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1、2015年第八届数学建模认证杯网络挑战赛-第一阶段A题优秀论文2 作者： 日期：2 第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承 诺 书我们仔细阅读了第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们接
2、受相应处理结果。我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。我们的参赛队号为：4514参赛队员 (签名) ：队员1：向苗苗 队员2：余帮美队员3：章旭 参赛队教练员 (签名)： 参赛队伍组别：本科组第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编 号 专 用 页参赛队伍的参赛队号：4514竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2015年第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段论文题 目 A题 ：绳结矩阵模型的探究关 键 词 缠绕数 分离变量 交叉类型 编码矩阵 受力
3、分析 摘 要：绳索打结是人们在日常生活中的必要技能，在不同的情境中有不同的用处和编法，打结的方式不同，对绳结的缠绕数，松紧度，空间构成，稳定性等方面造成了不同的影响。针对问题一：我们使用投影映射法、放大法、分类讨论的方法将空间上的点表示在平面上，分析不同打法下的单结在三维空间上的结点、交叉类型， 将它们投影到二维平面，写出它们对应的编码矩阵；然后研究将两种打法的单结组合起来后的情形，将连打两次单结形成的结扣，在三维空间的结点、交叉方式、连接线同样投影到平面，写出它们对应的编码矩阵。借助EXCEL、MATLAB工具，剔除测试结果中的无关数据，将空间上的点映射到平面，分析两组数据的不同之处，找出变
4、量，建立绳结矩阵模型，得出两种打法在缠绕数上差别较大，通过查找数学扭结相关知识，得出了缠绕数越小绳结的稳定性越好，从而越不容易自动松脱，所以在连打两个单结的时候，使用相同方向的打法更容易自动松脱。针对问题二，我们用了分类讨论的方法，讨论了直径、摩擦力等机械能不同时，绳结的稳定性是否改变的问题，利用放大简化法将绳结的状态近似为半个椭圆的形状，综合考虑绳结的受力状态，画出绳结的受力分析图，建立绳结的受力分析模型，运用EXCEL、MATLAB软件，得出直径与绳索张力的关系和摩擦力与绳索机械能的关系。从数据出发，我们得出，在绳结打法相同的情况下，绳索的直径越大，绳结越不稳定，绳索越容易自动松脱；当绳结
5、的直径，材质相同的时候，绳结的打法不同，会对它的摩擦力和绳索打结时所成线圈的面积造成影响，进而影响绳结的稳定性。同时，从绳结受力分析模型中，我们可以得出在打结方式不同的情况下，机械能越小，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。对于问题二，我们得出绳索的直径、摩擦力、打结方式都会影响绳索的机械能，从而影响绳结的稳定性，机械能越小，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。个人收集整理，勿做商业用途目录一、问题重述2二、问题分析2三、模型假设3四、符号说明3五、模型的建立与求解45.1模型建立的总思路：55.2问题一模型的建立与求解55.2.1绳结分类55.2.2投影映射65.2.3绳结矩阵65.2.4建立绳
6、结矩阵模型75.2.5代入数据75.2.6 问题一小结105.3问题二的模型的建立与求解105.3.1模型的简化105.3.2模型的分析115.3.3模型的延拓115.3.4模型的数据验证135.3.5绳索受力的受力分析155.3.6绳结的受力分析185.3.7问题二小结20六、模型的进一步讨论与改进20七、附录21八、参考文献24一、问题重述给绳索打结是人们在日常生活中常用的技能。绳结在登山、航海、垂钓、野外生存等方面具有专门用途，给绳索打结更是必不可少的技能之一。针对不同的用途，有多种绳结的编制方法。最简单的绳结，有时称为单结，死结或反手结，英文称为Overhand Knot单结，是最常用
7、的绳结之一，在各种复杂绳结中也是经常出现的基本元素。单结有一个特点，如果用于捆扎物体，由于无法彻底拉紧，所以很容易松脱，无法单独使用，但对较软和细的绳子而言，如果能够彻底拉紧，相当难以解开。所以用于捆扎物体时，可以连打两次单结，并将第二个结彻底拉紧，在生活中我们经常连打两个单结来解决其易松脱的问题，但是连打两个单结有两种不同的打法，哪一种打法更容易松脱呢？是什么因素影响了它本身松脱的性质，请尝试建立数学模型讨论下列问题：1. 在连打两次单结的时候，两次使用相同的打法还是互为镜像，得到的结果是不同的。结的结构不同，是否容易自动松脱的性质可能也有区别。这可以来判断系紧的鞋带是否容易自动松开。请你建
