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1、,重点：, 正弦量的三要素、相位差, 正弦量的相量表示, 电路定律的相量表示形式, 相量图,第八章 相量法,一、 正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+ ),波形：,二、正弦量的三要素：,(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im,反映正弦量变化幅度的大小。,8. 1 正弦量的基本概念,(2) 角频率(angular frequency)w,单位： rad/s，弧度 / 秒,w t+ 称为正弦量的相位或相角。,w ：正弦量的相位随时间变化的角速度。,反映正弦量变化的快慢。,频率f ：每秒重复变化的次数。,周期T ：重复变化一次所需
2、的时间。,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,(3) 初相位(initial phase angle) ,(w t+ ) 大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角(wt+ )= ，故称 为初相位角，简称初相位。,i(t)=Imcos(w t+ ),反映了正弦量的计时起点。,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。, =0, =/2, =-/2,一般规定：| | 。,对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对于一个电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。, =,三、同频率正弦量的相位差 (phase difference),设 u(t)=Umcos(
3、w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i),则 相位差 即相位角之差： j = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i, j 0， u 领先(超前) i ，或 i 落后(滞后) u (u 先到达最大值)；, j 0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i (i 先到达最大值)。,恰好等于初相位之差, u, i,j, u 0 i 0,j =0， 同相：,j = (180o ) ，反相：,规定： | | (180)。,特殊相位关系：, = p/2：u 领先 i 于p/2, 不说 u 落后 i于3p/2； i 落后 u于p/2, 不说 i 领先 u于3p/2。,同样可比
4、较两个电压或两个电流的相位差。,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,电流有效值定义为：,瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。,物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。),1. 周期电流、电压有效值(effective value)定义,8. 2 周期性电流、电压的有效值,W2=I 2RT,同样，可定义电压有效值：,2. 正弦电流、电压的有效值,设 i(
5、t)=Imcos( t+ ),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V， Um537V。,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,1. 复数A表示形式：,F=a+jb,一、复数及运算,8. 3 正弦量的相量表示,两种表示法的关系：,或,2. 复数运算,则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加
6、减运算直角坐标,若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2,加减法可用图解法。,F1+F2,(2) 乘除运算极坐标,除法：模相除，角相减。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,则:,解:,例2.,(3) 旋转因子：,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,F ejq 相当于F逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,解：上式,ejp/2 =j , e-jp/2 = -j, ejp= 1 故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,几种不同 值时的旋转因子：,两个正弦量,i1+i2 i3,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。,因同频的正弦量相加仍得到同频的正
7、弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。,角频率： 有效值： 初相位：,二、正弦量的相量表示,i1,i2,i3,于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。,1. 正弦量的相量表示,选一个复函数,没有物理意义,若对F(t)取实部：,是一个正弦量，有物理意义。,对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：,F(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。,F(t)还可以写成,称 为正弦量 i(t) 对应的相量。,正弦量的相量表示:,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅
8、角表示正弦量的初相位,加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1.,试用相量表示i, u .,解：,相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：,例2.,试写出电流的瞬时值表达式。,解：,我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的几何意义：,ej t 为一模为1、幅角为 t 的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0T时，相量旋转一周回到初始位置， t 从02。,2. 相量运算,(1) 同频率正弦量相加
9、减,故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。,i1 i2 = i3,可得其相量关系为：,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,首尾相接,2 . 正弦量的微分,微分运算:,3 . 正弦量的积分,积分运算:,4. 相量法的应用,求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解),例,一阶常系数 线性微分方程,自由分量(齐次方程解)： Ae-R/L t,强制分量(特解)：Imcos(w t+ i),解:,用相量法求：,取相量,小结, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。, 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微
10、分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。,一、 电阻,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系：UR=RI,相位关系u= i (u,i同相),相量关系：,8.4 电路定律的相量形式,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。但始终大于零， 表明电阻始终是吸收（消耗）功率。,二 、 电感,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,1. 相量关系：,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；U= XL I= LI= 2fLI,(2) 感抗和频率成正比；,相量表达式:,XL= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=-1/ L = -1/2fL， 感纳，单位为 S (同电导)
11、,2. 感抗和感纳:,功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负， 一周期内刚好互相抵消。,三、 电容,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系： IC=w CU,相位关系： i = u +90 (i 超前 u 90),相量关系：,令XC=-1/w C， 称为容抗，单位为 W(欧姆) B C = w C， 称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比, w 0， |XC| 直流开路(隔直) w ，|XC|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳：,相量表达式:,功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有 负，一周期内刚好互相抵消。,对于电路中任一结点，,根据KCL有：,对于电路中任一回路，,根据K
12、VL有：,四、基尔霍夫定律的向量形式,例8-3,例8-4 图示电路，电流表A1的读数为5A， A2的读数为20A， A3的读数为25A， 求电流表A和A4的读数。,1、正弦量及三各要素,i(t)=Imcos(w t+ ),振幅：Im 角频率： w 初相： ,2、有效值,3、同频率正弦量的相位差,j ui = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i,本章小结,j ui = u- i 0,电压超前于电流,j ui = u- i 0,电压滞后于电流,规定： | | ,4、有效值相量,5、相量的性质,a、同频正弦量的代数和,i1 i2 = i3,6、相量图,b、正弦量的微分,c、正弦量的积分,7、电路定律的相量形式,a、电阻,瞬时功率：,电阻总是消耗功率的,b、电感,c、电容,功率：,d、基尔霍夫定律,
