南京财经大学 硕士学位论文 分形理论及其在金融市场分析中的应用 姓名：马丽 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：王宏勇 2010-01 I 摘 要 20 世纪 70 年代产生的分形学是非线性科学研究中的一个活跃分支， 其研究 对象为自然界和社会生活中广为存在、 复杂无序、 而又具有某种规律的图形和现 象， 它为研究具有自相似特性的物体和不规则现象提供了新的方法． 很多在欧氏 几何中无法解释的现象用分形几何可以得到很好的诠释． 分形理论以及分形方法 为人们认识世界提供了新的视角和新的思路， 使人们认识事物的思维方式由线性 进展到了非线性阶段．因此，近年来分形学已成为研究与刻画自然界、人类社会 和工程技术中出现的许多复杂现象的一个强有力的理论工具． 第一章是本文的预备知识部分， 阐述了本学科目前的研究现状， 简要介绍了 分形几何学中的一些基本概念、定理及记号．如分形空间、迭代函数系和分形插 值函数的概念和方法等． 第二章研究了纵向尺度因子变化所引起的分形插值函数 误差． 从量上分析了纵向尺度因子的变化对分形插值函数造成的误差问题， 给出 了具体的误差表达式及上界估计， 并通过数值实验显示了分形插值函数的图像与 纵向尺度因子之间的变化关系．第三章将分形插值理论应用到金融市场分析中， 对股价时间序列进行分析及预测， 运用分形插值理论与方法建立金融时间序列分 形插值数学模型，分析、预测股票价格的波动．以中国青岛海尔上市公司若干年 的股价数据为例，用该模型分析股价的变化规律，对其未来走势做出预测，并用 时间序列曲线的分形维数与 Hurst 指数描述该股价的波动性及长期相关性等特 征． 由于单分形分析法只能描述股价时间序列波动形态的宏观概貌， 无法刻画波 动复杂精细的层次结构信息， 而多重分形谱可以分析金融时间序列的微观结构及 其特征，所以，第四章运用多分形谱函数来考察股指的波动性，以上证综合指数 的 5min 高频数据为研究对象，用多重分形模型研究股指在四种不同情况下的波 动状态，分析参数变化对股指波动的影响，对股指未来短时间内的走向做出预 测．第五章是结束部分，对本文进行总结以及对未来研究的展望． 关键词：分形；迭代函数系；分形插值；误差分析；多分形谱；股指；波动 性分析 II ABSTRACT Fractals is a new subject starting from 1970s which is an active branch of nonlinear science. It focuses on many complex patterns and phenomena with certain law，which widely exist in the nature and social life. It offers us a new method to research the self- similarity objects and irregular phenomena. Some phenomena which can’t be explained with Euclidean geometry could be interpreted well with fractal geometry. Fractal theory and its methodology provide people a new view and new ideas to know the world and it made our way of thinking enter into the nonlinear stage. So fractal geometry has become a powerful tool of theory for studying and depicting the complex problems in the nature，in social life and in engineering techniques. In this dissertation，Chapter one gives some preliminaries in which we explain the situation of study in our subject and simply introduce the basic concepts and theorems of the fractal geometry，such as，fractal space，iterated function systems (IFSs) and fractal interpolation functions (FIFs). In Chapter two，we research the errors of FIFs based on the changes of vertical scaling factors. The errors of the FIFs caused by the changes of vertical scaling factors are analyzed quantitatively，and the concrete error expression is presented，meanwhile the upper bound of errors is estimated. In addition， by means of the numerical experiments， the relations between the changes of vertical scaling factors and the values of FIFs are demonstrated clearly. In Chapter three，we apply fractal interpolation theory to financial market analysis， and make a fractal analysis to the series of stock prices. We construct fractal interpolation models to analyze and predict the changes of stock prices. As an example，we apply the constructed models to analyze the law of variations and forecast the trend of changes for the stock prices of Qingdao Haier，which is one of the listed companies of China. In addition，we also describe the fluctuation property and long- term correlativity by fractal dimension and Hurst index for the time series of Qingdao Haier’s stock prices. Since single fractal only can describe the III macroscopical situation of the changes of the series of stock prices， and it can’t depict the complicated structure information of fluctuation，but multifractal spectrum can analyze the micro finance properties of stock price sequences，we use multifractal spectrum to investigate the volatility of stock index in chapter four. Taking 5min high frequency trading data of SSE (ShangHai Stock Exchange) as research objects，we discuss the volatility situations of stock index in four different cases using multifractal spectrum，and analyze the relations between parameters’ changes and the fluctuations of stock index，and also forecast the trend of stock index in the short future. Chapter five，the last part of this thesis，makes a summary for this paper and prospects the future development of fractals. KEY WORDS：fractals；iterated function system；fractal interpolation；error analysis；multifractal spectrum；stock index；volatility analysis 学位论文独创性声明学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果． 论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外， 不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果． 其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意． 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明学位论文使用授权声明 本人完全了解南京财经大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件， 允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文．保密的论文在解密后遵 守此规定． 作者签名： 导师签名： 日期： 南京财经大学硕士学位论文 1 第一章 绪 论 分形几何是 20 世纪 70 年代发展起来的一门学科，它是非线性科学中的一 个活跃的数学分支， 其研究对象是自然界和人类社会中广泛存在的不光滑不规则 的几何形体， 很多在欧氏几何中无法解释的现象用分形几何的语言可以得到很好 的诠释． 分形理论及分形方法论为人们认识世界提供了新的视角和新的思路． 它 打破了整体与部分、混乱与规则、有序与无序、简单与复杂、有限与无限、连续 与间断之间的隔膜， 找到了它们之间相互过渡的媒介和桥梁， 即整体与部分之间 的相似性． 为人们从混沌与无序中认识规律和有序、 从部分中认识整体和从整体 中认识部分、从有限中认识无限和通过无限深化和认识有限等提供了可能和根 据，使人们认识事物的思维方式由线性进展到了非线性阶段． 分形插值的理论与方法是分形学的重要组成部分， 它是美国数学家 Barnsley 于 1986 年首先提出的 [24 25]− ，该插值方法与传统的插值法（如多项式插值、样条 插值）等相比，能更有效地逼近或拟合非平稳数据和非光滑曲线，是一种更接近 现实世界的插值方法．其现实的应用性，引起了国内外众多学者的关注，目前， 关 于 分 形 插 值 的 理 论 及 应 用 的 研 究 已 取 得 许 多 重 要 的 结 果 [26,28,29,30 32,36 39,42,44 48,50,51,53,54]−−− ．Barnsley、Massopust 等人从迭代。