分形力学的数学基础

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1、第卷第 期 年月 日 力学进展 。 一 分 形力学的数学 基础 谢和平 中国矿业大学北京研究 生部分形力学研究所 , 北京 中国科学院力学所非线性连续介质力学开放实验室 , 北京 提要在分形空间考虑的力学称为分形力学由于分形理论的特点 , 分形力学的描 述 需要引入新的空间概念 、 新的数学手段和方法本文从介绍空间 、 测度和维数入 手 , 引入了分形 空间 , 空间和分形插值方法 , 进而介绍 了在分形边界和分形 体中力学量 和力学定律的定义 关键词分 形 力学 , 空间 , 分形插值 引言 众所周知 , 现有力学理论和定律是建立在欧氏空间即整数维空间的假设上 。 然而自然界 中存在大量的分

2、形边界如不规则边界条件 , 裂纹 , 内界面等和分形物体如某些孔隙介 质 一” 对这些分形边界和分形体的力学行为 , 现有力学理论只能给出近似描述 , 有时甚 至无能为力 。 我们 必须采用新的数学手段 和方法才能去描述它们本质的力学行为 。 在分形空间考虑的力学 我们称为分形力学分形力学是一个全新的领域由于分形几何 的不规则性 , 现有的力学概念和力学定律需要重新去认识和建立我们需要去研究分形 力学的数学基础 , 在分形空间力学量的定义 、 力学定律的适用性 , 结构分析计算在分形 空间 中的拓广具有分形边界或区域的力学间题的求解等等 由于分形几何本身也处于发展 阶段 , 我们只能对上述问题

3、进行初步的探讨和讨论 空间 、 浦 度 、 维教 空间是数学 中经常遇到但又很难给出确切定义的概念通常 , 如果在基本集中引进某 些公理就称它为某类空间由于给定一个集合仅仅是将具有某种共同特性的元素 集 合在一 起 , 而给出一个 “ 空间 ”就意 味在集合的元素中建立了某种 “ 结构 ”, 犹如砖 、 瓦 、 水泥等只能 是建筑材料的集合元素 , 只有给定它们间的某种结构才能建成房屋 空间只有建立了空 间的概念 , 才能促使数学研究的手段应用到抽象集合 中去 国家自然科学基金 , 国家科委重大基础性理论课题 “非线性科学” 项目和国家教委跨世纪优秀人才专项基金资助 。 拓扑空间 对于基本集

4、, 如果存在由的子集构成的集簇压会 产 满足如下拓扑定理 空集功 , 梁 卢 若 任劣 , 。 , , 则 自 。劣, 论一 若 劣 , 又任 , 为指标集 , 则 日 , 劣 几 则称 凳声 为的拓扑 , 卜身广 为拓扑空间 。 。 洲度空 间 设为基本集 , 是由的子集构成的集类印 一 代数 , 如果在上定义实值函数 群 满足测度公理 产 叻 , 盈 , 邵 若 。任 , 无 , 自 “ 尸 , 价 铸力 , 则 乙 升 。 成立 , 则称以 为上的测度 , 任 为 群的可 测集 , , 心为 测度空间 。 度,空 间 设是非空集合 , 对任意 , , 设 , 是实数且满足公理 , 万 ,

5、 当且仅当 , 时 , 己 , 百 , 劣, ,劣 ,之,名, 任 。 则称为上 的度量 , , 称为度量 空间 设 弋 。 了 。, 表 示函数在 , 们上 尹次幂 可积函数的全体 , 即 吞】 “ 。 , 了 “ 定义 , , , 。 , 卜 “ 、,一, , , 则 弋罗 。】, , 为函数度量空间 , 简记为性 。犷 。 。 线性斌范空 间 设为上的线性空间 , 若有泛 函、满足 任 , 当且仅 当叻时 , 。 任 , 任 , , , , , 夕 簇 百 则称到为的范数 , 为线性赋范空间 , 简称赋范空间 内积空间 设是复数域上的线性空间 , 若泛函 , ,满足 任 , , 且 ,

