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1、第五章 习题答案1求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。（1），（2）（3）解：（1）首先写出拉格朗日函数：将对，和 分别求偏导数可得：解得，此时。则点为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。 （2）首先写出拉格朗日函数：将对，和 分别求偏导数可得：解得，此时；或者，此时；或者，此时；或者，此时。则点、和为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。 （3）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，此时；或者 ，此时。则点和点为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。2利用等式约束极值问题的二阶充分条件
2、判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点。解： （1）对，求偏导数可得，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。 （2）对，求偏导数可得， ，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极小值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极大值。当，时，所以，由定理5.2得，在处函数取得极小值。（3）对，求偏导数可得，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：当时，当 ，时，所以，由定理5.2得，在或者处函数取得极大值。3求函数在约束和下的可能的极值点。解：首先写出拉格朗日函数
3、：将对，和分别求偏导数可得：解得该方程无实解，存在虚数解：，此时。4利用海赛加边行列式确定下面每一小题的值是极大值还是极小值。（1） 满足约束 ；（2） 满足约束 ；（3） 满足约束 ；（4） 满足约束 。解：（1）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，加边元素，。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极大值。（2）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极大值。（3）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，加
4、边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极小值。（4）首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得，对，求偏导数可得，加边元素。所以，海赛加边行列式为：所以，由定理5.2得，为目标函数的极小值。5求原点到椭圆的最大和最小距离（提示：目标函数取为可简化运算。解：由题意知，解决如下最优化问题，首先写出拉格朗日函数：将对，和分别求偏导数可得：解得或者，则为最小距离，为最大距离。6绘出有如下特征的曲线（1）拟凹的，（2）拟凸的，（3）既拟凹又拟凸的解：（1）拟凹 （2）拟凸0zx(3)既拟凹又拟凸7运用海赛加边行列式检验下列函数的拟凹性和拟凸性：（1）（2）解：（1）
5、，所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。（2），所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。8判断下列命题的正误，并给予说明。（1）设是单变量递增函数，则为拟凹函数。（2）设是单变量递减函数，则为拟凹函数。（3）设是单变量函数，存在一个实数使得在区间上递减，在区间上递增时，为拟凹函数。解：（1）命题正确，对于一元递增函数定义域（凸集）中任意点，有 ，则：对任意，有；则为拟凹的。（2）命题错误，对于一元递减函数定义域（凸集）中任意点，有 ，则：对任意，有；则为拟凸的。（3）命题错误，用反证法证明，假设命题成立，则在区间上与该题（2）相同，则该函数为拟凸函数，与命题结论矛盾，故命题错误。9已知极大化
