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1、广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用一、绪论构造函数思想是数学的一种重要的思想方法。在数学中具有广泛的应用。他属于数学思想方法中的构造法。所谓构造法，就是根据件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。它具有两个显著的特性：直观性和可行性，正是这两个特性，在数学应用中经常运用它。构造法的特点是化复杂为简单、化抽象为直观。构造法思想的核心是根据题设条件的特征恰当构造一种新的形式。对培养学生的数形结合的思想、思维能力以及培养学生的创新能力都有很大的帮助。怎样构造呢？当某些数学问题用通常办法按定势思维去解，很难凑效时，应根据题设条件
2、和结论的特征、性质展开联想，常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法，手段，进而构造出解决问题的特殊模式，就是构造法解题的思路构造法是我们在研究有关数学问题时，需要构造并解出一个合适的辅助问题，从而用它来求得一条通向表面看来难于接近问题的信道的一种解答问题的方法，其实质就是把研究的数学问题经过仔细的观察，挖掘其隐含条件，再通过丰富的联想，把问题化归为已知的数学模型，从而使问题得以解答。怎样去构造呢？常常是从一个目标联想起我们曾经用过的某种方法、手段，借助于这些方法、手段达到目标。因此构造法体现了数学思维的灵活性和创造性，构造法并不是独立的，它的运用需要借助于联想法、化归法等。如果我
3、们能够掌握了构造法并能运用此方法解决数学问题，那么不但可以培养我们的良好的思维品质，而且还可以提高我们的抽象思维能力、发散思维能力和解题能力。构造法的方法很多，技巧性强，使用时没有固定的模式，须根据具体问题采用相应的构造法。本文通过不同数学模型的例子介绍构造法的应用。二、构造函数在微积分证明中的应用构造法是数学解题的主要方法之一，它的应用极广。随着知识的积累和增加，构造法就越加突现重要。比如在零点定理的证明和应用上，在微积分学里的中值定理的证明和应用上等。最典型的是拉格朗日中值定理的证明。这个定理的证明是根据几何直观的启示，构造了一个与问题有关的辅助函数，才得以运用罗尔定理解决的。这种思想方法
4、在数学解题中经常用到，且往往有效。中值定理特别是拉格朗日中值定理在不等式的证明中有着重要作用，通过对不等式的结构分析，构造某特定区间上的函数，满足定理的条件，达到证明目的。其中，在拉格朗日中值定理的证明中利用定理公式构造了一个新的函数，再利用函数的性质和定理合理地证明了拉格朗日中值定理。其他中值定理也如此，都是通过构造函数来证明的。微积分学中的四种中值定理：费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。构造法都贯穿其中，起到了重要和决定性的作用。（一）构造辅助函数用零点定理证明零点定理 设函数在闭区间上连续，且与 异号（即），那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（）使.零
5、点定理的结论是：存在，使，结论中并未出现导数运算.所以不太可能利用中值定理证明.相反，只要可以整理为：“证明存在，使某连续函数满足”这种形式的命题，基本上都可以使用零点定理来证明，而辅助函数的构造更为简单.证明方法(1)将把要正的等式化为等价的标准形式（所有项均移到等式左边，使等式右边为零）.(2)将等式左边的表达式（将换成）作为辅助函数即可.例1 设在闭区间上的非负连续函数，并且，证明：对于任意的，都存在，使得.证明：只要证，即可.为此，设.显然在闭区间上连续，并且 ， .（1） 若，则，都满足方程；（2） 若，则由，及零点定理知，必有，使得；因而，对于任意的，都存在，使得，即.构造辅助函数
6、利用零点定理可以证明根的存在性，下面我们通过例子来验证：例2 设实数，.证明方程分别在区间和有且仅有一个实根.证明：设 ，记；易见，是一个二次函数，它在内连续，当然在和上都连续，并且，.所以由零点定理知，必存在与，使得，；然而是一个二次函数，最多有两个零点，因此分别在区间和有且仅有一个实根.另一方面，由于，所以当且仅当，因而也分别在区间和有且仅有一个实根.（二）构造辅助函数用罗尔定理证明罗尔中值定理 如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,那么至少存在一点,使得.对于含有抽象函数及其导数的方程或关于的等式，在证明时，应构造辅助函数，用罗尔定理证明。此时构造函数的一般方法是，查找原函数，其步
7、骤为：1 若证的是含有的等式，先把改为，使等式成为方程；2 把方程看作是以为未知函数的微分方程，然后解微分方程；3 求出解后，把任意常数移到一端，另一端即为所要构造辅助的函数;4 对于形式简单的方程或含的等式，则可用观察法求出辅助函数.下面我们用罗尔定理来证明一些重要的定理：拉格朗日中值定理 设函数满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导。则至少存在一点 ，使 （1.1）我们要证（1.1）式，即要证，即 .故我们可以从几何意义上来考虑：拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，函数的图像在区间上为图中的弧段 ，上点点存在不与轴平行的切线。那么，结论是在内存在点，使相应于这一点的弧上点处的
