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1、3-1 引 言l l 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。l l 在上一章介绍的时域法中，将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。l l 在本章以及下一章将要介绍的频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。l l 频域在工程中也有很重要的意义。很多信号的特性与频域都有很重要的关系。研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。l l 在进行频域法时,，首要问题就是如何将信号分解为一系列正弦信号的和（或者积分）。这就是本章要讨论的信号分
2、析问题。3-2 信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们复习矢量的分解。一、 矢量的分解1） 矢量的一维分解：用一个标准矢量乘以一个标量得到的新矢量，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，应该取多少？下图通过几何方法表示了的确定方法。 l l 从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：其中的称为矢量和的相似系数。l l 如果（或），则表明和相垂直（又称为正交）。1） 2） 矢量的二维分解用两个标准矢量、的线性组合，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，、各应该取多少？下图通过几何方法表示了、的确定方法。l l 在上图表示的情况下，、的取值都同时与、有关，计算公式可能比较复
3、杂。如果标准向量、相互垂直（正交），计算就很简单了：容易得到此时的系数计算公式为：，此时每一个系数只与其相关的标准矢量有关，系数计算公式与一维情况下的计算公式相似。l l 上图中表示的是用两个矢量表示一个二维的矢量，误差为零。如果用两个矢量表示一个二维以上的矢量，误差就不一定等于0了。但是可以证明，在这种系数情况下误差最小。l l 显然，如果知道了标准矢量、和相应的系数、，就可以确定任意矢量。l l 这实际上就是我们在平面几何中见到的笛卡尔坐标系。2） 3） 矢量的多维分解：上面二维的情况可以推广到任意维，可以将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合： 显然，如果知道了标准矢量和响应的系数
4、，就可以确定任意矢量。 如果矢量两两正交，可以证明相应的最佳系数的计算公式为： 如果标准矢量基的长度都为1，则，上面的公式可以简化为：3） 4） 标准矢量基的几个限制条件：为了便于计算系数，实际使用的标准正交矢量集最好满足以下几个条件：1） 1） 归一化：标准矢量的模等于12） 2） 正交化：标准矢量两两正交3） 3） 完备性：可以不失真地组合出任意矢量其中归一化和正交化是为了计算系数时比较方便；而完备性则是为了保证可以完整、没有误差地表示任意矢量，使这种分解更有实用性。二、 信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。1、 单个标准信号下的分解：在时间区间内，用近似任意函数，并使误差
5、进可能小。（这里假设所有函数都是实数函数）误差：l l 如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误差： l l 取什么值的时侯何时误差最小？或者何时系数最佳？最佳系数：也称为函数和的相似系数。最佳系数的证明最佳系数的证明：误差：方均误差：为了求使最小的，将上式对求偏导并令其为零，可以得到：由此可得：l l 如果（或），则称和正交。这个正交的含义与矢量中的正交类似。l l 如果和是复函数，则方均误差的定义应该改为：相应的最佳系数计算公式为：例题3-2-1例321：试用sint 在区间（0，2p）来近似f(t)分析：在使这近似式的方均误差最小的条件下，可以导得在函数中的分量系数为 解： 2、 多个标准
6、信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：l l 这里的同样难以确定。但是如果标准函数之间两两正交，则可以证明：l l 我们实际上在高等数学等前期课程中已经见到过几个这样的标准信号集了。例如：泰勒级数使用的是：l l 在本章中将要用到的标准函数集为三角函数集：2、 3、 对标准信号集的要求：与矢量分解中的情况一样，这里对于用于分解函数的标准函数集也有以下的要求：1） 1） 归一化：2） 2） 正交化：，3） 3） 完备性：可以用其线性组合表示任意信号。l l 正交性标准函数集的首要条件。只有在这种情况下系数才可以用上美的公式计算，而且可以保证方均误差最小。其他两个条件都会受到实际应用的
