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1、中学数学解题中数形结合问题 摘 要： 数量关系和空间图形是初等数学研究的对象，因而数形结合是一种极富数学特点的信息转换。在求函数的值域、最值问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理;而对于一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题数量化，以数助形，用代数的方法使问题得以解决。数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，发挥数与形两种信息的转换及优势互补，能够更好地体现数学直觉思维在数学思维中的地位。 关键词： 中学数学数形结合 代数问题 几何图形 代数方法 几何问题 1.数形结合的基本思想 数形结合法就是根据数学
2、问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙得结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题途径，使问题得到解决.通过数形结合解题可以有针对性地培养学生的思维能力.在求函数的值域、最值问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理；对于一些图形的性质，可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题数量化，以数助形，用代数的方法使问题得以解决.数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化. 2.借助或构造直观图来解决代数问题 在数学问题中，我们可以通过对图形性质的讨论来直接反映函数、不等式，或看非常规问
3、题中的变量之间的关系，有时还能通过图形直观启迪解题思路.下面就从初等数学的角度，举例说明如何借助或构造直观图来解决代数问题. 2.1数形结合在函数解题中的运用 例1.求函数y=+的最小值. 分析与解：该函数很复杂，直接用代数方法无法入手.观察到函数配方后可得到式子y=+，联想到两点距离公式.设点P（x，0），A（1，2），B（-3，-4），则该函数的几何意义为：动点P（x，0）到两定点A（1，2），B（-3，-4）的距离之和.（如图1） 所以y=|AP|+|PB|AB| （根据三角形两边之和大于第三边） 即得y|AB|=，即y=.对于这个函数，若从代数方面入手十分复杂，且得不到解法.但是运用代
4、数表达式中所表示出的形联想到两点间的距离公式，即马上想到把代数式转化为几何表达式，题目便容易了，且形象、直观. 2.2数形结合在不等式中的应用 2.2.1三角不等式中的数转形问题 例2.若0ab，求证：. 证明：（i）如图2在单位圆中作AOB=a，AOC=b.过B作圆O的切线，交OA的延长线于D；联结CB并延长交OA的延长线于E. 在COE和BOE中，由正弦定理知=，=. 因为OB=OC=1所以= =1+. 又因为BC弧BC=b-a，BEBD=tanaa， 所以1+=. 又因为tana=AH，tanb=AD，所以=1+. 而BGBE=tan（a-b），BF=sinaa，所以1+=. （ii）如
5、图3所示在单位圆中作AOB=a，AOC=b；过点A，B分别作圆O的切线，交OC的延长线于D，E；过点B作OA的垂线，分别交OA，OD于F，G；延长OB交AD于H.由（i）（ii）得. 注:对于与角的弧度有关的三角不等式，通常可应单位圆中几何图形的性质来证明.应用几何解三角问题的解法简明，而且使解答或结论反映在几何图形上，形与式结合，直观生动. 2.2.2数形结合在一般不等式证明中的应用 例3.已知正数a，b，c，a，b，c满足条件a+a=b+b=c+c=k，求证：ab+bc+cak. 分析与解：此题通过构造性思维可把ab，bc，ca看作三个矩形的面积。k可看作边长为k的正方形的面积，从中构造出
6、下面的矩形，如图4. 构造边长为k的正方形ABCD，且令DF=a，DG=AH=b，AG=BH=b，BF=c，CE=c，CF=a，并作出相应的矩形，由SS+S+S，就有了kab+bc+ca. 从这个例题中可看出，有些数学问题可能是由一个几何问题演变而来，但它因脱去了几何外衣而成为抽象的代数问题.如果能够根据题目特点，构造出相应的几何图形，就会使问题形象、直观，解题方法简洁、巧妙. 3.用代数的方法解决几何问题 3.1用解析法解决几何问题 在传统的几何教育中，主要使用“形到形”的性质的推理来学习几何知识，并培养逻辑思维能力.但是，使用“形到形”的性质的推理学习几何知识对大部分人来说是比较困难的.但
