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1、研究性学习设计【主题】探索勾股定理【学科】数学【年级】八年级【课时】4课时【情境】活动前准备：1.全班分为8个小组，每组领取一个任务。2.要求每个小组总结4种证明勾股定理的方法。3、设置任务：（1）用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用（2）掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题。（3）理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形。 （4）通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。（5）
2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想活动过程：活动1： （1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形： 思考：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.活动2：由
3、结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定 图1 图2 图3【技术应用】应用几何画板（或利用方格纸）演示说明，形象直观。（4）分析填表的数据，你发现了什么？学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一
4、个交流环节.学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.活动3：（1）你能用直角三角形的边长、来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.第二课时：用图形面积割补验证勾股定理活动1： 教师导入，小组拼图.今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜
5、边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.活动2：层层设问，完成验证一. 学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形： 22 图1图2问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？ 从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小
6、组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三课时：拼图验证勾股定理活动1：教师引导学生对收集的验证方法进行归类整理：第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”分三种类型：适当的归类整理有助于学生提高对有关验证方法的认识，加深学生的理解。活动2：五巧板的制作（动手操作，合作探究）教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准
7、备好的硬纸板制作“五巧板”。1利用五巧板拼“青朱出入图”。2取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？3用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？4利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？ abc可能的拼图方案：bcabc通过前面的展示，学生可能已经基本理解了所谓的“无字证明”，但没有通过亲身的体验，可能仍有相当数量的学生难以认同，甚至部分学生可能还存在一定的怀疑，为此利用五巧板拼图证明勾股定理，力图通过学生的亲身实验进一步确认“无字证明”的验证方法。活动3：搜集汇总勾股定理的文化价值(1)勾股定理是
8、联系数学中数与形的第一定理。(2)勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系的信号。(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。【资源】信息化资源几何画板课件常规资源作图工具（直尺，三角尺等）教参、课标。教学支撑环境多媒体教室、网格纸。其 他纸笔等【成果】勾股定理证明方法汇总方法种类及历史背景验证定理的具体过程知识运用及思想方法方法种类及历史背景验证定理的具体过程知识运用及思想方法（1）赵爽证明（2）1876年美国总统Garfield证明（3）意大利著
9、名画家达芬奇的证法（4）毕达哥拉斯（5）青朱出入图（6）在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明（7）欧几里得证明【评价】评价指标（权重）评价标准描述评价好1，0.8一般（0.8，0.6需要改进(0.6,0生评师评总分和评语计划周全详实10分有详细的研究计划，课题成员分工明确,措施得力有较具体清晰地研究计划研究计划简单参与程度10积极举手发言，积极参与讨论与交流。至少一半的学生参与小组活动，为小组活动献计献策。少有举手发言，较少参与讨论与交流。完成小组角色任务10分完成所有任务几乎完成自己所有的任务能完成部分任务学生合作情况25分小组成员显示出了极好的倾听能力和领导能力，除完成各自分工后，
10、小组成员通过探讨、讨论的方式，集体得到解决问题方案。整个学习活动在协作中完成小组成员显示出了一定的交互能力；他们能认真地倾听他人的观点，显示出了一定的讨论和选择能力，基本处于协作状态虽参与了讨论工作，但只有个别同学形成解决问题的方案。大部分同学对评价过程只是旁观，很少参与沟通。任务分担情况 10分不需要提醒就能完成几乎不需要提醒经常需要提醒几乎不能独立完成学习态度10分能刻苦钻研，积极主动交流、思考回答问题，努力争取最出色的完成任务。能认真听讲，参与交流，努力完成自己的任务。能认真听讲，在同伴帮助下完成任务。信息技术运用能15分能够熟练地搜索函数的有关知识与图片，并能利用几何画板画出函数的图像，制作出美观实用的课件能够独立地搜索函数的有关知识与图片，并能利用几何画板画出函数的图像，制做出课件能够在同学的帮助下搜索函数的有关知识与图片，并能利用几何画板画出函数的图像。自主探究10分有强烈的求知欲，不断提出许多与任务相关的问题，并努力寻找答案。能在遇到问题时独立寻找解决办法，不放弃。能够提出与主题相关问题，希望找到答案。能在遇到问题时自己进行探究或与同伴讨论寻求解决途径。能提出问题，但有时偏离主题或不作进一步的思考。能对遇到的问题进行一些探究，但缺乏毅力，喜欢依赖同伴。总分及评语
