高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制2 新人教a版必修4

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1、1.1.2 弧 度 制,【知识提炼】 1.度量角的两种制度,度,弧度,半径长,rad,2.弧度数的计算,正数,负数,0,3.角度制与弧度制的换算,4.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l=_. (2)扇形面积公式：S=_=_.,R,【即时小测】 1.判断. (1)1rad的角等于1度的角.( ) (2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应.( ) (3)不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关.( ),【解析】(1)错误.1 rad57.30与1度的角不相等. (2)正确.对于弧度数为的角有唯一的角度数为 度角与

2、之对应. (3)错误.用角度制或用弧度制度量角，均与圆的半径长短无关. 答案：(1) (2) (3),2.与120角终边相同的角的集合是( ) A.|=k360+ ，kZ B.|=2k+120，kZ C.|=k180+120，kZ D.|=2k+ ，kZ 【解析】选D.与120角终边相同的角：=120+k360，kZ或= +2k，kZ.,3.半径为2，圆心角为 的扇形的面积是( ) 【解析】选C.由扇形的面积公式可得，此扇形的面积是,4把下列各角从弧度化为角度. （1） =_.（2）- =_. 【解析】（1） （2） 答案：（1）210 （2）-240,5把下列各角从角度化为弧度. （1）31

3、5=_.（2）-75=_. 【解析】（1）315= （2）-75= 答案：（1） （2）,【知识探究】 知识点1 角度制与弧度制 观察图形，回答下列问题：,问题1：角与实数能否一一对应？ 问题2：比值 与所取的圆的半径大小是否有关？,【总结提升】 1.角与实数的对应 (1)角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：即每一个角都有唯一的一个实数(例如这个角的度数或弧度数)与它对应；反过来每一个实数也都有惟一的一个角(如弧度或角度数等于这个实数的角)与之对应. (2)由于弧度制的单位与实数单位一致，所以能给研究问题带来方便.,2.“角度”与“弧

4、度”的区别与联系 (1)区别： 定义不同. 单位不同.弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略. 弧度制是十进制，而角度制是六十进制.,(2)联系： 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关. “弧度”与“角度”之间可以相互转化.,3.常见的角度与弧度的换算结论,知识点2 弧度制下扇形的弧长、面积公式 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：计算扇形的弧长和面积关键是需要哪几个量？ 问题2：角度制和弧度制下的弧长公式和面积公式哪个更简洁？,【总结提升】 1.对弧度数计算公式的两点说明 (

5、1)我们常用= 来求解圆中圆心角所对的弧度数，一般来说，在圆 中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数.但在平面直角坐标系中， 所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角上添加正负号，故 这个求弧度数的公式常常记为|= . (2)在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为：l=|r， S= lr= |r2，其中为圆心角的弧度数，r为扇形的半径.,2.对弧度制下弧长公式、扇形的面积公式的三点说明 (1)公式中共四个量分别为，l，r，S，由其中的两个量可以求出另 外的两个量，即知二求二. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式 简单得多，但要注意它的前提是为弧度制. (3)

6、在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： l=|r，|= ，r= ；S= |r2，|=,【题型探究】 类型一 角度与弧度的互化及应用 【典例】1.把下列各角从弧度化为度. (1) =_.(2) =_. 2.把下列各角从度化为弧度. (1)-1440=_.(2)6730=_. 3.把下列各角化成2k+(02，kZ)的形式，并指出是第几象限角. (1)-1500.(2) .(3)-4.,【解题探究】1.典例1中，从弧度化为度时要乘以多少？ 提示：弧度数( )=度数. 2.典例2中，从度化为弧度时要乘以多少？ 提示：度数 rad=弧度数. 3.典例3中，2k+(kZ)与的终边有什么关系？

7、提示：终边相同.,【解析】1.（1） （2） 答案：(1)108 (2)15 2.（1）-1 440= （2）6730=67.5= 答案：,3.(1)因为-1 500=-1 800+300=-5360+300. 所以-1 500可化成-10+ ，是第四象限角 (2)因为 所以 与 终边相同，是第四象限角 (3)因为-4=-2+(2-4)， 2-4. 所以-4与2-4终边相同，是第二象限角,【方法技巧】角度制与弧度制的互化的原则、方法以及注意点 (1)原则：牢记180= rad，充分利用1= rad和1 rad= ( )进行换算. (2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad= ( )

