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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2013年广东，理1，5分】设集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】易得，所以，故选D（2）【2013年广东，理2，5分】定义域为的四个函数，中，奇函数的个数是（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1【答案】C【解析】，为奇函数；为偶函数；为非奇非偶函数共有2个奇函数，故选C（3）【2013年广东，理3，5分】若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【
2、解析】由，得，故对应点的坐标为，故选C（4）【2013年广东，理4，5分】已知离散型随机变量的分布列为123 则的数学期望（ ）（A） （B）2 （C） （D）3【答案】A【解析】，故选A（5）【2013年广东，理5，5分】某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）（A）4 （B） （C） （D）6【答案】B【解析】解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示， 其中上、下底面分别是边长为1，2的正方 形，且面，上底面面积，下底面面积又，故选B解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示在四棱台中，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1都为正方形，且平面，分别延长四棱台各个
3、侧棱交于点，设，因为，所以， 即，解得，故选B（6）【2013年广东，理6，5分】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【答案】D【解析】选项A中，与还可能平行或异面，故不正确；选项B中，与还可能异面，故不正确；选项C中，与还可能平行或相交，故不正确；选项D中，又，故选D（7）【2013年广东，理7，5分】已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，在双曲线的方程是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由曲线的右焦点为，知由离心率，知，则，故，所以双曲线的方程为，故选B（8）【2013年广东，理8，
4、5分】设整数，集合令集合且三条件，若和都在中，则下列选项正确的是（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】B【解析】解法一：特殊值法，不妨令，则，故选B解法二：由，不妨取，要使，则或当时，故，当时，故，综上可知，故选B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913）（9）【2013年广东，理9，5分】不等式的解集为 【答案】【解析】即，解得，故原不等式的解集为（10）【2013年广东，理10，5分】若曲线在点处的切线平行于轴，则 【答案】【解析】因为曲线在点处的切线平行于轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得，故，即（11）【2013年广东，
5、理11，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的值为4，则输出的值为 【答案】7【解析】第一次循环后:；第二次循环后:；第三次循环后:；第四次循环后:；故输出7（12）【2013年广东，理12，5分】在等差数列中，已知，则 【答案】20【解析】依题意，所以 或:（13）【2013年广东，理13，5分】给定区域：，令点集是在上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定 条不同的直线【答案】6【解析】画出可行域如图所示，其中取得最小值时的整点为，取得最大值时的整 点为，及共个整点故可确定条不同的直线（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2013年广东，理14，5分】（坐标系与参数方
6、程选做题）已知曲线的参数方程为(为参数)，在点处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 【答案】【解析】曲线的普通方程为，其在点处的切线的方程为，对应的极坐标方程为，即（15）【2013年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于若，则 【答案】【解析】依题意易知，所以，又，所以，从而 三、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16）【2013年广东，理16，12分】已知函数，（1）求的值；（2）若，求解：（1） （2），因为，所以，所以，所以（17）【2013年广东，理1
7、7，12分】某车间共有名工人，随机抽取名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率解：（1）样本均值为（2）由（1）知样本中优秀工人占的比例为，故推断该车间名工人中有名优秀工人（3）设事件:从该车间名工人中，任取人，恰有名优秀工人，则（18）【2013年广东，理18，14分】如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中（1）证明:平面；（2）求二
8、面角的余弦值解：（1）在图1中，易得，连结，在中，由余弦定 理可得，由翻折不变性可知，所以，所以，理可证， 又，所以平面（2）解法一：过作交的延长线于，连结，因为平面，所以，为二面角的平面角由图1可知，为中点，故，所以，所以二面角的平面角的余弦值为解法二：以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设为平面的法向量，则，即，解得，令，得由（1）知，为平面的一个法向量，所以，即二面角的平面角的余弦值为（19）【2013年广东，理19，14分】设数列的前项和为已知，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明:对一切正整数，有解：（1）依题意，又，所以（2）当时，两式相减得，整理得，即，
9、又，故数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以（3）当时，；当时，； 当时，此时 ，综上，对一切正整数，有（20）【2013年广东，理20，14分】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点（1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值解：（1）依题意，设抛物线的方程为，由结合，解得所以抛物线的方程为（2）抛物线的方程为，即，求导得，设，(其中)，则切线的斜率分别为，所以切线的方程为，即，即，同理可得切线的方程为，因为切线均过点，所以，所以为方程的两组解所以直线的方程为（3）由抛物线定义可知，所以，联立方程，消去整理得，由一元二次方程根与系数的关系可得，所以，又点在直线上，所以，所以，所以当时， 取得最小值，且最小值为（21）【2013年广东，理21，14分】设函数(其中)（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最大值解：（1）当时， 令，得，当变化时，的变化如下表:极大值极小值 右表可知，函数的递减区间为，递增区间为，（2），令，得，令，则，所以在上递增，所以，从而，所以，所以当时，；当时，；所以，令，则，令，则，所以在上递减，而，所以存在使得，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上恒成立，当且仅当时取得“”综上，函数在上的最大值6
