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1、习题册部分题目解答或提示第一章、概率论的基本概念内容提示：1掌握事件的关系及运算2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等3理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算1掌握事件的关系及运算：重点：和、积、补事件（逆事件）的表示、运算1.1.1 以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：（ D ）。 A）甲种产品滞销，乙种产品畅销； B）甲乙产品均畅销；C）甲种产品滞销； D）甲产品滞销或乙种产品畅销.1.1.2 设,是三个事件，则表示（ C ）。 A） ,都发生；
2、B） ,都不发生；C） ,至少有一个发生； D） ,不多于一个发生提示：以上主要是关于事件关系的理解，以及事件运算的表示，尤其是德摩根定律的应用2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式特例：差事件概率计算转化为包含事件的概率计算特别提示：很多题型都使用到了，这个是一般公式1.1.3 对于任意事件，有（ C ）。A）； B）；C）； D）。 1.1.2设，。在下列三种情况下求的值：1）； 2）； 3）。解：因 1) ；2）；3）。重点：加法公式、乘法公式、条件概率计算的综合使用1.1.6已知，则= 1 / 18 。1.3.4 设事件,则；1.1.3假
3、设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。解：设=甲河流泛滥，=乙河流泛滥，由题意，该地区遭受水灾可表示为，于是所求概率为：(1) (2)应用：根的概率计算1.3.3 若，则方程有实根的概率是 4/5 ；特例：放回与不放回试验结果相同的理解1.1.4 已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。 A） ； B）； C）；
4、 D）.1.2.5 某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为( C )A ) B) C) 3/4 D) 3不可能事件、必然事件、对立事件、相互独立事件、互不相容事件概念的理解1.3.6 辨析题：判断下列命题是否为真，若不为真，请举一反例：1）若，则为不可能事件；2）若，则为必然事件；3）若互不相容，则。 解：反例：向区间上随机投点，则，事件：，.则1）、2）、3）反例依次为事件、和。1.1.6 设，则下列结论正确的有（ A ）。A）相互独立； B）互不相容；C）； D）。1.2.2 设则有（ D ） A) 互不相容； B) 相互独立；C) 或； D) 。 1
5、.2.3 设和互为对立事件，则下列不正确的结论为( B ) A)； B)和独立； C)； D)。1.2.4 设事件是两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论正确的是（ D ） A）互不相容； B）与相容；C）； D）。1.2.6 如果，则下列结论不正确的有（ D ）A）； B）；C）相容； D）互不相容。1.3.5设互不相容，且，则下列结论正确的有（ C ）。A）； B）；C）； D）.4重点：掌握概率的全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式1.1.5有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三个箱中有两个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,
6、任取一件产品,求取到正品的概率。解: 设Bi=从第i个箱子中取到产品(i=1,2,3)，A=取得正品。由题意知=B1+B2+B3 ，B1,B2,B3是两两互不相容的事件。 P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3， P(A|B1)=2/3, P(A|B2)=3/4, P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64 1.1.6已知商场某产品由三个厂家提供，产品次品率分别为、，销售份额分别占、，现消费者因为产品问题提出索赔，但由于保存不善标志缺失，如果你是商场负责人，想将这笔索赔转嫁给厂家，如何分摊