8、切线平行于弦。 图因此在证明拉格朗日中值定理中，故我们想到作辅助函数我们所做的辅助函数实际上分两部分：和，容易验证，它们在闭区间连续，在开区间内可导，此时易知 容易验证，在上满足罗尔定理的条件.因而存在，使=0，即成立.柯西中值定理 设函数和满足条件：（1）,均在闭区间上连续；（2）, 均在开区间内可导;（3）对 .则存在，使 （2.1）我们要证（2.1）式，即要证 ,也就是 .故我们想到作辅助函数.容易验证，在上满足罗尔定理的条件。因而存在，使.因（）故，得 柯西定理证毕.（三）构造辅助函数用拉格朗日中值定理证明证明方法根据拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数满足下列条件：（I）在闭区间
9、上连续；（II）在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使得.拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系. 对于常值不等式或函数不等式，通过恒等变形后，若出现函数差值与自变量之差之比，符号拉格朗日中值公式的形式，则用拉格朗日中值定理证明之.此时，所要构造的辅助函数可观察得出.证明步骤为：1辅助函数，找到相应的区间；2验证该函数在区间满足拉格朗日中值定理的条件；3写出拉格朗日中值公式；4由满足的不等式，对放大或缩小，从而消去，得到所要证明的不等式.例1 证明：当.分析：所证不等式中的函数的导数为 ，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理证之.由于，
10、因此可构造函数的改变量，则相应自变量的改变量为，原不等式等价于：，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数，因在上连续，在上可导，在上满足拉格朗日条件，于是存在，使 ，因，所以.即，.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.(四) 构造辅助函数用柯西中值定理证明证明方法根据柯西中值定理柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.证明方法构造两个辅助函数和，并确定它们施用柯西中值定理的区间；对与在上施用柯西中值定理；利用与的关系，对柯西公式进行加强不等式.例2：设，证明.分析：原不等式
11、可等价于.可看出不等式左边可看成是函数与在区间上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于，可构造函数，,因均在上连续，在上可导，且，由于，则，所以在上满足柯西中值条件，于是存在，使得，又因有 ，得到 ,因此,即.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.三、构造函数在不等式证明中的应用不等式的证明历来是数学证明的难点。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样
12、借助构造函数的方法证明不等式。（一）构造函数利用判别式证明不等式1构造函数正用判别式证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法.一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制.例1. 设：、，证明：成立，并指出等号何时成立.证明：令 因为b、cR，所以0即：，所以恒成立.当0时，此时，所以时，不等式取等号.例2. 已知：且，求证： .证明： 消去c得：，此方程恒成立，所以，即：.同理可求得.2构造函数逆用判别式证明不等式对某
13、些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：由，得0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明.例3. 设且，求证：6.证明：构造函数： 由，得0，即.所以6.例4. 设且，求的最小值.证明：构造函数 .因为，由（当且仅当时取等号），得0,即144-4（）0. 所以当时，.（二）构造函数运用函数有界性、单调性、奇偶性证明不等式1.构造函数利用函数有界性证明不等式定义1（函数的有界性） 设函数在区间上有定义，如果，使得对，有，则称在区间上有界，否则，称在区间上无界.例5. 设1，1，1，求证：-1.证明：令为一次函数.由于0，且0，所以在时
14、恒有0.又因为，所以0，即0评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为.2.构造函数利用单调性证明不等式函数单调性的判别法 设函数在上连续,在内可导.若在内,则函数在上单调增加(减少). 对于形如（或）的函数不等式，常构造辅助函数（或）用单调性证之，其步骤为：1 构造辅助函数；2证（或）得出单调性；3求出在区间端点之一处的函数值或极限值；4最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式.例6. 求证：当0时， .证明：令，因为0，所以 0.又因为在处连续，所以在上是增函数，从而，当0时，0，即成立.评注：例6可以看出，在证明这样一类不等式时，先是将原不等式移项，使一端变为0，再构造辅助函数，证明在相应的区间内的最大值或最小值为零，从而移项便得所证.利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。下面我们就用可导函数的单调性证明不等式法.证明方法根据可导函数的一阶导数符
