《自动控制原理3.3~3.4 二阶系统时域分析综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理3.3~3.4 二阶系统时域分析综述（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3-3 二阶系统的时域分析,能够用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛，例如，RLC网络、电枢控制的直流电动机、弹簧-质量块-阻尼器系统等。此外，许多高阶系统在一定条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。因此，详细讨论和分析二阶系统的特性，具有极为重要的实际意义。,一、二阶系统数学模型,标准形式：,标准形式：,闭环特征方程：,标准形式：,闭环特征根：,单位阶跃输入r(t)=1(t)时，其二阶系统的输出的拉氏变换为,显然，随着阻尼比的不同, 二阶系统特征根(极点)也不相同， 系统的响应形式也不同。 以下研究n一定，阻尼比不同时的单位阶跃响应。,二、二阶系统单位阶跃响应,t
2、,发散振荡,两个特征根位于S右半平面，输出响应含有 模态，具有正幂 指数，动态过程发散振荡或单调发散。,2、 =0: 无阻尼系统,两个特征根为一对共轭纯虚根： s1,2=jn,3、 01: 欠阻尼系统,两个特征根为一对负实部共轭复根：,令： ，称为有阻尼振荡频率,（1）单位阶跃响应：,欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成： a. 瞬态部分是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根实部的绝对值 n ( 即，特征根实部）的大小, b. 振荡角频率为阻尼振荡角频率 d（特征根虚部)。 c. 稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；,衰减振荡,阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。,上升时间
3、 tr,单位阶跃响应, 即, 得, 此时,(2) 动态性能指标,单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。,峰值时间 tp,单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。,超调量 %,单位阶跃响应进入 误差带的最小时间。,调节时间 ts,欠阻尼二阶系统的一对包络线如图,包络线,（=5%时）, 工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。,解得,（=2%时）,例题：系统结构图如图所示，要求系统性能指标20，tp=1s （1）求系统阻尼比，自然振荡频率。 （2）确定K与的值。 （3）求阻尼振荡频率，阻尼角 （4）计算上升时间tr和调节时间ts。,闭环传递函数,4、 1: 临界阻尼系统,两个特征根为一对相
4、等负实根,单调上升过程,5、 1: 过阻尼系统,两个特征根为一对不相等负实数实根,单调上升过程,过阻尼二阶系统性能指标(P84),=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1,例题：设角度随动系统如图所示，T=0.1为伺服电机时间常数，若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts1s，问K应取多大？此时上升时间等于多少？,解：闭环传递函数为,为使系统具有尽量快的响应速度，取=1, 2n=1/T=10, n=5rad/s, n2 =K/T=10K,K=2.5,=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1 , T1 =0.2, ts=4.75T1=0.951s, tr=3.5
5、/5=0.7s,以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：, 在01, 越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； =0.7，调节时间短，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.7为最佳阻尼比。工程希望=0.40.8为宜； 在1 , 越大，系统响应速度慢，调节时间ts也长。,三、二阶系统的性能改善,改善二阶系统性能的两种方法： 比例-微分控制 测速反馈控制,1、比例微分控制,可见，比例微分控制不改变开环增益。,可见，比例微分控制不改变自然振荡频率和开环增益，但增大阻尼比，以抑制振荡，减少超调量。比例微分控制相当于增加了一个零点，故称为有零点的二阶系统。,特点: (1) 引入比例微分控制，系统阻尼
6、增加，其对振荡的抑制强于闭环零点对振荡的扩大。因此，总体是使超调减弱，改善平稳性； (2) 闭环零点的出现，加快了系统响应速度，克服了阻尼过大，响应速度慢的缺点。快速性和平稳性均提高。 (3) 不影响开环增益，即不影响系统稳态误差，自然振荡频率不变。,注意：微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不宜采用比例-微分控制。此时，可考虑用测速反馈控制。,2、测速反馈控制,R(s),(-),C(s),测速反馈控制,可见，开环增益减小。,举例,图1-13b 函数记录仪原理方块图,闭环传递函数：,特点： （1）测速反馈可以使阻尼比增加，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；但不影响系统的自然
7、频率； （2）测速反馈不增加闭环系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的； （3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。,R(s),(-),C(s),例题：设控制系统如图所示，其中（a）为比例控制系统，（b）为测速反馈控制系统，若使系统（b）的阻尼比为=0.5 ，求系统参数K，并计算系统（a）和（b）的各项性能指标。,解：（1）系统(a)的闭环传递函数,解：（2）系统(b)的闭环传递函数,3-4 高阶系统的时域分析,设高阶系统闭环传递函数的一般形式为,设此传递函数的零、极点分别为zi(i=1, 2, m)和si(i=1, 2, , n),
8、则有,令系统所有闭环零、极点互不相同, 且极点有实数极点和复数极点, 零点均为实数零点。 当输入单位阶跃函数时, 则有,一、高阶系统的单位阶跃响应,式中, n=q+2r, q为实极点的个数, r为复数极点的个数。将上式展成部分分式得,对上式求拉氏反变换得,单位阶跃函数作用下高阶系统的稳态分量为A0, 瞬态分量是一阶和二阶系统瞬态分量的合成。 若所有闭环极点均有负的实部，则所有暂态分量趋于零，系统稳定。 (1) 高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数sj和knk决定。如果某极点远离虚轴， 那么其相应的瞬态分量持续时间较短，对系统暂态性能的影响就小。,(2)当某极点sj靠某零点zi很近，相
9、应瞬态分量的系数就越小，极端情况下, 当sj和zi重合时，对系统的瞬态响应没有影响。,偶极子 当极点si与某个零点zj靠得很近时，它们之间的模值很小，那么该极点所对应的系数Ai也就很小，对应暂态分量的幅值亦很小，故该分量对响应的影响可忽略不计。这样的一对相距很近的闭环零极点称为偶极子。工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级时，就可认为这对零极点为偶极子。 偶极子的概念对控制系统的综合校正是很有用的，有意识地在系统中加入适当的零点，可以抵消对系统动态响应过程有不利影响的极点，从而使系统的动态性能得以改善。,二、闭环主导极点,距离虚轴最近的极点，且其周围无零点，对过渡过程影响较
10、大 。,判断闭环主导极点的两个条件如下： (1)在左半s平面上，距离虚轴最近且附近没有其他的闭环极点和零点。 (2)其实部的长度与其他的极点实部长度相差5倍(实际中3倍）以上。,若主导极点为一个负实数，高阶系统近似为一阶系统；若主导极点为一对共轭复数，高阶系统近似为二阶系统。,三、高阶系统性能估算 略去非主导极点和偶极子，用主导零极点对应的低阶系统估算高阶系统性能指标。,结论：增加闭环非主导极点使峰值时间增大，但可以增大系统阻尼，使超调量减小。,小结,二阶系统特征根分布与稳定性关系 欠阻尼二阶系统响应及性能指标计算(*) 改善二阶系统性能的方法 闭环主导极点、偶极子概念 利用主导极点、偶极子进行高阶系统性能估算,作业,P135 3-4,3-7,