8、；n=n .,(3)注意点： 以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写. 以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数. 度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.,【拓展延伸】角度制与弧度制互化的简单化法 记住180= rad，可以采用比例的方式来进行角度制与弧度制的互化，如设75=x rad，则 ，得x= rad，这样求解更简单、方便.,【变式训练】1.（2015银川高一检测）1 920的角转化为弧度数是（ ） 【解析】选D.因为1= rad，所以1 920=(1 920 )rad=,2.将-1 485化为2k+ (02，kZ)

9、的形式是_ 【解析】因为-1 485=-5360+315， 所以-1 485可以表示为-10+ 答案：-10+,类型二 用弧度制表示角的集合 【典例】1.终边经过点(a，a)(a0)的角的集合是（ ） A. B. C.|= +2k，kZ D.|= +k，kZ 2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 012是不是这个集合的元素,【解题探究】1.典例1中，在0，2内，哪个角的终边经过点 （a，a）（a0）？ 提示： 和 的终边经过点（a，a）（a0）. 2.典例2中，在0，2内终边在图中阴影区域内角的集合(包括边 界)是什么？ 提示：| .,【解析】1.选D. 终边经过

10、点（a，a）（a0）的角的集合 |= +2k，kZ， 终边经过点(a，a)（a0）的角的集合 |= +2k，kZ=|= +（2k+1），kZ， 终边经过点（a，a）（a0）的角的集合是 |= +2k，kZ|= +（2k+1），kZ =|= +k，kZ.,2.因为150= 所以终边在阴影区域内角的集合为 S=| +2k +2k，kZ. 因为2 012=212+5360=（ +10）rad， 又 所以2 012= S.,【延伸探究】典例1中点的坐标改为“（-a，a）（a0）”，角的集合是什么？ 【解析】角的集合是|= +k，kZ.,【方法技巧】 1.用弧度表示角的注意点 （1）注意角度与弧度不能混

11、用. （2）各终边相同的角需加2k，kZ. （3）求两个角的集合的交集时，注意应用数轴直观确定，可对k进行适当的赋值.,2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系. (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同. (3)“角度”与“弧度”可以按照“180 = rad”这一等量关系进行相互转化.,【变式训练】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(不包括边界). 【解题指南】先在0，2内确定终边在阴影区域内且在第一、二象限内的角的集合，然后加k，kZ.,【解析】30= ，15

12、0= . 终边在图中阴影区域内角的集合(不包括边界) 是S=| +k +k，kZ.,【补偿训练】用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.,【解析】(1)以OB为终边的330角可看成-30角，化为弧度，即 而75= 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 |2k- 2k+ ，kZ. （2）因为30= rad，210= rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为 =k+ ，kZ，而终边在y轴上的角为=k+ ，kZ，从而终边落 在阴影部分内的角的集合为|k+ k+ ，kZ.,类型三 扇形弧长、面积公式的应用 【典例】(2015淮安高一检测)已知扇形的周长为8

13、cm. (1)若该扇形的圆心角为2rad，求该扇形的面积. (2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角.,【解题探究】本例中需要用到哪些公式？求扇形的面积的最大值的基本思路是什么？ 提示：需要用到弧长公式：l=|r和面积公式：S= lr.求扇形的面积的最大值的基本思路是先建立扇形面积关于半径的函数，再求函数的最大值.,【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，扇形面积为S. （1）由题意得：2r+l=8，l=2r， 解得r=2，l=4，S= lr=4. （2）由2r+l=8得l=8-2r，r（0，4）， 则S= lr= (8-2r)r=4r-r2=-(r-2)2+4， 当r=2时，Smax=4

14、，此时l=4，圆心角= =2.,【延伸探究】 1.（变换条件，改变问法）典例条件下，若扇形面积为3 cm2，求扇形 的圆心角的弧度数 【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为， 扇形面积为S. 由题意得： 解得l=6，r=1或l=2，r=3， 所以= =6或,2.(变换条件、改变问法)典例条件中“周长为8cm”改为“面积为 8cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长. 【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S，则由 S= r2得8= 2r2， 所以r= 所以l=r=2 = (cm).,【方法技巧】弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点 (1)解题策略： 明确弧度制下扇形弧长公式l=|r，扇形的面积公式S= lr= |r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角). 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目 已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解 或列方程(组)求解.,(2)注意点： 在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. 看清角的度量制，选用相应的公式. 扇形的周长等于弧长加两个半径长.,【补偿训练】已知扇形AOB的圆心角为 ，半径长R为6，求： (1)弧AB的长. (2)扇形所含弓形的面积. 【解题指南】(1)将角度化为弧度，再根据公式求解弧长. (2)利用扇形面积减去三角形面积.,【解析】