7、最合理？解：设表示产品为不合格品,表示产品是由第个厂家提供的, 由题可得:， 由全概率公式： 由贝叶斯公式: ；.由上可见，比较合理的分配比例应为：，即 .1.2.6 三个箱子，第一个箱子中有3个黑球一个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球，求：（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？ （2）已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？解：设事件表示“取出一球为白球”，表示“取到第只箱子”，则。 由全概率公式得：（1） 由贝叶斯公式得：（2）1.3.3玻璃杯成箱出售，每箱只。已知任取一箱，箱中、只残次品的概率相应为、和
8、，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，则，。 1）由全概率公式得：； 2）由贝叶斯公式：。第二章、随机变量及其分布内容提示：1理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率2理解离散型随机变量及其概率分布的概念及性质，掌握01分布、二项分布、泊松（Poisson）分布3理解连续型随机变量及其概率密度的概念及性质，掌握均匀分布、正态分布、指数分布。4会求随
9、机变量函数的分布 (分布函数法和单调函数下的公式法)1理解随机变量的概念，理解分布函数（离散-分布律、连续-概率密度）的性质2.1.2常数b（ B ）时，为离散型随机变量的概率分布。 A）2 B）1 C）1/2 D）3提示：利用=1，且，利用前后项彼此相消即可得到结果2.2.2已知随机变量的分布函数的是 则 0.5 ； 1/ ； 0.5 。提示：利用分布函数性质：计算。2.1.4 设和分别为随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A）a3/5，b2/5 B) a2/3，b2/3 C）a1/2，b3/2 D）a1/2，b3/2提示：利用分布函数的性质
10、求解，注意，而即寻找满足a-b=1的组合即可，显然只有A。2常用经典6个分布（01分布、二项分布、泊松（Poisson）分布；均匀分布、正态分布、指数分布）的分布（离散-分布律、连续-概率密度）及其性质 2.1二项分布、泊松分布2.3.5、设X服从二项分布，其分布律为，若不是整数，则取何值时最大？（ D ）。 A） B） C） D）提示：这里由于关于k不是一般函数，因此利用求导等方法求解会存在较大问题，因此这里使用最大值比两边值大的性质求解（这个是高中数列的相关知识点），即：，将上述通项代入这两个不等式，求解出k的约束范围即可得出答案！2.2.2 已知其中，则（ D ） A） B） C）1 D
11、）1提示：这里利用级数，注意下标是从零开始才有这结论，而题目中是从1开始，因此在计算时采用添加k=0的项，然后再减去这项的方式求解，具体：1=2.2.1设随机变量的分布律为为常数，则常数。提示：1）直接结合泊松分布分布律，依据形式上对应相等求解； 2）注意利用泰勒展开式：求解该题！2.2均匀分布2.1.4设在（0, 5）上服从均匀分布，则方程有实根的概率为 0.6 。2.2.4设随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 0.8 。提示：1）直接利用第一章几何分布模型绘图求解，但注意实际有效区域； 2）结合均匀分布密度计算概率： 显然方程有解则：，而的概率密度为：，因此方程有实根
12、的概率实则为计算：=0.82.3重点：正态分布：密度函数、对称性、3准则、随机变量函数分布2.1.6若，则。2.2.5设, ，则（ B ）A） B) C） D）2.1.7若，则概率PX= 1/2 。2.1.5设随机变量,且，则（ B ） A) 0 B) C) D) 提示：结合正态分布的性质，尤其注意其对称性的使用！3.2.4设随机变量与相互独立，则下列结论正确的是（ B ）。A. B. C. D. 提示：这里主要是考察对称性，首先计算Z=X+Y与Z=X-Y的分布，如可知Z=X+YN(1,2),利用类似上述几题的思想则可知小于等于1时概率为1/2.同样很多题目也是这样的思想求解！2.3.4设随机
13、变量X服从正态分布，则随的增大，概率应（ C ）。 A）单调增大 B）单调减少 C）保持不变 D）增减不定提示：3准则的理解2.3.1 设随机变量X的概率密度为，且，是的分布函数，则对任意实数，有（ B ） A） B） C） D) 提示：可以结合正态分布来理解这道题！2.2.5设随机变量的概率密度为，则2.3.5设随机变量服从（0，2）上的均匀分布则随机变量在（0，4）内的概率密度为。提示：课件里面有证明过这样的同样结论，查询一下！2.3.5 设为正态随机变量，且，又，求。解：由 3随机变量函数的分布 (分布函数法和单调函数下的公式法)2.3.3设随机变量X服从指数分布，则对随机变量的分布函数，下列那一个结论正确（ D ）。A) 是连续函数 B) 至少有两个间断点C) 是阶梯函数 D) 恰好有一个间断点提示：这里你结合第三章最后一节最小值函数的分布求解这题，利用最小值分布可知，的分布函数为，注意由于指数分布为连续的分布，不存在间断点，而另一个量2在这里表示这个随机变量取值只有一个，即分布律
