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1、第2 7 卷专辑 2 0 0 6 年1 2 月 固体力学学报 A C T AM E C HA N I C AS O L I D AS I N I C A V 0 1 2 7S I s s u e D e c e m b e r2 0 0 6 动荷载反分析的模态选择方法 朱以文蔡元奇韩 芳 许 凯 ( 武汉大学土木建筑工程学院，武汉4 3 0 0 7 Z ) 擒要提出了动态载荷识别中新的确定模态的准则与实施方法提出了模态选取概念，在此基础上提出 了反分析中模态选取的准则并给出了相应的公式大量算例表明，采用该文准则和公式可以防止因模态选取不当 而产生的伪解，避免计算中的数值病态，明显提高了动态载荷
2、识别的成功率和精度 关词动态载荷识别模态选取模态截取，不恰当模态 0 引育问题的提出 动态载荷的确定在结构分析与研究中意义重 大，准确地识别动态载荷是工程结构可靠性与安全 性的重要保证，也是为结构动力分析、动力设计、动 力优化、减震隔振提供重要的依据然而在工程实 行中，常常很难对作用于结构的外载荷作直接测量 和计算因此，对动态载荷的确定只能代之以发展 动态载荷反分析( 或载荷重构) 技术，从可测的系统 响应信息来间接地确定动荷载由于其广泛的工程 背景和明显的应用价值，使这一问题的理论和应用 成为研究的重点 对于采用模态分析方法进行的结构动力学分 析，无论是正分析还是反分析，都存在模态和阶数的
3、合理确定问题事实上，在正分析中所发展出来的 R i t z 向量法和L a n c o z o s 法等方法，也打破了模态截 取法的限制，而考虑荷载分布的影响，剔除振型参与 系数为零的模态来提高计算效率只不过在正分析 里只是一个提高计算效率的问题，而在反分析中则 不仅仅是计算效率问题，而是涉及反分析能否顺利 进行的问题，所以在荷载反分析中模态正确选择问 题更为重要本文认为，反分析中模态的确定准则 不同于正分析，应充分考虑反分析自身的特点来确 定模态及其阶数但目前的有关动态载荷识别的研 究工作中 1 1 u ，都因袭正分析的模态截取概念来确 定模态阶数，如对于口r k 的讨论 1 一 ( 口是测
4、点 数，r 是截取的模态数，五是待识别力的数目) ，都是 基于正分析的模态截取的概念而进行的 本文认为采用模态截取方法往往会把一些不恰 当的模态截取进来，而不恰当的模态不仅无助于载 荷的识别，反而会干扰和妨碍识别，甚至会因为严重 的数值病态而使反分析无法进行为此，提出了反 分析中新的确定模态准则与实施方法算例表明， 采用本文提出的模态选取准则和相应公式，可以防 止模态选取不当而产生的伪解，避免分析过程中的 数值病态，明显提高了载荷反分析成功率和精度 1 模态选取 动态载荷识别是一种反分析反分析是建立在 正分析成立的基础上的众所周知，行个自由度的结 构动力学问题的方程为 M ( 星 + c (
5、主) + K z l = ，( ) ( 1 ) 用模态分析法可以得到筇个解耦的模态方程 玩+ 2 铀番，= 9 ) 7 r ，( t ) ，i = 1 - 2 ，以( 2 ) 所谓模态截取是指选用前m 个模态来构成结构在 物理坐标下的响应 上 埘2 善m 如 ， ( 3 ) 正分析时，截取前优阶模态进行模态迭加各 阶模态对响应的贡献有大有小，即使是最极端情况， 某一模态的贡献为零，求和过程总是可以进行下去 也不致于造成病态，只不过效率降低而已，这是因为 迭加是求和运算的缘故 但是在载荷识别的反分析中，就会产生数值病 态问题为了评估某一模态在反分析中可能会引起 的数值病态的程度，而引入新的量 由