6、问题的均衡解为。试估计以下目标函数的最优值，并说明理由。（1），（2）（3）解：根据（1）、（2）、（3）小问中目标函数与约束条件变动项构造拉格朗日函数：，将代入极大化问题，在约束条件下目标函数的极大值点为，乘子为。从而有。根据包络定理，则，（1）当等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值分别是。（2）当目标函数改为，等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值是。 （3）当目标函数改为，等式约束改为时，目标函数最优值改变分量为：极大化问题的目标函数最优值是。10一个消费者具有效用函数：，其中和是两种商品的数量，它们的价格分别是和。消费者的预
7、算约束是，因此消费者的拉格朗日函数是（1）从一阶条件中找出需求函数的表达式。说明商品是哪种商品？尤其当的时候，会出现哪种情况？（2）通过检查二阶充分条件来证明这是一个极大值。把和代入到效用函数中，找出间接效用函数的表达式：，并推导出支出函数的表达式：。（3） 求出这个最小化问题的和的解，并证明和的解值等于支出函数的偏导数和。解：（1）根据拉格朗日函数得出一阶必要条件为：求解得出其中，是消费者的马歇尔需求函数。由，可知，商品的价格增加，数量减少；货币收入增加，数量增加，因此为正常商品。当时，。（2），加边元素。所以，海赛加边行列式为：因此，由定理5.2最优值为极大值。把和代入目标函数中，得出间接
8、效用函数为：支出函数表达式为： （3）构造拉格朗日函数：一阶必要条件为求解这个方程组的和，得到均衡解为其中是消费者的希克斯需求函数。检验二阶充分条件：因此均衡解是模型的极小值点。把代入初始目标函数，得到支出函数为 由于证毕。11给定及，（1）写出该问题的拉格朗日函数；（2）求出最优消费束；（3）在最优消费束处满足极大值的二阶充分条件吗？（4）问题（2）的答案给出比较静态信息了吗？解：（1）（2）解得：（3），加边元素。所以，海赛加边行列式为：因此，由定理5.2最优值满足极大值的二阶充分条件。12.假设，但不为价格和收入参数设定具体数值。（1）写出拉格朗日函数；（2）求，及（以参数，和表示）；（
9、3）检验极大值点处的二阶充分条件。（4）令，及，检验你对习题8回答的正确性。解：设的价格为,的价格为,收入为,则有：(1)(2) 一阶条件为,解得均衡解为(3) ,则均衡解为极大值(4) 正确13习题10的解（和）能够产生比较静态信息吗？求出所有比较静态导数，确定其符号，并解释其经济意义。参见习题10。14给定消费者消费商品和的效用函数，和为商品和的消费量，和是商品和的价格，消费者的收入为。（1）求消费者的效用极大值和相应两种商品的最优消费量。（2）收入增加一个单位时，对消费者的的极大效用有何影响？（3）求出比较静态函数，判断其符号，解释其经济学意义。解：极大化问题为： (1) ,一阶条件为,
10、均衡解为,二阶条件为,均衡解为极大值(2) ,表示收入每增加一单位,大小用增加个单位(3) , ,15考虑极大化问题利用包络定理解决以下问题：（1）求目标函数的最优值在处分别关于和的偏导数。（2）据（1），估计当、由16变为16.03时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值？（3）据（1），估计当、由4变为3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值？（4）据（1），估计由16变为16.03、由4变为3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值？解：(1)极大化问题为 ,拉格朗日函数为：, ,均衡解为,则(2) ,则(3
11、) ,则(4) ,则16设，效用函数，预算约束条件为。试求需求函数及间接效用函数。解：极大化问题为 ,则需求函数为,则间接效用函数为17（1）商品和的边际效用递减假设意味着无差异曲线严格凸吗？ （2）无差异曲线的严格凸性意味着商品和的边际效用递减吗？解：（1）否，当效用函数为严格拟凹时，无差异曲线凸向远点，与边际效用递减无关。 （2）否，边际替代率递减。18有一个消费者，某商品价格上涨1000元时，其间接效用减少60个单位；而货币收入增加1000元时，其间接效用增加5个单位，问这个消费者对该商品的消费量是多少？解： 由解得故消费量为12个单位。19假设消费者消费两种商品和，价格分别为，效用函数
12、为：，消费者的收入为。（1）求消费者的马歇尔需求函数和,并验证它是零次齐次函数；（2）求间接效用函数；（3）求货币的边际效用。解：极大化问题为 (1),均衡解为(2) 间接效用函数为(3)20给定两种投入要素的生产函数为，这里和分别是两种要素的投入量。假设两种要素投入价格分别为，每月费用支出不超过1000。为使每月的产出极大化，应如何安排每月的两种投入量（要求验证二阶充分条件）。解：极大化问题为 ,均衡解为验证二阶条件,则均衡解为极大值21给定两种要素投入的Cobb-Douglas生产函数为，这里和分别是两种要素的投入量；假设两种要素投入价格分别为；产品的销售价格为。（1）求要素需求函数和产出供给函数；（2）求利润函数。解：极小化问题为 (1),均衡解为,则(2) ,将均衡解代入即可
