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1、中国T程热物理学会 传热传质学学术会议 编号:9 9 3 0 0 8 分析半透明 单晶生长 传热过 程的 边界元方法“ 卢文强 中国 科技大学北京研究生院，物理系，I . 程热物理研究室 3 9 0 8 信箱，北京1 0 0 0 3 9 , E m a i l : L U W Q S U N . If I E P . A C . C N 习、 日r卜 摘要 论文发展了一个能求解带相变运动界面非 定常传热和非 线性热物理特性问题的双倒 易 边界元方法。数值模拟了半 透明单品生K - 中 热过程的一 个例子。由 于方法是纯边界 积分方法， 计算量与计算内存都大大减少。 获得了单品生长 过程瞬态温度
2、场分布和IN 液相界面形状时间推进的一些结果。 卜 导论 在单晶生长过程中，固液界面形 状和拉品速率对单晶的缺陷结构与应力有重要影响。 正如大家 现在所知一 个 卜 凹的Id 液界面通常 生成多晶坯。最近人 们为了 深入认识这些 现象的本质，进行了单晶生长中热过程的数 值模拟。单品生长 过程是 一个带相变运动 界 面的非定常过程，它的数值模拟是相当困难的。论文 I 评述了 计算 这一问题的有限 差分方法。该方法被分为二类: ( 1 )强的数值 方法，即， 直接应用过程的 物理公式 如 S t e f a n条件，在每一时间步计算和捕获相变运动界 面，并 得- i n度场; ( 2 ) 弱的数值
3、方 法，即，重新构造问题的描述方程，S t e f a n条件隐含在新方程中，避免了计算明显的 相变运动界 面推进过程， 如烙方法，热积分方 法，显热容方法等等。比 较这两种方法， 前者能模拟相变界面推进过程和精确捕获相变运动界面， 但需 要复杂的计算 格式和更 多的计算时间。 僻如，在强的有限差分 法中，为了计算相变运动界面，需要反复计算 贴体座标系，因此在求解瞬态三维复杂相变运 动界面问 题时实在是太困难了。 有限元 方法的成功在于它的处理复杂儿何形状的能力，然而，由于它们进行整个区域的计算。 需 要相当多的内 程和计算量。 在论文 2 - 3 中， 做了 一些简化 假没 后，有限元 方法
4、被用来 计算这一问 题。如论文 2 ， 相变潜热被忽略， 这就免去了相变运动界 面计算的需要。 论文 3 做了稳态过程的简化近似。 边界元方法在计 算量与计算内存要求方而与有限差 分方法和有限元方法比 较具有潜在的优点 此外， 在边界元计算中还能 在相变运动界 面上直接离散节点，因此边界 元方 法特别 适合 数值模拟这类相变运动界面问题。 最近发展了一个有效的纯边界 积分方法一 双倒易边界元方法，方法 被成功地用于 模 拟热传导问题， 然而模拟相变热传导问题的论文发表却很少。这篇论 文发展了一个能 求解非定常相变传热和非线性热物理特性问 题的双倒易边界 兀方法 方法是一种纯边 界积分方法，没有
5、区域积分方法被用来数值模拟一类T品生长的传热过程，获得 了 一些有价值的结果 幸国家自然科学祛金资助项目 I一1 物理模型 在一些种类的半透明材料单品生长过程中，熔液中的自然对流可忽略，在单品、熔 液、 增锅和周围的传热过程是 导热和辐射换热。 为了 考虑在单品和熔液中的辐射换热， 这里使用了 扩散 近似( a l ，在这个 模型中介 质像个 热导体， 它具有随温度变 化的 热导: .，钊 口厂 k =k “ “ t k “ = k ” 叫+1 6 n c T 3 Ro ( 1 ) 这 里 ed和k - d 分别 是 分 子 和 辐射 导 热， n 是 折 射率 ，a 是 S t e f a