6、( 3 ) 式及模态的正交性可知，每一模态对响 应的贡献是 缸 i = m ( 9 ，( 4 ) 由D u h a m e l 积分公式得( 2 ) 式的解为 毋( t ) ；e - 印，l 亚塑上量些生盟s i n ( 二芦) + Ii 毋( O ) s i n G 弗) + 三I 一，( 9 ，( 厂( r ) 专辑朱以文等：动荷载反分析的模态选择方法 7 9 s i n g j ( 一r ) d r ( 5 ) 其中，e 为阻尼比，叫为自振圆频率，二= r 可 不失一般性，假定初值为零，即丞( o ) = 0 ，毋( o ) 一0 ，得 1 广I q j ( ) ；三Ie - h H 9
7、 丁 ，( r ) s i n 瞄i ( t r ) d r ( 6 ) 则第i 阶模态对响应的贡献为 t 9 ，| 缸) ，= 警l t 丁 ，( r ) ) = X IJ0 。 s i n 瞄，( t r ) d r = 9 ) ；q i ( 7 ) 为了描述第i 个模态的取舍对总响应造成的影 响，在模态向量张成的距离空间中来表示 缸 ，定 义其范数为 0 缸 f I I = Iq ；l 以隔( 8 ) 为了讨论的方便，假设结构只在第忌个自由度 上有载荷作用，在其它自由度上没有载荷作用，则 尹 F 厂( t ) = 似，f t ( f ) ，其中似，指( 9 ) ，中第五个分 量，I (
8、r ) 指 厂( r ) 中第愚个分量 令只有第五个自由度上有载荷作用时的第i 阶 模态对响应的贡献为 血 ；，则 缸 ；血血阻re - h ，I ( r ) s i n 函。( t r ) 由 ， J 0 ( 9 ) 此时 l I 血) I I l = 以隔 l 弘，J ：f h H ( r ) s i 面，o r ) d r I 一一，一一一。一吣 砸1 | f t 西t H 硼fJ 0 s i n g ，( t r ) d rl ( 1 0 ) I ( 1 0 ) 式反映了第五个自由度上作用于载荷时第i 个 模态的取舍对总响应的影响程度，下面在此基础上 分析第i 个模态对载荷识别的影响：
9、 当仍。0 时，0 血 I I 0 由( 1 0 ) 式可知，此时求，I ( r ) 时会遭遇到o o 的数值病态，不论求 ( D 的具体列式如何，这个数 值病态是不可避免的 仍，一0 的情况在实际工程分析中是大量存在 的例如第志个自由度位于振型的节点附近，再如 等直梁结构，在其主轴方向作用的激励力，对与其正 交的另一主轴方向的模态的贡献为零 从而可得到结论：在反分析时，模态截取后，对 模态不作分析而全部投入运算的做法是不合理的 应当剔除掉不合适的模态，这一过程可以称为模态 选取 对高阶模态，五值较大，而一般来讲高阶模 态对总响应的贡献较小在实际运算时0 缸) 值很小，上鲤业I 仍。I 值也很
10、小，此时求厂( r ) 叫I 时也会遇到o o 的数值病态问题这说明，模态的 阶数选择也并非越高越好，餐根据具体问题而定 8 缸) 川值很小时由于实测信号存在噪 声，信号处理过程也存在舍入误差和计算精度的误 差，这些都是反分析必须面对的局面 当实测信号的噪声与n ( 缸 0 同一数量级 时，0 ( 缸 蜕化为一个与载荷信息无关的随机 量，其结果根本不能反映载荷信息这时第i 模态的 引入不仅无助于载荷的识别，反而是引入噪声，使识 别失真，这一类模态也应在模态截取后被剔除 综上所述，上述三类情况都是动态载荷识别这 类反分析问题所特有的，是反分析不适定性所带来 的问题，数值病态作为数值不稳定的表现，
