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1、山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓 名张娟院 系数学与计算机科学学院专 业信息与计算科学班 级12510201学 号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成 绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离 一阶隐式微分方程 积分因子 求解技巧Elementary Solut
2、ion and Solving Skills of Ordinary Differential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, its necessary to grasp the elementary solution of ordinary dif
3、ferential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representa
4、tion, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论12.变量分离方程与变量变换12.1变量分离方程的解法12.2变量分离方程的举例12.3变量分离方程的几种类型23.线性微分方程和常数变
5、易法63.1线性微分方程与常数变易法63.2伯努利微分方程84.恰当微分方程与积分因子94.1恰当微分方程94.2积分因子115.一阶隐式微分方程与参数表示135.1一阶隐式微分方程的主要类型136.常微分方程的若干求解技巧186.1将一阶微分方程变为的形式186.2分项组合196.3积分因子的选择207.总结21参考文献21致谢22常微分方程的初等解法与求解技巧学生姓名：张娟 指导教师：王晓锋1.引论常微分方程的实质就是一个关系式，这个关系式是由自变量、未知函数和未知函数的导数组成的，且自变量的个数为一个1丁同仁，李承治.常微分方程教程M.北京：高等教育出版社，1998，1-27.1.其发展
6、历史经历了一个很漫长的过程，在这个发展过程中涌现出很多科学家例如欧拉、拉格朗日、柯西等，他们对常微分方程的发展做出了很大的贡献.常微分方程的发展历史可分为三个阶段，分别是“求通解”阶段、“求定解”阶段、“求所有解”的新阶段1.常微分方程在数学中占有很重要的地位，有很多伟人例如赛蒙斯都曾评价过常微分方程在数学中的地位，指出其在数学中的不可替代的作用2 美塞蒙斯GF.微分方程M.张理京译.北京：人民教育出版社，1981.3王高雄，周之铭，朱思铭等.常微分方程(第三版)M.北京:高等教育出版社，2006.7,1-80.4焦洪田.一阶非线性微分方程的常数变易法J.雁北师范学院学报，1999.12，44
7、-45. 5郑重武. 一类微分方程的积分因子及其解法.运城学院报.2008.6华东师范大学数学系.数学分析（第三版上册）M.北京：高等教育出本社,2001.6,1-23.7孙清华，李金兰，孙昊.常微分方程内容.方法与技巧M武汉：华中大学科技出版，2006,8-10.8黄启星，任永泰，陈秀东等.常微分方程M.上海:人民教育出版社，2008,173-180.致谢: 从论文的选题开始到现在，碰到过许许多多的问题，每次出现问题王老师都会给予细心指导，非常谢谢他对我的帮助，对他的感激之情是无法用言语表达.其次，感谢全部帮助过我的舍友们，在我困惑之余伸出援手，他们传授的知识是我完成论文的基础，论文中遇到的
8、问题如果不与她们讨论是不可能顺利解决的.最后，感谢各位评审老师对此论文不足之处的指导纠正.2.常微分方程非常重要，其初等解法有很多种，我们应该掌握其初等解法与技巧.2.变量分离方程与变量变换2.1变量分离方程的解法 对于变量分离方程，若，则有 ： ，两边积分，得到:，为任意实数.如果 得，验证一下是否包括在中，若不包括，需补上特解.2.2变量分离方程的举例（1），求该方程的解解：当时，两边积分，得到：，为任意实数故 ，为任意实数显然y=0包括在中，故方程的通解为：，为任意实数2.3变量分离方程的几种类型2.3.1齐次微分方程 对于齐次微分方程，解法：令 则有： ， （2-1）两边对求导得：，
9、（2-2）将（2-1），（2-2）代入齐次微分方程中可得：，即 ，从而可以求得其解举例：求解方程.解：原方程可化解为：，这个方程为齐次微分方程，令，则有 ，两边对求导得： ，将和代入原方程中得：，这个方程为可分离变量方程，当时解之可得： ,其中为使等式有意义的任意常数.即当时，显然是的解，且不包含在中，将代入或中可得：2.3.2有理比式的三种类型类型一（常数）情形，则原方程变为：，故方程的通解为：，其中为任意常数.举例：求解下列方程的解.解：根据题意可得：，即 ，故可得： ，为任意常数.因此原方程的通解为：，为任意常数.类型二情形，令，两边对求导可得：，这个方程是变量分离方程.举例：做适当变换
10、求解方程.解：经判断为第二种类型，令 ，两边对x求导可得：，故可得:，解之可得： ，为任意常数.将代入并化简可得：，为任意常数.类型三情形，如果方程中的，不全等于零，都是，的一次多项式，则 （2-3）可以求得解为： 令 则（2-3）化解为： 故化为:，故可以解出该方程的解，解出其解，再将 带入其解中，从而得到所求方程的解.举例：解下列方程 .解：显然，故为第三种类型，解方程组 得： ，.于是令 代入原方程中，则有：，这个方程为可变量分离方程，故令，则 ，等式两边对求导可得：，将代入中得到：,化解得：，解之可得： ，换入原来的变量得：，其中为任意常数.故原方程的解为：，其中c为任意常数.上面三种
11、类型解题方法和步骤也适用于下列类型的方程：(1)，(2)，(3)，(4).3.线性微分方程和常数变易法3.1线性微分方程与常数变易法如果一阶线性微分方程可表示为：，这里，在定义域上是连续的函数.如果，则原式变成，故形如的类型通常叫做一阶齐次线性微分方程1.如果，则原式变成，故形如的类型通常叫做一阶非齐次线性微分方程1.因为变量分离方程，其通解为：，为任意常数.下面讨论形如形式的方程解的求法.由上可知其所对应的齐次微分方程的解为：，令 ， （3-1）两边对求导可得： ， （3-2）将（3-1），（3-2）代入中并化简可得：，两边积分得：，其中是任意常数.因此可得原方程的通解为： ，这里是任意常数
12、.这种方法叫做常数变易法1.举例：求解方程.解：该方程所对应的齐次线性微分方程为：，解之得： ，为任意常数.令， （3-3）两边对求导可得： ， （3-4）将（3-3），（3-4）都代到中并化解可得：，因此有： ，从而可以求得该方程的解为：，为任意常数.因此可得原方程的通解为： ，这里为任意常数.3.2伯努利微分方程定义：形如的类型，并且是常数，其中，关于是连续的，故我们称为伯努利微分方程2解法：明显是这个方程的一个解.当时，在这个方程两端同乘得：， （3-5）于是令 ， (3-6)两端对x求导有： ， (3-7)将(3-6)等式、(3-7)等式代到(3-5)等式里并化简可得：，从而可以求得该方程的通解.
