于yx对称.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 反函数,下列哪些函数是一一映射？,答案,答案 (1)(2)(3)都是一一映射，(4)不是一一映射.,思考2,答案,反函数的概念 (1)前提：函数f(x)是 . (2)定义：把函数f(x)的因变量作为新函数的 ，把函数f(x)的自变量作为新函数的 ，称这两个函数互为反函数. (3)记法：函数yf(x)的反函数为y .,梳理,一一映
2、射,自变量,因变量,f1(x),思考,知识点二 指数函数与对数函数的关系,指数函数y2x与对数函数ylog2x互为反函数吗？它们的图象有什么关系？,答案,答案 是，关于yx对称.,梳理,指数函数与对数函数的关系 (1)关系：指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1) . (2)图象特征：指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象 对称. (3)单调性：在区间1，)内，指数函数y2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐 ，而对数函数ylog2x的增长时速度逐渐变得 .,互为反函数,关于yx,加快,很缓慢,题型探究,例1 写出下列函数的反函数： (1)
3、ylg x；,解答,类型一 求反函数,解 ylg x(x0)的底数为10，它的反函数为指数函数y10x (xR).,解答,(2)ylog x；,求给定解析式的函数的反函数的步骤 (1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； (2)从yf(x)中解出x； (3)x、y互换并注明反函数的定义域.,反思与感悟,跟踪训练1 求下列函数的反函数： (1)y3x1；,解答,(2)yx31 (xR)；,解 函数yx31的值域为R，,解答,所以反函数为y(x1)2 (x1).,解答,例2 已知函数yaxb(a0且a1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值.,类型二 反函数的应用,
4、解答,解 yaxb的图象过点(1,4)， ab4. 又yaxb的反函数的图象过点(2,0)， 点(0,2)在函数yaxb的图象上. a0b2. 联立得a3，b1.,互为反函数的图象关于直线yx对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于yx对称，所以若点(a，b)在函数yf(x)图象上，则点(b，a)必在其反函数yf1(x)图象上.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)axk的图象过点(1,3)，其反函数yf1(x)的图象过(2,0)点，则f(x)的表达式为_.,f(x)2x1,答案,解析,解析 yf1(x)的图象过(2,0)， (2,0)关于yx的对称点(0,2
5、)一定在f(x)axk上，又(1,3)也在函数f(x)axk上，,f(x)2x1.,(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；,类型三 指数函数与对数函数的综合应用,解答,解 由f(0)0，得a1，,所以f(x)f(x)，即f(x)为奇函数.,(2)求f(x)的反函数；,解答,解答,所以当0k2时，原不等式的解集为x|1kx1； 当k2时，原不等式的解集为x|1x1.,(1)明确求反函数的方法，注意在求反函数时一定要标明定义域.(2)要注意应用指数函数与对数函数是一对反函数的性质.,反思与感悟,跟踪训练3 设方程2xx30的根为a，方程log2xx30的根为b，求ab的值.,解答,解 将方程整理
6、得2xx3，log2xx3.如图可知， a是指数函数y2x的图象与直线yx3交点A的横坐标，b是对数函数ylog2x的图象与直线yx3交点B的横坐标. 由于函数y2x与ylog2x互为反函数， 所以它们的图象关于直线yx对称， 由题意可得出A、B两点也关于直线yx对称， 于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a). 而A、B都在直线yx3上， ba3(A点坐标代入)，或ab3，故ab3.,当堂训练,1.函数yx2，xR的反函数为 A.x2y B.xy2 C.y2x，xR D.yx2，xR,答案,2,3,4,5,1,2.函数y (x1)的反函数是 A.yx21(1x0) B.yx21(0x
7、1) C.y1x2(x0) D.y1x2(0x1),答案,2,3,4,5,1,解析,解析 x1，x1,1x0，,原函数的值域应与反函数的定义域相同， 选项中只有C的定义域满足小于等于0.,3.函数yf(x)的图象经过第三、四象限，则yf1(x)的图象经过 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 因为第三、四象限关于yx对称的象限为第三、二象限， 故yf1(x)的图象经过第二、三象限.,4.若f(x1)x22x3(x1)，则f1(4)等于,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 f(x1)(x1)22(x1)， f(x)x22(
8、x0)，,5.若函数yf(x)的图象和函数ylog3x(x0)的图象关于直线yx对称，则f(x)_.,答案,解析,解析 yf(x)与ylog3x(x0)的图象关于直线yx对称， f(x)3x.,2,3,4,5,1,3x,规律与方法,1.对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数.它们的图象关于直线yx对称. 2.反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称. 若函数yf(x)的图象关于yx对称，说明yf(x)的反函数是它本身，如反比例函数y,(2)若函数yf(x)上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上，反之若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上. 3.反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有意义的所有x的集合.,本课结束,