11、也是一种 不适定为了解决这类不适定性，有必要采用模态 选取法即在模态截取后，需进行不合适模态的剔 除过程后，再进行反分析，可以避免数值病态和识别 失真， 本文认为，文献 I 一3 】所研究的口，忌的关系 式应进行修正，模态数r 不应是模态截取后的结果， 而应当是模态选取后的结果 2 模态选取准则和公式 从上面分析可见，各模态对总响应的贡献直接 关系到激励在该模态上的效应大小因此可从各阶 模态对总响应的贡献大小来研究这个问题 上面讨论过，当模态的响应小于噪声水平时，若 将该模态的信息用于动态载荷识别，将会带来病态 问题因此，以噪声水平作为选择模态的标准能直 接反映这一关系信噪比则反映了信号中噪声
12、的水 平，其定义是 S N = 2 0 l g 瓦I - “ 3 ( 1 1 ) 式中B 和P 分别为有用信号和噪声信号的功率 信噪比是按信号和噪声的功率比给出的，通过 信噪比可得到其幅值的有效值比1 - 口 ，设信号的有效 8 0 固体力学学报 2 0 0 6 年第2 7 卷 值与噪声的有效值之比为1 胎，艿根据实际测试结果 的信噪比确定则z z o l a ，噪声的有效值为T o = 缸因此，应被剔除的模态响应满足 ImI 9 ) ， 9 ) ， 缸 ( 1 2 ) 式中I 毋I 为整个时间域内m 的绝对最大值，z 为测 试信号有效值若第i 阶模态满足( 1 2 ) 式，则该阶模 态应剔除
13、由于Iq ，I 不易求取，因此( 1 2 ) 式使用起 来并不方便，还须找到便于应用的形式 将( 6 ) 代人( 1 2 ) 有 嬲i 1 蔷x “ I M I 肛0 钒_ 凡( r ) s i n 瞄，( t D 如I ( 1 3 ) 式中五为激励点个效，( j ) 表示激励点的排序，而并 不是振动系统中自由度的排序 ( 1 3 ) 式中，由于凡( r ) 是待识别量，因此式中 的积分量为未知量，该式还不可直接应用 f o e - - J “ ( 一向( r ) s i n 瞄。( t r ) d r l 表现为动态载荷 的作用效应若设第愚个激励在P 个模态下的效应 最大则有 & ；Ir ：
14、即H ( f ) sn 瞄，( t - r ) d r I i ( t - r & 2 I J 。即H ( f ) s n 瞄， l f e _ 印( H 乃( f ) s i n 面( t r ) d r l ( 1 4 ) 式中i = 1 ，班，歹= 1 ，K ，小为模态总数 因此有 蕊吉嘉I M I fl 水一凡( r ) s i n r ；，( t - - r ) d r l IJ0l 珊坠。u i ( 妻j ) - - II 彻。I ( 1 5 ) 态载荷识别中，采用( 1 7 ) 作模态选取时，若载荷的 频域较宽，该方法选取模态做动态载荷识别可取理 想的结果若载荷的频域较窄，7 r
15、 J - 能会出现数值溢 出，此时，可从高阶减少1 、2 个棋态，就可达到理想 的结果 3 结论 在动荷载的反分析中存在着计算模态的合理选 择问题，模态选择的原则是尽量减少信号的损失，但 需保证不适定问题的求解条件模态阶数的选取与 激励信息有关，但不是简单的数量上的关系模态 阶数选取的过多或过少不仅仅是精度问题，而是物 理模型是否合理的问题，物理模型不合理同样会引 起不适定问题，导致反问题“不可解”尤其是多点 激振情况，这个问题更为重要在动态载荷反分析 中，采用选取模态的概念比采用截取模态的概念更 为合理同时，文献 1 6 中所讨论的口r 愚中 r k 关系不成立，不必再讨论 对于动态荷载识别这类反分析问题结构模态 的确定必须根据反分析的特点，放弃正分析中所用 的模态截取法，而采用模态选取法，在剔除了造成数 值病态的“不合适”模态后，再进行反分析更为合 理 识别模型的稳定性对动载荷识别的精度和抗干 扰能力有着直接的影响，稳定的识别模型不会放大 误差及噪声，可以提高识别的抗干扰能力采用本 文提出的模态选取法是对识别模型的稳定性保证条 件之一经