8、立合理的数学模型，分析这两种打法中，哪种更容易自动松脱。2. 一般的经验表明，绳索的直径、软硬和表面的摩擦力等机械性能都会影响打的绳结是否容易自动松脱。请你建立合理的数学模型，向大家解释在不同的打结方法下，绳索的机械性能与绳结是否容易自动松脱之间的关系。二、问题分析 绳索打结的松紧度与绳索自身的内部原因和外部原因息息相关。经验表明，绳索的直径、质量和软硬程度都会影响绳索的松紧，在某些特定的场合下，我们需要不同的打结的方法来适应生活的需要，从而达到想要的目的，所以我们从平时的经验出发，再结合专业知识来考虑。生活中人们给绳索施加外力，使绳索弯曲形成线圈、绳结，而绳索有保持原有的特性的趋势。我们从简
9、单的绳结出发，通过查找数学扭结等相关资料，由浅入深，一步步研究比较复杂的绳索打结后的状态，以及影响绳结稳定性的相关因素，下面是我们针对两个问题的一些思路。针对问题一：我们首先分析了绳结自动脱结的原因，初始状态下的绳索，它的自动连接数为0，所以在以后绳结形成的过程中，绳索的扭转数和缠绕数相互转化，当绳索的扭转数为a时，其缠绕数为-a。因此在形成绳结时，绳索的扭转数近似于-1，这个意味着在形成绳结时绳索处于高能量状态。形成绳结的绳索一旦被放松，在能量的驱动下，绳索就有增加其缠绕数减少其扭转数的运动变形趋势，这样，绳结在接下来的打结操作中容易产生形变和滑落，导致绳结不稳定。在本问题的解答中，我们给绳
10、索的一些变量赋予了参数，给出了一些定义。比如，绳结分类，结扣交叉点类型,投影映射,绳结矩阵,缠绕数,绳索扭转数,绳索自连接数等,我们从中研究一些参量的变化，做一些对比，画出一些简单的绳结，也从网上大量寻找资料，希望能找出两种绳结的不同点，再联系到是否容易脱落，其中，我们将是否容易脱落这一变量转化成绳结的能量来看待。绳索在打结后的能量越低，越稳定。这样就方便我们去描述两种绳结的稳定状态了。针对问题二：不同的打结方法，意味着考虑的参量更多。我们从两个方向去分析，利用分离变量法研究绳索在打结方式相同的情况下，绳索的直径、软硬、摩擦力等机械能对打的结的松脱程度的影响。第二个方向：用同样的绳索进行打结，
11、打结的方式不同，主要研究打结时相同和相反方向结扣的个数和两个绳结之间所留空隙的面积（近似为椭圆），对于第二种方向，我们采取放大法，将每个绳结投影到二维平面，近似看成弧形，求其近似面积，看绳结的稳定状态与角度和面积之间的关系。以此来建立绳结受力分析模型，从绳结所围面积与绳结角度综合研究，绳结机械能对绳结稳定性的影响，从而影响绳结的松脱程度。三、模型假设1. 假设材料的每一处都是均匀的。2. 忽略绳子总长度的变化。3. 假设在拉紧绳结的过程中，两头受力相同。4. 每一个结扣都是对称的。四、符号说明K绳结绳结K在平面上的投影绳结K的第i个结扣P(K)K的投影点的集合在平面上的投影点+1 -1整个图表
12、的缠绕度每个结扣由两断绳索组成，我们事先规定，一条绳索记为线段1，符号表示,另一段绳索记为线段2,符号表示在平面上的投影点在平面上的投影点组成结扣的两条连接线的起始点组成结扣的两条连接线的起始点交叉类型交叉点对应的交叉类型绳索扭转数绳索自连接数表1：符号对照表五、模型的建立与求解评估两种相同的打结方法时，可以从以下几方面去进行探究，使用了投影法、降维法，将空间的物体转化为平面上的点和线，从而对问题进行简化，构建模型。5.1模型建立的总思路：5.2问题一模型的建立与求解5.2.1绳结分类：针对两种打结的方法，可将绳结分为两类。如图一所示：两个相同方向的结扣组成两个方向相反的结扣组成图一：两种绳结
13、示意图结扣交叉点类型：我们给绳结交叉的方向进行了规定，交叉点P是有纽结的两部分组成的映射相交叉形成的。如果在上面的有向的曲线经过逆时针旋转一个锐角后和在下面的曲线具有相同的方向，那么这种交叉类型用“+1”表示。否则，如果在下面的曲线逆时针旋转一个锐角后和上面的曲线方向一致，这种交叉类型用“-1”来表示。如图二所示：+1-1图二：交叉类型5.2.2投影映射：绳索打结可以用规则的投影映射来表示。在三维空间研究绳索打结比较复杂，我们将其映射到二维平面上来研究，如果一个空间的纽结用来表示 ,那么纽结在平面上的投影映射可以用p:来表示，即,该投影映射是满射,另外，这个映射将3维的降低到2维，也就是说，如果Q是绳结上的一点，那么该点的投影映射为一个点；如果是的相交点，则扭结上的点为两个点。5.2.3绳结矩阵：首先对绳索的结扣靠近穿出点的方向开始编号，第个结扣记为，我们只研究两个结扣，可记为,则其投影映射记。然后每个结扣由两断绳索组成，我们事先规定，一条绳索记为线段1，符号表示,另一段绳索记为线段2,符号表示。则，根据投影映射有,记，则。最后组成结扣的两条连接线和有自己的起始点，记起始点为 终点为，且第个结扣的终点是第的起始点。5.2.4建立绳结矩阵模型： 5.2.5代入数据结扣元素的形态可用一个一个52r的矩阵来表示，点序列和其