7、限制，可能难于达到。l l 完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。l l 但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。函数与矢量的运算与分解有很大的相似性，很多函数分解中的概念（例如正交等）也是从矢量运算中引用过来的。这里用一个表格作比较：矢量函数加法标乘乘法正交归一误差误差代价函数系数3-3 信号表示为傅利叶级数傅利叶级数是最常用的一种正交函数集。它在工程中有很广泛的用途。一、 三角函数形式的傅利叶级数1、三角正交函数集其中：或将正交函数集表示为：l l 可以证明该函数集满足正交性：函数集中的函数两两相正交。2、任意信号在三角函
8、数集中的分解可以将任意函数f(t)在这个三角函数集中展开（表示成该正交函数集函数的线性组合）：其中的系数可以根据前面的公式计算出：l l 这个公式中的的表达不太方便。为此将分解式改写：则系数为：l l 通过这种分解，可以将信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。3、任意信号在仅余弦三角函数集中的分解 在原来的信号分解公式 中，利用三角函数公式，令，则可以将上式表达成：它可以看成是下列正交信号集：的平移后的线性组合。l l 从系数计算公式可以看出，如果f(t)是实数信号，则： 和是n的偶函数； 和是n的奇函数。l l 上面的分解等式的左右两边的函数是否相等，没有误差？或者，是否随着n趋向于
9、无穷大，等式右边的函数收敛于左边的函数？Direchlet证明，只要满足下面三个条件，等式就一定收敛：1） 1） f(t)绝对可积，即：2） 2） f(t)在区间内有有限个间断点；3） 3） f(t)在区间内有有限个极值点。这个条件被称为Direchlet条件。实际信号大都满足这个条件，所以都可以这样分解。l l 这个分解等式中，等号右边是多个周期为T的函数的和，它仍然是周期为T的函数。显然，如果本身也是一个周期为的函数，则如果它可以在一个周期内用上面的公式分解，则它同时也可以在整个时间区间内分解。l l 这种分解可以用在两个场合：1） 1） 研究任意函数在区间内的分解2） 2） 研究周期为T
10、的函数在整个时间区间内的分解。本课程中讨论的主要是后一种情况。l l 如果f(t) 周期为T的函数,为了方便讨论，一般函数的主值区间取l l 在函数的分解中： 称为信号的直流分量； 、或称为信号的基波分量； 、或称为信号的n次谐波分量；一般情况下，n无法计算到无穷大，只能取有限。这时，这种正交展开是有误差的。n越大，误差越小。下面通过一个实例进一步讨论傅里叶级数的一些特性。例：求方波的傅利叶级数。解：按照定义公式，可以计算出：下图给出了根据这个公式，分别用一个、两个和三个正弦脉冲逼近方波的实际效果。l l 从图中可以看到，随着n的增大，函数的逼近效果逐步得到改善，效果越来越好。l l 但在信号
11、的间断点附近，误差函数出现了一个尖刺状的突起。这个突起是否会随着n的增加而减小？ Gibbs现象：随n趋向于无穷，在函数的间断点附近至少存在一点，其函数的分解误差收敛于函数在这点上的跳变值的8.948987%. 这实际上就是说：无论n多大，在间断点附近一定有一个点，在这个点上误差值一定接近间断值的9。 这个结论是否与上面提到的收敛条件矛盾？两个论断并无矛盾。这牵涉到两个收敛的概念：逐点收敛和方均收敛。具体地说，逐点收敛一定方均收敛，但是方均收敛不一定逐点收敛。这里对其原理不再讨论，有兴趣的读者可以参阅有关数学书籍。二、 复指数形式的傅利叶级数 另一种常用的傅里叶级数展开式是从复指数正交函数集将
12、函数展开为：其中使用的正交函数集为复指数函数或者复正弦函数：或者记为：根据前面的公式，可以得到其中的系数为：l l 复指数形式的傅利叶级数的另外一种推导方法是从三角函数函数形式的傅利叶级数入手：令：，可以得到：令： 通过上式也可以看出，函数可以分解为一系列的线性组合，其中的系数为：而：,l l 两种推导过程得到的答案应该相同。对比两个系数计算公式，可以得到：这个等式反映了与、或、之间的关系。例：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为： 表示一种复正弦信号。其中n可以为正，也可以为负，这时就会出现频率小于零的负频率。这在物理上并没有意义，只是在数学上可以带来方便。 复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计算简单，在数学上可以带来很多方便之处，所以应用广泛。例331例：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为： 表示一种复正弦信号。其中n可以为正，也可以为负，这时就会出现频率小于零的负频率。这在物理上并没有意义，只是在数学上可以带来方便。 复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计算简单，在数学上可以带来很多方便之处，所以应用广泛。 例331例331: 一周期矩形脉冲信号,高度为A,周期T，其此信号的傅立叶级数解结论：（此结论具有
