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1、3 条件概率与独立事件,第二章 概 率,学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念. 2.掌握条件概率的计算公式. 3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 条件概率,试求P(A)、P(B)、P(AB).,答案,100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格. 令A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格,思考2,任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率.,答案,思考3,P(B)、P(
2、AB)、P(A|B)间有怎样的关系.,答案,条件概率 (1)概念 事件B发生的条件下，A发生的概率，称为 的条件概率，记为 . (2)公式 P(A|B) (其中，AB也可以记成AB). (3)当P(A)0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A) .,梳理,B发生时A发生,P(A|B),思考1,知识点二 独立事件,事件A发生会影响事件B发生的概率吗？,答案,甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，B“从乙箱里摸出白球”.,答案 不影响.,思考2,P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？,答案,思考3,P(AB)与
3、P(A)，P(B)有什么关系？,答案 P(AB)P(A)P(B).,(3)拓展：若A1，A2，An相互独立，则有P(A1A2An) .,独立事件 (1)概念：对两个事件A，B，如果 ，则称A，B相互独立.,梳理,P(AB)P(A)P(B),B,P(A1)P(A2)P(An),题型探究,例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；,类型一 条件概率,解答,解 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B， 则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. 从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n() 20. 根据分步乘法计数原理，
4、n(A) 12.,(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；,解答,(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.,求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数；二是直接根据定义计算，P(B|A) ，特别要注意P(AB)的求法.,反思与感悟,跟踪训练1 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个. 求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率；,解答,解 记Ai为第i次取到一等品，其中i1,2. 取两次，两次都取得一
5、等品的概率，,(2)取两次，第二次取得一等品的概率； (3)取两次，在第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率.,解答,解 取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，,解 取两次，已知第二次取得一等品，,例2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩.对下列两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩；,解答,类型二 独立事件的判断,解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为 . 这时
6、A(男，女)，(女，男)， B(男，男)，(男，女)，(女，男)， AB(男，女)，(女，男)，,由此可知P(AB)P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互独立.,解 有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女). 由等可能性知这8个基本事件的概率均为 ，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.,解答,(2)家庭中有三个小孩.,从而事件A与B是相互独立的.,三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互
7、影响. (2)公式法：检验P(AB)P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断.,反思与感悟,解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)成立即可. 利用古典概型概率公式计算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25. 可以验证P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C). 所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.,跟
8、踪训练2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是_.(填序号) A，B；A，C；B，C.,答案,解析,类型三 独立事件的概率,例3 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；,解答,解 设A表示事件“观众甲选中
9、3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，,因为事件A与B相互独立，,(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列.,解答,所以X的分布列为,概率问题中的数学思想 (1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P( )1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法. (2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑概率加法公式，转化为互斥事件)还是分几步(考虑概率乘法公式，转化为相互独立事件)组成. (3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.,反思与感
10、悟,解答,跟踪训练3 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；,解 设A，B，C分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.,代入得27P(C)251P(C)220，,(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率.,解答,解 记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，,
11、当堂训练,2,3,4,5,1,1.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为 A.1ab B.1ab C.(1a)(1b) D.1(1a)(1b),答案,解析,解析 2道工序相互独立， 产品的正品率为(1a)(1b).,2,3,4,5,1,2.抛掷红、蓝两个骰子，事件A“红骰子出现4点”，事件B“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P(A|B)为,答案,解析,3.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是 A.0.665 B.0.564 C
12、.0.245 D.0.285,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”， 则P(A)0.7，P(B|A)0.95， P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.,2,3,4,5,1,4.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是 A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件,解析,解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A、C错. 而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.,答案,5.某田径队有三名短
13、跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为 ，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求 (1)三人都合格的概率；,2,3,4,5,1,解答,解 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，,设恰有k人合格的概率为Pk(k0,1,2,3). 三人都合格的概率,(2)三人都不合格的概率；,2,3,4,5,1,解答,解析 三人都不合格的概率,(3)出现几人合格的概率最大？,2,3,4,5,1,解答,解析 恰有两人合格的概率,恰有一人合格的概率,结合(1)(2)可知P1最大. 所以出现恰有1人合格的概率最大.,规律与方法,1.计算条件概率时应注意： (1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约. (2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系.,2.互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系,本课结束,