6、n - B o l t z m a n n常 数，R o 是 R o s s e l a n d平均吸收系数，T是温度。应用上面的 近似假设，控制方程能 被写为瞬态导热方程: P , c, 臀 一 v k , V T ( 2 ) 这 里P r , C r 和 k ， 分 别 是区 域1 单 品 ( D c ry ) , 熔 液 ( D m e l ) 和 增锅 ( D a ) 的 密 度 ， 比 热和 热导. 沿着 单 晶 炉 的 外表 面 ( F r ) 用卜 述 边 界 条 件 : k ( n ,O T ) 一 h ; T一 T f 卜-IT , 一 T4 ( 3 ) 这 里厅 ， 是r
7、; 外 法 线向 量。 h , 是 传热 系 数口 :是 表 面 辐 射率 。 T f 变 化 的 炉 温 剖 面。 在相变界面上，用 S t e f a n条件: k , ,y ( n _ “ V T .n ) 一 气 。， (反 。 . v 几 。 ) = P . ,1么U “ n , , ( 4 ) 闷“ 这 里Q 、 和U 。分 别 是 相 变 潜 热 和 相 变 速 度。 此 外， 两 相 邻区 域 界 面 上 温 度 场 连 续。 边界积分方程 众所周知方 V ( 2 ) 右端非 线性项通过 K i r c h h o ff变换能变为线性算子 项。基本思路是 引 入 新 变 量 O
8、 (T ) 一 k ,d T fl lr a z , 1OO t = C , 一 k , 1(P ,c,) I使 得 方 程 (2 )在 新 变 h 变 为L a p la c e 算子型。 0 0 = v z O 8 z , ( 5 ) I一2 现在方程( 5 ) 能 用双倒易原理变为卜 述纯边界 积分 方程1 5 ) : Sio i + jqOdrr一 fT “qdI二 ti+LY aj (zj S, T, + Jq Tj dF 一 JTr “ 一 对上方程进行时间差分和边界元离散，得到下面的代数方程: 上c + a . x ) ) M 一。 G Q 一 上 。 一 (、 一 。 . )H
9、 I O M 十 (l 一 。 , Q M (7 ) t o :一 ) 一” 一L 丁 “ - 这 里 s , = r ; ! 2 g , /是 节 点i 的 内 角 。 N和L 分 别 是 边 界 和内 部 节 点 数 。 H 和G是 系 数 矩 阵 。 亡 叫对 卜 G Q F -l. 矩 阵 . ,Q ,金 ， 心 和 F 的 单 元 分 别 是 。 ， 。 = a 0 / a n , T , q = O T l a n 和 f 。 对 于 二 维 : 介I + , , T = r 2/ 4 + r / 9 , q = ( 对 于 轴 对 称 : f = r (1 一 R , I (4
10、R , ) ， 护 = r ! 1 2 ， q = ( r l 4 ) (a r l a n ) o r 是 111 点 ， f il l5 点 ， 间 的 距 离 R ， 和 凡代 表 由 节 点 i 或竹 点 J 到 对 称 轴 的 距 离 况 和 B 分 别 是 。 和 9 在 时 间 步 m 和 m + l问定值的参数。格林函数:7 = t n p / r )，对于一维 厂= 4 双 m ) l ( a + 州 ， ， 对丁 轴对 称:K是第 一类 完全 椭圆 积 分，m二 2 b l ( a + b ) , 。 = 对+ 树+ ( y , 一 y , ) 2 . b 二 2 R ,
11、R、 Y 是 笛K 座 标 。 q 二 扩/ 伽。 : ， = C iA l 是 修改时间变量在节点J 的步长 值 在变换空间沿柑锅外表面边界条件( 3 ) 变为: 粉、 口下少 卜 9 一 豁 一 n v 一 穿 (朴 V T) = k;(n, “V T)= h;T,一 Tf十 一 叮 一 叮 (S) 在 变换空间相变界面条件( 4 ) 变为 : y , 。 一 9 ; ,. ， 二 P . “ Q u , . iU f 9 ) 迭代格式 在每一时间步，用 S t e f a n条件( 9 ) 迭代计算的相变运动w面必需达到收敛 这里我们 用松迟迭代格式来计算相变界面推进过程。 在每个给定的