7、有些几何问题使用解析法就很容易得到解决.借助坐标系，应用代数方法研究解决数学问题的方法称为解析法.解析法通常用以研究几何图形的性质，因此，平面几何的许多问题都可以用解析法来解决.而且有些平面问题用解析法要比用几何法方便，且具有一般性.解析法也可以用来解某些代数、三角问题.这里举例说明解析法在中学数学中的应用. 例4.过圆O上任意两点P，Q的切线相交于点T，联结PQ，作直径AB平行PQ，直径CD垂直于PQ，联结BP，AP分别相交于直径CD或其延长线与S，R，求证：RT=ST. 证明：如图5，建立直角坐标系. 设圆的半径为1，则A（0，1），B（0，-1）. 设p（cosq，sinq），则PT的方
8、程为xcosq+ysinq-1=0. 令y=0，得T点的横标为x=，所以，T点坐标为（，0）， PA的方程为x（1-sinq）+ycosq-cosq=0. 令y=0，得点R的横坐标为x=，所以，R点坐标为（，0）. 说明:用解析法证明三点共线，也可以分别求过两点的直线斜率，由斜率相等可判定三点共线;还可以用面积行列式的值为零来判定.本例是特殊情况，由y坐标相等，即可得到三点必在平行x的直线上. 3.2用向量的方法解决几何问题 在新编的全日制普通高级中学教材中引进了空间向量及其运算，这不仅丰富了立体几何的内容，而且强化了“数形结合”的思想，并在教科书中积极引导学生使用向量代数方法解立体几何问题.
9、向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似，解题时可运用我们熟悉的代数方法进行推理，掌握空间图形的性质，空间向量为解决立体几何中某些用传统纯几何方法解决时，技巧性较大，随机性较强的问题提供了一些通法，以降低解题难度.在这里，通过一道题目的解法，体会空间向量方法的独特和简便. 例5.如图6所示，在正三棱柱ABC-ABC中，ABAC，AB=a，求这个正三棱柱的体积. 解：因为棱柱ABC-ABC为正三棱柱，所以作BOAC，O为垂足，以O为原点，OA，OB为x，y轴的正半轴，过O作z轴的正半轴平行于CC，建立如图7的直角坐标系.则AB=a，设CC=h，由图7可得如下坐标C（-，0，h），A（，0，0），
10、A（，0，h），B（0，0），故=（-a，0，h），=（-，-h） 因为ABAC，所以•=0，即（-a，0，h）•（-，-h）=-h=0，h=a，所以V=••a=a. 注意：（1）为了使相关点的坐标便于计算和证明，必须分析空间几何体的构造特点，选取合适的空间直角坐标系（合适的点作原点，合适的线和方向作坐标轴）.（2）解题步骤：建立空间坐标系相关点坐标向量的坐标平行、垂直关系几何结论. 4.两点启示 4.1数形应结合 从上面的几个例子中我们看到了数形结合的奇妙转化.数学的发展也是以数与形着两个基本概念为主线.当然我们也认识到坐标系的建立，实现了几何
11、空间的数量化，不仅使几何与代数有机结合起来，也为数形结合观点的形成与应用开辟了一条康庄大道.数与形是中学数学的主体，也抓住了数学解题通道的一个大动脉.同时关注数与形，自觉、主动的运用几何方法尝试解代数题，十分有利于形成优化的认知结构，并使这个结构更具整体性、准确性和连通性，体现了数与形的优势互补. 4.2运用数形结合法解题需积累 无论学习任何知识都应经过积累方可运用自如，数学知识也不例外.在数学问题中，涉及数形结合法的运用都会相关到其他的很多知识，如果要对数形结合法运用自如，那么对于涉及的具体操作和基本功必须有所积累.从上面的几个例子中我们知道的经验有:运用坐标系、转化、几何图形的构造.并且我们也知道，数与形之间的转化途径不是唯一的，也就是说数形结合是一个需要探索积累并且永远也探索不完的课题. 参考文献： 1张雄，李得虎.数学方法与解题研究M.高等教育出版社，2003.8. 2季素月.中学概念原理和方法M.广西师范大学出版社，1991.6. 3罗增儒.数学解题引论M.陕西师范大学出版社，2001.7. 4胡勇健.谈向量的综合复习J.中学数学，2003.4. 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 8