6、仅当仍 , 万任 , 万夕 , 共扼对称 , 刀 夕 ,名, 口夕 ,名 任 , 夕任 则称 , 是中的内积 , 称为内积空间 由内积空间可构造赋范空间赋范空间中的序列称为序列 , 当且仅 当 。 一 。 。 ,杭, 赋范空间是完备的 , 假若中每个序列收敛到中的一个极限 完备的赋范空间 叫空间完备的内积空间 叫空间 空 间 , 尹为正数 的几种情况 , 表 示上关于测度 尹方可积函数空 间对 任 , 定义 范数 ,“, 、 , “ ,、 表示上本 性有界可测函数的全体 , 即幻和上一个有界函数几乎处处相 等令 。 以 一 一 。 。 州 ,。 为了的本性最大模 表 示满足乙 。 印乡的序列

7、, 的全体 , 令 , , 象 一 则 , 是空间在一定内积下 , , 也是空间 空 间 空间是 由多个实变量的弱可微函数所组成的一类 。 空间设区域 二 , 。是 非 负 整 数 , 尹 设函数 。 。 , 少 “ 是 。 的 。 次弱偏导数记 ” 二 恤 。” 连续 , 且 缪 “ “ 簇“之连续以及 刀 。 ,连 续 , 且缪 “ 连续对任意 任 , 甜 , 定义泛 函 。, 、 二、, 乙 镇簇 。二 , , 镇, 二 , “ 少 西。 毛蕊爪 , 是 , 的范数构造下列个空间 二 。任 , 甜 必 任 , 镇。 万柔 。任 】 , , 艺 一 百在柔 中的闭包 幻 , 汽幻与名 ,

8、为上 的空问 。 卜中称其 则 洲度 一, 让集合是 “ 中的坐标块 , 如果 , , , 。,。 式中 二 , 的 我们称正实数 ,一, 一 一 二 为坐标块的体积是 “ 和 “中规整几 何物的面积与体积在高维欧氏空间 中的推广 设坐标块序列 , 能将集合 仁 覆盖住, 便说对是的一个覆盖于是 , 取正实数 了 ” 乙 称为。 。一维 测度从定义可见 , 女 “ 相当于面积 , 穿 “。 相当于体积 测度 一 设是 ” 中任意非空子集 , 的直径定义为 一夕 , 任 即在中任意两点的最大距离定义为的直径如 是可数序列 , 由半径不超过覆盖 工 任 少 的“的集合组岭对每个 , ,万 , “且

9、工江 只 , 我们说 右 是的 一 覆盖 。 让 仁 , 为非负数 , 对定义 扩“ , 弓 , , ” ,是的“ 一 覆盖 为了缩小计算误差 , 我们将覆盖 加细 , 即减小, , 由式得 老犷 二 扩母 二 瑰 馨, “ 乙 , ” 由式可见 , 随减小崔 笋忘增加 , 罗母满 足测度定义 、爹, 伙的极限值对任何子集 二 存在包括和则称扩 , 伙为的 一 维测度 维数 , , 由式和可见 , 招犷 , 母和砂 , 工关于刀是非增的 如 。且万 是的占 一 覆盖 , 则 乙 一 乙 ” 方程两 边取下确界得 咬扩 执 一刀 扩 , 叔让、。 , 将得到扩 。, 而逻罗 夕 二 当可见 扩

10、, 伙从到 。跳跃时存在 的一个临界值这个临界值称为的 维数 , 记为 。 有些研究者也称为 一 。 维数 。 形式上 健 犷洲 犷 使得 扩“ , 如 如 , 如 , 则 测度 、罗” 可以是 。或 或满足 叠犷 分形空间与分形插值 。 分形空 间 设集合 仁 的维数为如果的严格大于它的拓扑维数 , 即 , 则称为分形集 , 简称为分形 定义为集合的维数 。 让 , 姗为具有度量的完备度量空间 , 由 表示的完备子集空间定义 , 为集合 和 仁 之间的距离 , 万 任 , 夕任 则具有测度的集合的空间为 , 任 是完备测度空间 , 称之为分形空间 。 分形擂值方 法 在分形理论中最有用的概念