12、运动界面七 ，用N e w to n - R a p h s o n 格式迭代计算方程组( 7 ) 必IT 收敛 I一 3 方程组( 7 ) 被写成下面简略型:L ( v ) = w ( Iv ) , 这 里W是未知量. N e w to n -R a p h s o n 格 式 : n ( w “ ) w “+ = n ( 少 。 ) 梦 m 一 i ( w , ) , L m = L ( yr ) 一 co ( 4f ) , .，口， 一叮产 n ( V ) =,9L(w)lay 由 方 程( 7 ) 容 易 得到: 当V 厂 ， = q 犷 1 ， n 了 +l 二 一 氏 玩; ri
13、i .1二 I C o + OH uA r,一 。 、 黔+ Ci,(E): 一 二 a ( A T I ) 一 ， 0 0 1 1 当V , i I = o 1 + 1 , 这 里 O (A r , ) 一 日 0 州 一,O jc j ( e一 k i 一 二 止 11一 二 一 d p , : 叮 A t d 畔 c ; d 犁” p , d 犁十 - 若假 定密度 和比热 为常数 ， 应 用 k与 T 的关 系( 1 )，我们 得到 a (A r ; ) 一 ， a 0 ,- 1 p , c ; l 6 n a 叮 k A t 导 数 丙 厂 I l a o 州依 赖 节 点 J 的
14、边 界 条 件 。 举 个 例 子 ， 若 给 定 热 流 ， 则 由 于 q 和 。 间 不 存 在依 赖关 系， 该 导 数等 于零 。 在增 锅 外表 面 ( E ) ， 方 程 ( 8 ) 对0求 导数， 我们 得到 : 呵一。 ,9 q “ + h , ， 一 了 ， 牛 二 十 a 0 “ k J D a 刀 Ml 数值结果 作为一个例子，我们数值模拟了 铅垂布里曼 - 单 晶 生 长 ( 见图1 ) 。 材 料 ( C a F 2 ) 的 热 物 理 特 性 被 选 门; 择 如 下 。 密 度 :p , = p . , = 3 2 0 0 坛/ 。 ， 。 导 热:k 黑 =
15、0 . 6 F V l m I Kk = 6 W l m I K。 比 热 : C c ry - C m cf = 8 8 0 J k g 一 ， K - 。 %X 收 系 数 : R o, = 0 .3 c 洲， R o ,r = 3 c m 。 折 射 率 : n = 1 .4 4 。 熔 点 温 度 : 凡二 1 6 5 3 K a 潜 热 : 级= 3 1 8 k J 心一 ， 。 m w 的 热 物理特性被选择为如下。 I一4 密 度 : P 。 二 1 9 0 0 k g m - 。 导 热 : k , 二 5 0 W m - K 一 ，比 热 : c p = 1 4 0 0 .彻
16、一 ，K a 辐射率 :s = 0 .8 1 。 炉壁 厚度 : 几 = 1 m m 。 炉 温 梯 度: G， 二 2 0 K c m 一 ， 。 梯 度 区 长 度 :_ 住 场= 2 0 c m 。 炉 温 剖 面 改 变 速 率 : 称一 0 .5 c m h - (11 K i 2 ) 。 i 底 部区 初 始 温度 : 不 ， = 1 6 0 0 K。 单 品 半 宽 度: 1 _= 1 J J c m。 环 境 传 热 系 数 : h , = 0 . 0 4 W c m - K - h , “ 0 . 0 7 W c m - K - ， 目rr.r T o = 1 6 00 侧 p h , = 0 . 0 5 W C M - 2 K 一 ， 。图2变化的炉温剖面 图 3描绘了结品初期单品界 面随时间