11、之一就是 。定 义在上的迭代函数系统 工 这个系 统是 由 。 个具有压缩因子 任 , , 的压缩映射 组成 , 即 , 召 镇 , 夕 , 任 , 推论让 , , , 时 是一个 。 我们定义一个新的集 值函数 、使得 二 任 , 任 并让 , 日 , 任 集值函数是在上具有压缩因子 , ,。 的压缩映射这样 , 它存 在一个唯一 固定点集合 使得 日 集合可以迭代地给出 门 , 任 式中 。,用 二 价一 , 被称为的向前迭代集合也称为 ,。 的确定性吸引子由前面的定义 , 也 是相应于的确定性分形 。 给定集合 任 , 任意小数如果定义 , , 艺 , 耐使得 , , 息 “,簇 , 则

12、在和 的吸引子之间的距离比 还小, 由定义 , 当使尽 量地小时 , 我们就能由获得很好的分形近似 由此我们可引入分形插值方法考虑维数据集 , 万少是二。 , , 现 在 我 们 的目的是寻找分形插值函数 万 。, 勒”使得 劣 夕落 , , 考虑 由剪切变换 一,一一, 二 之 “ 二, , 一 , 定义 , 艺二 , , 式中的 称为标度 因子是 自由参数 , 满足 “ 其他参数可由下 面的关系来确定 , 口 一 一劣。 万 卜一 一论补 肠 二 丛二里止 一 。 一 夕万一 劣一劣。 二 兰 卜 一劣 一 劣丹夕。一汉劣。 劣 一劣。 劣刀一劣。 推论让表示由式一定义 的的吸引子吸引子是

13、 由数据集 , 。 , , 插值而成 的连续函数 。, 的象如果 是连 续函数 万 。, , 的集合 , 则该函数序列歹 。十, 幻歹 。 幻在时收敛于 吸引子 这里 “ 定义为 歹 歹 艺 , , 由 耳 , “, 容易证 明如果点 。, 一 二 是等间距的 , , 不全在一条直线上 和乙 , 则的维数为 。二 , 愈 “ , 式意味着我们 可以构造一组插值函数具有分维使得 乙 卜 。一 如果 。, , 不是等距 的和 】 , 则是下面方程 的解 乙 一 式中 由式定义注意到参数 的适当选择可能使非常接近和即线状分形 和表 面分形例如考虑一条裂纹 , 裂纹 面可 由一组坐标集 , 夕 , ,

14、 来表 示 , 当使用分形插值函数由方程就可直接估算出该裂纹面的分维 分形空 间中的力学皿和力学定律 定义 和假设 至今力学中的所有量均是在整数维空间定义的这些量在分形空间代表什么它们与其 相应的分形量存在什么对应关系 , 这属于分形力学最基本 的研究范畴 假设存在一个具有整数维数的变形体序列 , 二 “ 使得在”时有 。 , 。 让表 示定义在上的力学量如 口 , 等 , 定义作为 二 在 。 的极限如极限存在的 话这里为定义在 二 上与口相 同的力学量注意到在分形情况下 , 这个极限不一定存 在例如定义物体 江 边界上的引力 二 衍和法向位移 、 如假设物体的边界至 少是函数 兄 凡 “

15、一 , 几 云 , 任 , 和 元 相 的一部分这个相具有维 数 , 是分形集由于这个函数是处处连续和处处不可微的 , 不能像经典力学一样在边界的分形部分去定义法 向外矢量和 。 , 类似地 二, 七也是如 此 。 可是物理本质表明即使在这种情况 , 在上的和 的定义也应 当是可能的 我们回顾一个具有分形 边界 维数介于 ,一 与之间的区域 , 典型 的例子是 。任 中 的 。 雪花区域 , 即 中位 于雪花分形曲线之中的有界区域这条 曲线具有维 数 , 它可以按下列方式作为集序列 。, ,。 在度量下的极限 而构造 出来我们从一个边 长为的等边 三角形 的边界 。开始, 第一步先三等分 。 的每条 边 , 再用以其中间部分为基边 且对角在 。外 的等边三角形 的另外两条边来替代这个中间 部 分 , 得到 , 厂 , 由条长为 一 的边组成 , 第二步以同样的方法从得到依次类 推 当 。 二时 。 就成为雪花分形曲线 。 这个思 想可以作为 我们假设的根据 , 我们